Loxodrome

Loxodrome , eller loxodrome [1] (fra andet græsk "λοξός" - "skrå", "skrå" og "δρόμος" - "sti" [2] ) - en kurve på omdrejningsfladen , der skærer alle meridianer i en konstant vinkel , kaldet loxodromic sporvinkel.

Historie

Indført af den portugisiske matematiker Nonius i 1529 [3] .

I værket " Tiphys batavus " (1624) kaldte den hollandske matematiker Willebrord Snell kurven, der skærer alle meridianerne i en konstant vinkel, for "loxodrome" og studerede den. Arbejdet bestod af to dele - teoretiske og praktiske øvelser med anbefalinger [4] .

I geodæsi og kartografi

På Jordens overflade er loxodromer alle paralleller (sporvinklen kan være 90°, 270° osv.) og alle meridianer (sporvinkel 0°, 180° osv.). Loxodromer i andre vinkler er spiraler, der laver et ubegrænset antal drejninger og nærmer sig polerne . Ikke desto mindre, hvis den rejsende bevæger sig langs en hvilken som helst loxodrome (undtagen paralleller) med en konstant hastighed uden at stoppe, så vil han helt sikkert komme til en af polerne i en begrænset tid. En kortprojektion , hvor alle loxodromer er tegnet som lige linjer, kaldes en Mercator-projektion .

I navigation

Hvis du bevæger dig med en fast sporvinkel på Jorden, som betinget tages som en kugle eller geoide , så vil banen for objektets bevægelse være en loxodrom [5] . Loxodrome er ikke den korteste vej mellem to punkter (undtagelsen er meridianerne og ækvator). Ikke desto mindre bevægede skibe og rejsende sig i gamle dage ofte langs loxodromer, da det er lettere og mere bekvemt at gå i en konstant vinkel til Nordstjernen . Med opfindelsen af kompasset skiftede navigatører til at bevæge sig langs "magnetiske loxodromer", det vil sige langs linjer med en konstant vinkel til magnetisk nord, hvilket gjorde det muligt at fortsætte med at bevæge sig selv i overskyet vejr. Men så snart der blev fundet magnetiske deklinationer alle steder på jorden, skiftede folk igen til almindelige loxodromer. Selv i det 20. århundrede blev loxodromen brugt til at beregne den krævede kurs ved lægning af ruten for fly og skibe. Over tid, når enheder med tilstrækkelig computerkraft syntes at beregne den aktuelle krævede sporvinkel, begyndte storcirkler (den korteste vej) aktivt at blive brugt, især til langdistanceflyruter [6] .

Konstruktion af sfærens loxodrome

For at lægge en loxodrome-sti på flyvekort er det nødvendigt at forbinde rutens endepunkter med en lige linje og måle sporvinklen ved den midterste meridian. Mere præcist beregnes loxodrome sporvinklen som den gennemsnitlige vinkel taget fra start- og slutpunkterne på ruten. Derefter bygges den resulterende sporvinkel sekventielt ved alle meridianer på kortet, startende fra udgangspunktet. Den brudte linje opnået under konstruktionen er næsten tæt på loxodromen. Mere præcist kan loxodrome sporvinklen beregnes med formlen: $\alfa$

${\mathrm {tg}}\alpha ={\frac {\lambda _{2}-\lambda _{1}}{\varphi _{2}-\varphi _{1}}}\cos \varphi _{ m}$ ,

hvor er den ønskede sporvinkel; $\alfa$
$\varphi_{1}$ og — breddegrader for afgangs- og ankomststeder; $\varphi _{2}$
$\lambda _{1}$ og er længdegraderne af disse punkter; $\lambda _{2}$
${\displaystyle \varphi _{m))$ er den gennemsnitlige flyvebreddegrad.

Eksempel . Bestem den sande loxodrome sporvinkel, når du flyver fra Reims til Potsdam . $\alfa$

Løsning . Vi bestemmer koordinaterne:

— Reims

\varphi _{1}=49^{\circ }15'=2955';\lambda _{1}=4^{\circ }02'=242';

- Potsdam

\varphi _{2}=52^{\circ }24'=3144';\lambda _{2}=13^{\circ }04'=784';

betyde breddegrad ; . Følgelig, $\varphi _{m}=50^{\circ }50'$ $\cos 50^{\circ }50'=0{,}6316$

\mathrm {tg} \alpha ={\frac {784-242}{3144-2955}}0{,}6316=1{,}806

{\displaystyle \alpha =61^{\circ ))

Resultatet vil være korrekt, hvis endepunktet for ruten ligger i det første kvartal (0 - 90°). Hvis slutpunktet ligger i anden fjerdedel (90° - 180°), opnås den ønskede sporvinkel ved at trække det resulterende antal grader fra 180°. Hvis slutpunktet er i tredje kvartal (180° - 270°), lægges 180° til den resulterende vinkel, og hvis det er i fjerde kvartal (270° - 360°), trækkes den resulterende vinkel fra 360°.

