Omkreds

Omkredsen af en cirkel (fra latin circumferens ) er længden af en lukket plan kurve, der afgrænser en cirkel. Fordi en cirkel er grænsen for en cirkel eller skive, er omkredsen af en cirkel et særligt tilfælde af omkreds [1] [2] . Omkreds er den samlede længde af formens kant.

Cirkel

En cirkels omkreds kan defineres som grænsen for en sekvens af omkreds af regulære polygoner indskrevet i en cirkel [3] . Begrebet omkreds bruges ved måling af fysiske objekter, såvel som når man overvejer abstrakte geometriske former.

Omkreds og pi

En cirkels omkreds er relateret til en af de vigtigste matematiske konstanter, pi . Tallet pi er angivet med det græske bogstav pi ( ). De første cifre i et tal i decimalnotation er 3,141592653589793 ... [4] Pi er defineret som forholdet mellem en cirkels omkreds og dens diameter : $\pi$ $C$ $d$

\pi ={\frac {C}{d))

Eller, tilsvarende, som forholdet mellem en cirkels omkreds og dens to radier . Formlen ovenfor bliver:

{C}=\pi \cdot {d}=2\pi \cdot {r}.\!

Brugen af konstanten er allestedsnærværende i videnskab og applikationer. $\pi$

I bogen " Measuring the circle ", skrevet omkring 250 f.Kr., viste Arkimedes , at dette forhold ( , da han ikke brugte notationen ) er større end 3 $C/d$ $\pi$ ti71, men mindre end 3en7, udregning af omkredsen af en indskrevet og omskrevet polygon med 96 sider [5] . Denne metode til at tilnærme et tal er blevet brugt i århundreder, da den har større nøjagtighed end polygonformler med et stort antal sider. Den sidste sådan beregning blev foretaget i 1630 af Christoph Greenberger , ved hjælp af polygoner med 10 40 sider. $\pi$

Ellipse

Der er ingen generel formel til at beregne længden af grænsen for en ellipse i form af ellipsens store og mindre halvakser, som kun ville bruge elementære funktioner. Der er dog omtrentlige formler, hvori disse parametre optræder. En af tilnærmelserne er opnået af Euler (1773); omkredsen af en ellipse skrevet af den kanoniske ligning:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,

omtrent lig med

C_{\rm {ellipse}}\sim \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})))

Nedre og øvre grænse for omkredsen af den kanoniske ellipse ved [6] . $a\geq b$

2\pi b\leqslant C\leqslant 2\pi a,

\pi (a+b)\leqslant C\leqslant 4(a+b),

4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\leqslant C\leqslant \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})))

Her er den øvre grænse længden af den omskrevne koncentriske cirkel, der passerer gennem endepunkterne af ellipsens hovedakser, og den nedre grænse er omkredsen af den indskrevne rombe , hvis toppunkter er enderne af hovedaksen og den lille akse. $2\pi a$ ${\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2))))$

Omkredsen af en ellipse kan beskrives ved hjælp af det komplette elliptiske integral af den anden slags [7] . Mere præcist:

C_{\rm {ellipse}}=4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\ theta,

hvor er længden af den store halvakse og er excentriciteten $-en$ $e$ ${\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}.$

Se også

Noter

↑ Bennett, Jeffrey & Briggs, William (2005), Using and Understanding Mathematics / A Quantitative Reasoning Approach (3. udgave), Addison-Wesley, s. 580, ISBN 978-0-321-22773-7
↑ San Diego State University. Omkreds, areal og omkreds (linket er ikke tilgængeligt) . Addison-Wesley (2004). Hentet 6. marts 2020. Arkiveret fra originalen 6. oktober 2014. (ubestemt)
↑ Jacobs, Harold R. (1974), Geometry (Eng.) , W. H. Freeman og Co., s. 565, ISBN 0-7167-0456-0
↑ Sloane, N. J. A. Sequence A000796 , On-Line Encyclopedia of Integer Sequences OEIS , OEIS Foundation.
↑ Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (2. udgave), Addison-Wesley Longman, s. 109 , ISBN 978-0-321-01618-8 , < https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/109 >
↑ Jameson, GJO Uligheder for perimeteren af en ellipse // Mathematical Gazette : journal. - 2014. - Bd. 98 , nr. 499 . - S. 227-234 . - doi : 10.2307/3621497 . — .
↑ Almkvist, Gert & Berndt, Bruce (1988), Gauss, Landen, Ramanujan, den aritmetisk-geometriske middelværdi, ellipser, pi, og Ladies Diary (engelsk) , American Mathematical Monthly bind 95 (7): 585–608 , doi : 10.2307/2323302 , < https://semanticscholar.org/paper/8e3c462f5eb920fe178985f159cdfee815b59c52 >

Litteratur

Atanasyan L. S. , Butuzov V. F. et al. Yderligere kapitler til 8. klasses lærebog // Geometri. — 3. udgave. — M. : Vita-Press, 2003.
Vygodsky M. Ya. Håndbog i elementær matematik. — M .: Nauka, 1978.
- Genudgivelse: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 sider.