Mercator projektion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 17. september 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Mercator konforme cylindriske projektion er en af de vigtigste kortprojektioner . Udviklet af Gerard Mercator til brug i hans Atlas. " Equiangular " i navnet på projektionen understreger, at projektionen bevarer vinkler mellem retningerne. Alle loxodromer i den er afbildet med lige linjer. Meridianer i Mercator-projektionen er repræsenteret af parallelle, ækvidistante linjer. Paralleller , på den anden side, er parallelle linjer, afstanden mellem hvilke nær ækvator er lig med afstanden mellem meridianerne og øges hurtigt, når man nærmer sig polerne .. Selve polerne kan ikke afbildes på Mercator-projektionen (dette skyldes de særlige kendetegn ved den funktion, der kortlægger koordinaterne på kuglen til koordinaterne på planet), derfor er kortet i Mercator-projektionen normalt begrænset til områder op til kl. 80-85° nordlig og sydlig breddegrad .

Skalaen på kortet i denne projektion er ikke konstant, den stiger fra ækvator til polerne (som den omvendte cosinus af breddegrad), men skalaerne lodret og vandret er altid ens, hvilket faktisk opnår ækvikantetheden af projektion. På kort i denne projektion er det altid angivet, hvilken parallel kortets hovedskala tilhører.

Da Mercator-projektionen har en forskellig skala i forskellige områder, bevarer denne projektion ikke områder. Hvis hovedskalaen refererer til ækvator, vil de største forvrængninger i størrelsen af objekter være ved polerne. Dette er tydeligt synligt på kortene i denne projektion: På dem ser Grønland ud til at være 2-3 gange større end Australien og sammenlignes i størrelse med Sydamerika . I virkeligheden er Grønland tre gange mindre end Australien og 8 gange mindre end Sydamerika.

Mercator-projektionen viste sig at være meget praktisk til navigationsbehovene, især i gamle dage. Dette forklares af det faktum, at skibets bane, der bevæger sig under den samme romb til meridianen (det vil sige med kompasnålen i samme position i forhold til skalaen) er afbildet med en lige linje på kortet i Mercator-projektionen .

Matematisk udtryk for Mercator-projektionen

Til at begynde med skal du overveje den enkleste version af Mercator-projektionen: projektionen af en kugle på en cylinder. Denne mulighed tager ikke højde for Jordens oblatitet ved polerne. Projektionens cylindricitet giver os straks et udtryk for den vandrette koordinat på kortet: den er simpelthen proportional med punktets længdegrad (når det bruges i beregninger, skal det tages i betragtning, at denne værdi skal udtrykkes i radianer): $\lambda$

x=c(\lambda -\lambda _{0}).

Betingelsen for ækvikantethed er simpelthen ligheden af skalaer langs den vandrette og lodrette akse. Da skalaen langs X -aksen ved breddegrad ganske enkelt er ( R er Jordens radius), så får vi ud fra betingelsen et udtryk for afhængigheden af y af : $\theta$ $c/(R\cos \theta )$ $dyR\cos\theta /c=Rd\theta$ $\theta$

{\begin{matrix}y&=&c\ln \operatørnavn {tg} \left({\frac {\theta}{2))+{\frac {\pi}{4))\right)\\ &=&c\,\operatørnavn {arth} \sin \theta .\end{matrix}}

(Her er arth den inverse hyperbolske tangent ).

Funktionen har det specielle navn Lambert-funktionen, eller Lambertian (efter Johann Lambert ) og betegnes nogle gange som eller (se også Integral af sekanten ). $\operatørnavn {arth} \sin \theta$ $\operatørnavn {lam} \theta$ $\operatørnavn {arcgd} \theta$

Den omvendte transformation (fra den lineære koordinat y til breddegraden θ ) kaldes Gudermann-funktionen , eller Gudermannsk (til ære for Christoph Gudermann ) og betegnes Den omvendte transformation af x -koordinaten til længdegraden λ er, ligesom den direkte transformation, en lineær funktion: $\operatørnavn {gd} y.$

{\begin{matrix}\theta &=&\operatørnavn {gd} y=2\operatørnavn {arctg} \left(e^{y/c}\right)-{\frac {1}{2} }\pi \\\\\ &=&\operatørnavn {arctg} \left(\operatørnavn {sh} (y/c)\right),\\\\\lambda &=&x/c+\lambda _{0} .\end{matrix}}

Nu er det ikke svært at få udtryk for den konforme projektion, under hensyntagen til Jordens ellipsoide form. For at gøre dette skal du skrive den metriske form for ellipsoiden ( a - semi- hovedakse , b - semi-minor-akse) i geografiske koordinater

dl^{2}={\frac {a^{2}d\lambda ^{2}}{1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\operatørnavn { tg} ^{2}\theta }}+{\frac {b^{4}}{a^{2}}}{\frac {d\theta ^{2}}{(\cos ^{2}\ theta +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\sin ^{2}\theta )^{3}}},

gå til x- og y- koordinaterne i den og sæt lighedstegn mellem skalaerne langs akserne. Efter integration får vi

{\begin{matrix}x&=&c(\lambda -\lambda _{0})\\y&=&c[\operatørnavn {arth} \sin \theta -\varepsilon \operatørnavn {arth} (\varepsilon \ sin \theta )].\end{matrix}}

Her er excentriciteten af jordens ellipsoide . $\varepsilon ={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}/a$

Den omvendte transformation er generelt ikke udtrykt i elementære funktioner , men ligningen for den omvendte transformation kan let løses ved metoden med forstyrrelsesteori i small . Den iterative formel for den inverse transformation er som følger: $\varepsilon$

\theta _{{n+1}}=f\venstre(\theta _{{n}},y\right)

, hvor kan tages lig med 0 eller en tilnærmelse beregnet ved formlen for en sfæroid.

\theta _{0}

\theta _{n+1}=\arcsin \left(1-{\frac {(1+\sin \theta _{n})(1-\varepsilon \sin \theta _{n})^ {\varepsilon }}{e^{\frac {2y}{c}}(1+\varepsilon \sin \theta _{n})^{\varepsilon }}}\right)

Se også

Web Mercator

Links

Ordbøger og encyklopædier

I bibliografiske kataloger
BNE : XX4793961 BNF : 14648830n GND : 4380201-1 J9U : 987007537448405171 LCCN : sh2003001211 SUDOC : 089909232

Berømte kort og glober
Oldtidens verden	Torino papyrus kort Babylonske verdenskort Kort over Ptolemæus Peitinger's Tablet Madaba kort Kristen topografi Klode af kasser
Middelalder ( mappa mundi , portolans )	At kortlægge Merovinger kort Beats kort Roger kort Ebstorf kort Psalter kort Vercelli kort Hereford kort Kort over Dulcert catalansk atlas Pizzigano kort De Virga kort Bianco kort Fra Mauro kort Vinland kort
Store geografiske opdagelser	Kort over Juan de la Cosa Planisphere Cantino Kort de Caveri Waldseemüller kort Kort over Pietro Coppo Kort over Piri Reis Møller Atlas
ny tid	Carta Marina Leo Belgicus Maris Pacifici Stor tegning Bestil Cassini kort Mercator kort Atlas Ortelia Blau's kosmografi Turgots plan
Kort over Fjernøsten	Stort kort over Ming-dynastiet Cannido Kort over Mao Kun Kort af Matteo Ricci
glober	jord æble Jagiellonsk globus Klode af Johann Schöner Gottorp kloden Globe Blau