Tetration

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 17. april 2021; checks kræver 6 redigeringer .

Tetration ( hyperoperator-4 ) i matematik er en iterativ funktion af eksponenten, den næste hyperoperator efter eksponentiering . Tetration bruges til at beskrive store tal.

Udtrykket "tetration" , bestående af ordene " tetra- " (fire) og " iteration " (gentagelse), blev første gang brugt af den engelske matematiker Reuben Goodstein i 1947 [1] .

Definitioner

Tetration som et krafttårn

For ethvert positivt reelt tal og ikke-negativt heltal kan tetration defineres rekursivt: $a>0$ $n\geqslant 0$ ${}^{n}a$

${}^{0}a=1,$
${}^{n}a=a^{{({}^{{n-1}}a)}},\,n>0.$

Ifølge denne definition begynder beregningen af tetration, skrevet som et "power tower", eksponentiering fra de fjerneste niveauer til det oprindelige (i denne notation, fra den højeste eksponent):

{}^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)} =2^{(2^{4})}=2^{16}=65536.

Eller:

{}^{5}2=2^{{2^{{2^{{2^{2}}}}}}}=2^{{\left(2^{{\left(2^{{ \left(2^{2}\right)}}\right)}}\right)}}=2^{{(2^{{16}})}}=2^{{65536}}.

På samme tid, da eksponentiering ikke er en associativ operation , vil beregningen af udtrykket i en anden rækkefølge føre til et andet svar:

2^{{2^{{2^{2}}}}}\neq \left((2^{2})^{2}\right)^{2}=2^{{2\cdot 2\ cdot 2}}=2^{8}=256.

Eller:

2^{{2^{{2^{{2^{2}}}}}}}\neq \left(((2^{2})^{2})^{2}\right)^{ 2}=2^{{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}}=2^{{16}}=65536.

Således skal krafttårne beregnes fra top til bund (eller fra højre mod venstre), det vil sige, at de med andre ord har ret associativitet.

Tetration som hyperoperator

Tetration er den fjerde hyperoperation i rækken :

tilføjelse : $a+b=a+\underbrace {1+1+\ldots +1}_{b};$
multiplikation : $a\times b=\underbrace {a+a+\ldots +a}_{b};$
eksponentiering : $a^{b}=\underbrace {a\gange a\gange \ldots \gange a}_{b};$
tetration: ${^{b}a}=\underbrace {a^{{a^{{\cdot ^{{\cdot ^({\cdot ^{a)))))))))))))_{b} .$

Her er hver operation en iteration af den foregående.

Egenskaber

Tetration betragtes ikke som en elementær funktion (undtagen tilfælde med en konstant naturlig eksponent, hvor tetration udtrykkes som et krafttårn med konstant højde).
På grund af ikke- kommutativitet har tetration to inverse operationer - superlogaritme og superrod (svarende til hvordan eksponentiering har to inverse funktioner: aritmetisk rod og logaritme ).

Til tetration, i det generelle tilfælde, er følgende egenskaber, der er karakteristiske for de tidligere operatører, forkerte:

${}^{b}({}^{c}a)\neq {}^{c}({}^{b}a)$ , for eksempel: men . ${}^{3}({}^{2}2)=({}^{2}2)^{({}^{2}2)^{({}^{2}2) }}=4^{4^{4}}=4^{256}$ ${}^{2}({}^{3}2)=({}^{3}2)^{({}^{3}2)}=16^{16}=4^{ 32}$
${}^{b+c}a$ er ikke lig med hverken , eller , for eksempel: , fordi . ${}^{b}a+{}^{c}a$ ${}^{b}a\gange {}^{c}a$ ${}^{1+2}3={}^{3}3=3^{27}\neq {}^{1}3+{}^{2}3\neq {}^{1 }3\gange {}^{2}3$ ${}^{1}3+{}^{2}3=30;{}^{1}3\gange {}^{2}3=81$

Bemærk: dog sand eller . $\underbrace {\log _{a}{\log _{a}{...{\log _{a))))} _{b}{({}^{b+c}a) }={}^{c}a$ $\underbrace {\log _{a}{\log _{a}{...{\log _{a))))} _{c}{({}^{b+c}a) }={}^{b}a$

Tetration minus én er lig med minus én:

${^{n}(-1)}=\underbrace {(-1)^{(-1)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{(-1))))))) } } _{n}=-1,n>0$

Terminologi

Der er flere udtryk for at definere begrebet tetration , og hver af dem har sin egen logik, men nogle af dem er ikke blevet generelt accepteret af den ene eller anden grund. Nedenfor er et par sådanne eksempler.

