Caen er konstant

Caens konstant er summen af en vekslende talserie bygget af medlemmer af Sylvester-serien :

C=\sum {\frac {(-1)^{i}}{s_{i}-1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2} }+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{1806}}-\cdots

hvor er det -te element i Sylvester-sekvensen. Den omtrentlige værdi er 0,64341054629 . $s_{i}$ $jeg$

Den er opkaldt efter den franske matematiker Eugène Cahen , som først studerede denne serie ( fr. Eugène Cahen ) [1] .

Det kan opnås som summen af en serie med fast fortegn dannet af udtryk, der er inverse til de lige led i Sylvester-sekvensen (en sekvens af tilnærmelser af den grådige algoritme for egyptiske brøker ):

C=\sum {\frac {1}{s_{2i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{ 1807}}+{\frac {1}{10650056950807}}+\cdots

Konstanten er transcendental [2] , desuden er den et af de få transcendentale tal, som den komplette fortsatte brøk er kendt for - for rækkefølgen 1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, ... [ 3] , defineret af den rekursive ligning , er den fortsatte brøk, svarende til Cahen-konstanten, repræsenteret som følger [2] : ${\displaystyle q_{n+2}=q_{n}^{2}q_{n+1}+q_{n))$

[0,1,q_{0}^{2},q_{1}^{2},q_{2}^{2},\ldots ]

Noter

↑ Cahen, 1891 .
↑ 12 Davison, Shallit , 1991 .
↑ OEIS -sekvens A006279 _

Litteratur

Eugene Cahen. Note sur un développement des quantités numériques, qui présente quelque analogie avec celui en fraktioner fortsætter // Nouvelles Annales de Mathématiques . - 1891. - T. 10 . — S. 508–514 .
J. Les Davison, Jeffrey O. Shallit. Fortsatte brøker for nogle vekslende serier // Monatshefte fur Mathematik. - 1991. - T. 111 , no. 2 . — S. 119–126 . - doi : 10.1007/BF01332350 .

Caen er konstant

Noter

Litteratur

Links