Normalt antal

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 20. maj 2020; checks kræver 4 redigeringer .

Et normalt tal i grundtallet n ( ) er ethvert reelt tal , hvori en vilkårlig gruppe af k på hinanden følgende cifre forekommer i det n -ære talsystem med den samme asymptotiske frekvens lig med n - k for hver k = 1, 2, …. $n \in \mathbb{N}, n \geqslant 2$

Tal, der er normale, når de skrives til et hvilket som helst grundtal n , kaldes normale eller absolut normale .

Grundlæggende egenskaber og eksempler

Ethvert rationelt tal i notationen for en base er ikke normalt. Dette følger af, at der er en periode i notationen af et rationelt tal. For eksempel har 1/3 \u003d 0.33333 ... ikke en forudbestemt talrække i posten og er derfor ikke normal. Det følger heraf, at kun irrationelle tal kan være normale tal .

Da registreringen af et normalt nummer indeholder en hvilken som helst forudbestemt sekvens af cifre, følger det, at fra en bestemt digital position i registreringen af et hvilket som helst normalt tal, er alle skabte og endnu ikke skabte litterære værker, billeder, film osv. kodet. For eksempel i decimalnotationen af et tal $\pi$ starter sekvensen 0123456789 først med 17.387.594.880 decimaler. Indtil nu (fra 2021) vides det ikke, om tallet er normalt [1] . $\pi$

Historie

Begrebet et normalt tal blev introduceret af Émile Borel i 1909 . Ved hjælp af Borel-Cantelli-lemmaet beviste han, at Lebesgue-målet for ikke-normale tal er lig med 0. Således er næsten alle reelle tal normale. På den anden side er tal, der ikke har et 0 i deres decimalnotation, ikke normale. Derfor er sættet af unormale tal utallige .

D. Champernowne beviste, at tallet, som er sammenkædningen af decimalposter af på hinanden følgende heltal - 0,1234567891011121314151617..., er normalt i basis 10 [2] . Samtidig vides det ikke, om dette tal er normalt af andre årsager. For et lignende tal 0,(1)(10)(11)(100)(101)(110)(111)(1000)(1001)…, skrevet i binær notation , er det også bevist, at det er normalt i grundtallet 2 [3] .

I 2002 beviste Becher og Figueira [4] at der eksisterer et beregneligt absolut normalt tal.

Offentlige numre

Er tallene π og e normale?
På den ene side vides det ikke, om det er rigtigt, at ethvert irrationelt algebraisk tal er normalt; på den anden side er der ikke et eneste kendt eksempel på et irrationelt algebraisk tal, om hvilket det er bevist, at det ikke er normalt.

Se også

Noter

↑ Navarro, Joaquin Secrets of pi. Hvorfor problemet med at kvadrere en cirkel er uløseligt. — M.: De Agostini, 2014. — 143 s. — (Matematikkens verden: i 45 bind, bind 7). - ISBN 978-5-9774-0629-1 .
↑ DG Champernowne, Konstruktionen af decimaler normal i skalaen af ti , Journal of the London Mathematical Society, vol. 8 (1933), s. 254-260
↑ Bailey, D.H.; Crandall, RE tilfældige generatorer og normale tal // Exper. Matematik. - 2002. - T. 11 . - S. 527-546 .
↑ Becher, V. & Figueira, S. (2002), Et eksempel på et beregneligt absolut normalt tal , Theoretical Computer Science bind 270: 947–958 , DOI 10.1016/S0304-3975(01)00170-0