Begrebet tetration , brugt af Reuben Goodstein i 1947 i Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory (en generalisering af de rekursive repræsentationer i Goodsteins sætning brugt til højere operatorer), dominerer terminologien. Udtrykket blev også populært i Infinity and the Mind af Rudy Rucker .
Udtrykket "supereksponentiering" blev udgivet af Bromer i hans værk "Supereksponentiering" i 1987 . [2] Udtrykket blev tidligere brugt af Ed Nelson i hans bog Predicative Arithmetic [3 ] .
Udtrykket "hyperpower" ( engelsk hyperpower ) [4] er en naturlig kombination af begreberne "hyper-" og "degree" , som passende beskriver tetration. Problemet ligger i selve begrebet "hyper" i forhold til hierarkiet af hyperoperatører . Når vi betragter hyperoperatorer, refererer udtrykket "hyper" til alle rækker, og udtrykket "super" henviser til rang 4 eller tetration. Under disse omstændigheder kan begrebet "hypergrad" således være vildledende, da det kun refererer til begrebet tetration.
Udtrykket "power tower" ( engelsk power tower ) [5] bruges nogle gange, i formen "power tower of order " for . $n$ $\underbrace {a^{{a^{{\cdot ^{{\cdot ^({\cdot ^{a))))))))))_{n}$

Tetration forveksles også ofte med andre nært beslægtede funktioner og udtryk. Nedenfor er et par relaterede termer:

Formen	Terminologi
$a^{{a^{{\cdot ^{{\cdot ^({\cdot ^{a))))))))))))}$	tetration
$a^{{a^{{\cdot ^{{\cdot ^({\cdot ^{{a^{x))))))))))))}$	Iterative eksponenter
$a_{1}^{{a_{2}^{{\cdot ^{{\cdot ^({\cdot ^{{a_{n))))))))))))}$	Indlejrede udstillere (også tårne)
$a_{1}^{{a_{2}^{{a_{3}^{{\cdot ^({\cdot ^{\cdot )))))))))}}$	Uendelige eksponenter (også tårne)

De to første udtryk har en base , og det tal, der vises, er højden . I det tredje udtryk er der en højde , men alle baser er forskellige. $-en$ $-en$ $n$

Notation

Notationssystemer, hvor tetration kan bruges (hvoraf nogle tillader brugen af endnu højere iterationer) omfatter:

Navn	Formen	Beskrivelse
Standardnotation	${}^{n}a$	Brugt af Maurer [1901] og Goodstein [1947]; populariseret i Infinity and the Mind af Rudy Ruecker .
Knuth pil notation	$a{\uparrow \uparrow }n$	Tillader udvidelse ved at tilføje trinvise eller indekserede pile, hvilket er mere kraftfuldt.
Conway kæde	$a\til n\til 2$	Tillader forlængelse ved at tilføje 2 (svarende til ovenstående metode), men en endnu mere kraftfuld måde at skrive på er også mulig ved at øge kæden.
Ackermann funktion	${}^{n}2={\mathrm {A}}(4,\;n-3)+3$	Tillader en særlig sag skriftligt i forhold til Ackermann-funktionen. $a=2$
Iterabel eksponentiel notation	${}^{n}a=\exp _{a}^{n}(1)$	Tillader simpel udvidelse til iterative eksponenter, der starter ved andre værdier end 1.
Hoosmand notation ( engelsk Hooshmand ) [6]	${\mathrm {uxp}}_{a}n,\quad a^{{\frac {n}{}}}$
Hyperoperatør -notationssystem	$a^{{(4)}}n,\quad {\mathrm {hyper}}_{4}(a,\;n)$	Tillader forlængelse ved at tilføje 4; dette giver en familie af hyperoperatorer .
ASCII skrivesystem	a^^n	Da den opadgående pil-notation bruges identisk med cirkulationsmærket ( ^), kan tetration- operatoren skrives som ( ^^).
Bowers / Bird array notation [7]	{a,b,2}	{a, b, c} = a^^^…^^^b (c supergradspile).

Et af systemerne ovenfor bruger en itereret eksponentnotation; generelt er det defineret som følger:

\exp _{a}^{n}(x)=\underbrace {a^{{a^{{\cdot ^({\cdot ^({\cdot ^{{a^{x))))))) ) }}}}}}_{n}.

Der findes ikke mange notationer for itererede eksponenter, men nogle få er vist nedenfor:

Navn	Formen	Beskrivelse
Standardnotation	$\exp _{a}^{n}(x)$	Notationssystemet og det iterative notationssystem blev introduceret af Euler . $\exp _{a}(x)=a^{x}$ $f^{n}(x)$
Knuth pil notation	$(a{\uparrow })^{n}(x)$	Giver mulighed for superkræfter og supereksponentielle funktioner for at øge antallet af pile.
Hyper-E notation	E(a)x#n
Ioannis Galidakis ( eng . Ioannis Galidakis ) notationssystem	${}^{n}(a,\;x)$	Tillader brug af store udtryk i basen. [otte]
ASCII (ekstra)	a^^n@x	Baseret på den opfattelse, at den iterative eksponent er en yderligere tetration .
ASCII (standard)	exp_a^n(x)	Baseret på standardnotationen.