Længden af loxodromen i km bestemmes af formlerne:

a) For vinkler tæt på 0° eller 180°, $\alfa$

S\approx {\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{\cos \alpha }}\cdot 1{,}852

km,

hvor og er breddegrader for afgangs- og ankomstpunkter, udtrykt i minutter, eller $\varphi_{1}$ $\varphi _{2}$

S\approx {\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{\cos \alpha }}\cdot 111{,}18

km,

hvor og er udtrykt i grader. $\varphi_{1}$ $\varphi _{2}$

b) For vinkler tæt på 90° eller 270°, $\alfa$

S\approx {\frac {\lambda _{2}-\lambda _{1}}{\sin \alpha }}\cdot \cos \varphi _{m}\cdot 1{,}852

km.

Forskellen mellem loxodrome- og ortodromlængden DS når sin maksimale værdi, når man flyver langs parallellen.

Så for eksempel kan længden af loxodromen mellem Reims og Potsdam fra det foregående eksempel beregnes tilnærmelsesvis med formlen:

S\approx {\frac {784-242}{\sin 61^{\circ ))}\cdot 0{,}6316\cdot 1{,}852\approx 725

km.

Formler i kartesiske koordinater

De parametriske formler , der definerer loxodromen med vejvinklen på radiussfæren i det kartesiske koordinatsystem er: $\alfa$ $r$

x=r{\frac {\cos \lambda }{\mathrm {ch} [(\lambda -\lambda _{0})\operatørnavn {ctg} \alpha ]));

y=r{\frac {\sin \lambda }{\mathrm {ch} [(\lambda -\lambda _{0})\operatørnavn {ctg} \alpha ])));

z=r\,\mathrm {th} [(\lambda -\lambda _{0})\operatørnavn {ctg} \alpha ];

hvor parameteren går fra 0 til og er punktets længdegrad. Her og er hyperbolsk cosinus og tangent . $\lambda$ $2\pi$ $\mathrm {ch}$ $\mathrm {th}$

Se også

ortodrom

Noter

↑ Loxodrome // Marine encyklopædisk opslagsbog / Ed. N. N. Isanina. - Leningrad: Skibsbygning, 1987. - T. 1. - S. 398. - 512 s. — 30.000 eksemplarer.
↑ Historisk ordbog over det russiske sprogs gallicisme. - M .: Ordbogsforlaget ETS. Nikolay Ivanovich Epishkin. 2010
↑ Sjal, Michel . En historisk gennemgang af geometriske metoders oprindelse og udvikling . Ch. III, n. 39.
↑ MacTutor .
↑ Dette er ikke svært at bevise ved hjælp af definitionerne af vejvinklen og definitionen af loxodrome.
↑ For at spare brændstof og reducere rejsetiden.

Links

Online lommeregner: Spor vinkel og afstand mellem to punkter langs loxodrome (rhumb line)
Laxodromia // Military Encyclopedia : [i 18 bind] / udg. V. F. Novitsky ... [ og andre ]. - Sankt Petersborg. ; [ M. ] : Type. t-va I. D. Sytin , 1911-1915.
John J. O'Connor og Edmund F. Robertson . Loxodrome (engelsk) - biografi på MacTutor- arkivet .

Kurver

Definitioner

Forvandlet

Ikke-plan

Flad
algebraisk

Keglesnit

3. orden ( kubisk )

Elliptisk	Elliptisk kurve Jacobi elliptiske funktioner Elliptisk integral Elliptiske funktioner
Andet	Verziera Agnesi Kartesisk ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Semikubisk parabel Trident Cissoid af Diocles

4. orden

Lemniscates

Tilnærmelse

Spline
- B-spline
- Kubik
- monospline
- Udglatning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cycloidal

Andet

Krogede Gård

Flad
transcendental

Spiraler	Archimedov Gård Galilæa hyperbolsk "Tryllestav" Gylden clothoid logaritmisk sinusformet
Cycloidal	trochoid Cycloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Rose" quadrifolium Hurtig nedstigning (brachistochrone, cycloid bue)
Andet	Quadratrix cochleoid Jage traktor trochoid kæde linje omvendt buet konstant bredde sinusformet Ribokura Super formel Superellipse Reuleaux trekant polygon Lissajous figurer

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper dragekurve Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologisk	Sierpinski serviet Sierpinski tæppe Svamp Menger cirkulær fraktal Apollonius tæppe