Eksempler

I tabellen nedenfor er de fleste af værdierne for store til at blive skrevet i eksponentiel notation, så en iterativ eksponentnotation bruges til at repræsentere dem i grundtallet 10. Værdier, der indeholder et decimaltegn, er omtrentlige. For eksempel starter den fjerde tetration fra 3 (dvs. ) med 1258, slutter med 39387 og har 3638334640025 cifre, OEIS -sekvensen er A241292 . ${\displaystyle 3^{3^{3^{3))))$

$x$	${}^{2}x$	${}^{3}x$	${}^{4}x$
en	en	en	en
2	fire	16	65 536
3	27	7 625 597 484 987	$\exp _{{10}}^{3}(1{,}09902)$
fire	256	$\exp _{{10}}^{2}(2{,}18788)$	$\exp _{{10}}^{3}(2{,}18726)$
5	3 125	$\exp _{{10}}^{2}(3{,}33931)$	$\exp _{{10}}^{3}(3{,}33928)$
6	46 656	$\exp _{{10}}^{2}(4{,}55997)$	$\exp _{{10}}^{3}(4{,}55997)$
7	823 543	$\exp _{{10}}^{2}(5{,}84259)$	$\exp _{{10}}^{3}(5{,}84259)$
otte	16 777 216	$\exp _{{10}}^{2}(7{,}18045)$	$\exp _{{10}}^{3}(7{,}18045)$
9	387 420 489	$\exp _{{10}}^{2}(8{,}56784)$	$\exp _{{10}}^{3}(8{,}56784)$
ti	10.000.000.000	$\exp _{{10}}^{3}(1)$	$\exp _{{10}}^{4}(1)$

Åbne numre

Det vides ikke, om n π eller n e er heltal for nogen naturlig n > 4 . Det vides ikke engang, om den er hel ${^4\pi}=\pi^{\pi^{\pi^\pi}}$ .
Det vides ikke, om kan være et rationelt tal, hvis er et heltal større end 3, og er et rationelt tal, men ikke et heltal (for svaret er negativt) [9] . ${^nq}$ $n$ $q$ $n=2,\,3$
Det vides ikke for noget heltal , om den positive rod af ligningen er et rationelt, algebraisk irrationelt eller transcendentalt tal . $n>3$ ${^{n}x}=2$

Noter

↑ Goodstein RL Transfinite ordinaler i rekursiv talteori (neopr.) // Journal of Symbolic Logic. - 1947. - T. 12 . - doi : 10.2307/2266486 .
↑ Bromer N. Supereksponentiering // Mathematics Magazine : magazine . - 1987. - Bd. 60 , nr. 3 . - S. 169-174 . Arkiveret fra originalen den 27. januar 2017.
↑ Nelson E. Prædikativ aritmetik. — Princeton University Press, 1986.
↑ MacDonnell JF Nogle kritiske punkter i hypermagtfunktionen $\scriptstyle {x^{{x^{{\dots }}}}}$ // International Journal of Mathematical Education: tidsskrift. - 1989. - Bd. 20 , nej. 2 . - S. 297-305 .
↑ Weisstein, Eric W. Power Tower på Wolfram MathWorld -webstedet .
↑ Hooshmand MH Ultrakraft og ultraeksponentielle funktioner (neopr.) // Integrale transformationer og specialfunktioner. - 2006. - T. 17 , nr. 8 . - S. 549-558 . - doi : 10.1080/10652460500422247 .
↑ Kilde . Dato for adgang: 20. januar 2013. Arkiveret fra originalen 21. oktober 2014. (ubestemt)
↑ Galidakis I. Om at udvide hyper4 og Knuths op-pil-notation til reals Arkiveret 25. maj 2006 på Wayback Machine .
↑ Marshall, Ash J., og Tan, Yiren, "Et rationelt tal af formen a a med et irrationelt", Mathematical Gazette 96, marts 2012, s. 106-109. . Hentet 28. april 2013. Arkiveret fra originalen 6. maj 2014. (ubestemt)

Links

Websted om tetration af Andrew Robins .
Hjemmeside om tetration af Daniel Geisler .
Tetracy diskussionsforum .
Kuznetsov D. Tetration som en særlig funktion // Vladikavkaz Mathematical Journal. – 2010.

Store tal
Tal	google Shannon nummer Googolplex Skæv nummer Moser nummer Graham nummer TRÆ(3) Rayo nummer
Funktioner	Ackermann funktion Veblen funktion Psi-funktioner af Buchholz tetration Pentation Hyperoperator Hurtigt voksende hierarki Langsomt voksende hierarki Hardy hierarki
Notationer	Steinhaus-Moser notation Knuth pil notation Conway pil notation Massive Bowers-notation