Affin klassificering af en terning

Isaac Newton modtog to klassifikationer af terningen [1] [2] . Baseret på den anden klassifikation [2] blev en affin klassificering af terninger [3] opnået . Denne klassifikation er beskrevet i følgende sætning.

Sætning. Der er 59 familier af affine ækvivalensklasser af irreducible cubics : 15 klasser af modalitet 0; 23 familier (klasser) af modalitet 1; 16 familier af modalitet 2; 5 modalitetsfamilier 3; disse familier er repræsenteret i den følgende liste over kanoniske ligninger.

Rækkefølgen af opregning af familier af affine klasser tilhører Newton, for nemheds skyld opbevares den på denne liste. Hvert element på listen indeholder dimensionen af sættet af kuber, der tilhører denne familie af affine klasser. For eksempel er hver terning af den affine klasse med nummer 1.1 affint ækvivalent med terningen , sættet af terninger af denne klasse i rummet af alle terninger har dimension , og hver terning i familien af affine klasser med nummer 1.7 er affint ækvivalent til en af kuberne i én-parameterfamilien , hvor , sættet af terninger af denne familie i rummet af alle terningen har dimension . $y^{2}=x^{3}$ $\mathbb {R} P^{9}$ $\dim =5$ $(x-1)y^{2}-ax^{2}y+x^{3}=0$ $0<a<2$ $\mathbb {R} P^{9}$ $\dim =7$

Klasser afledt af terninger med spids, se fig. en.

1.1. ; . $y^{2}=x^{3}$ $\dim =5$

1.2. ; . $y=x^{3}$ $\dim =5$

1.3. ; . $x^{2}y=1$ $\dim =6$

1.4. ; . $x^{2}y=1-x$ $\dim =6$

1.5. ; . $(x-1)y^{2}+x^{3}=0$ $\dim =6$

1.6. ; . ${\displaystyle (x+1)y^{2}=x^{3))$ $\dim =6$

1.7. , hvor ; . $(x-1)y^{2}-ax^{2}y+x^{3}=0$ $0<a<2$ $\dim =7$

1.8. ; . $y^{2}-x^{2}yx^{3}=0$ $\dim =6$

1.9. , hvor ; . $(x+1)y^{2}-ax^{2}y+x^{3}=0$ $a > 0$ $\dim =7$

Klasser afledt af en terning med en løkke, se fig. 2.

2.1. ; . $y^{2}=x^{2}(x+1)$ $\dim =6$

2.2. , hvor ; . $\left(1-{\frac {x}{a}}\right)y^{2}=x^{2}\left(x+1\right)$ $a > 0$ $\dim =7$

2.3. ; . ${\displaystyle \left(1-x\right)y^{2}=x^{2))$ $\dim =6$

2.4. , hvor ; . $\left(1-{\frac {x}{a}}\right)y^{2}=x^{2}\left(1-x\right)$ $0<a<1$ $\dim =6$

2.5. ; . $(x+1)(x-1)y+1=0$ $\dim =6$

2.6. , hvor ; . $\left({\frac {x}{a}}+1\right)y^{2}=x^{2}\left(x+1\right)$ $a>1$ $\dim =7$

2.7. , hvor og ; . $\left(x-1\right)y^{2}=bx(x+a)(yx)$ $a > 0$ $0\leq b<4$ $\dim=8$

2.8. , hvor ; . $(x-1)y^{2}=ax(yx)$ $a > 0$ $\dim =7$

2.9. ; . ${\displaystyle xy=(x-1)^{3))$ $\dim =6$

2.10. , hvor ; . $(x-1)y^{2}=ax(yx)$ $a<-4$ $\dim =7$

2.11. , hvor og ; . $\left(1-x\right)y^{2}=bx\left(xa\right)\left(yx\right)$ $a>1$ $b>0$ $\dim=8$

2.12. , hvor ; . $(x+1)(xa)y+x=0$ $a > 0$ $\dim =7$

2.13. , hvor og ; . $(x+1)(xa)y+x^{2}=0$ $a > 0$ $a\neq 1$ $\dim =7$

2.14. , hvor og ; . $\left({\frac {x}{a}}+1\right)y^{2}-bx^{2}y=x^{2}\left(x+1\right)$ $a > 0$ $b>0$ $\dim=8$

Klasser afledt af terninger med et isoleret punkt, se fig. 3, hvor kuberne i familier med numrene 3.1, 3.2, 3.4 - 3.8, 3.10 - 3.12 har et isoleret punkt ved koordinaternes begyndelse , og kuberne i familier med numrene 3.3 og 3.9 har et isoleret punkt i skæringspunktet mellem linjen og linjen i det uendelige , dvs. på et punkt med projektive koordinater . $O=(0,0)$ $x=0$ $z=0$ $(0:1:0)$

3.1. ; . $y^{2}=x^{2}(x-1)$ $\dim =6$

3.2. , hvor ; . $\left(1-{\frac {x}{a}}\right)y^{2}=x^{2}\left(x-1\right)$ $a>1$ $\dim =7$

3.3. ; . $(x^{2}+1)y=x^{2}$ $\dim =6$

3.4. , hvor ; . $\left({\frac {x}{a}}+1\right)y^{2}=-x^{2}\left(x+1\right)$ $0<a<1$ $\dim =7$

3.5. ; . ${\displaystyle \left(x+1\right)y^{2}=-x^{2))$ $\dim =6$

3.6. , hvor ; . $\left({\frac {x}{a}}+1\right)y^{2}=x^{2}\left(x-1\right)$ $0<a<{\frac {1}{3))$ $\dim =7$

3.7. ; . $\left(3x+1\right)y^{2}=x^{2}\left(x-1\right)$ $\dim =6$

3.8. , hvor ; . $\left({\frac {x}{a}}+1\right)y^{2}=x^{2}\left(x-1\right)$ $a>{\frac {1}{3}}$ $\dim =7$

3.9. , hvor ; . $y(x^{2}+ax+1)=x$ $0\leq a<2$ $\dim =7$

3.10. , hvor og ; . $(1-x)y^{2}+bx(xa)(yx)=0$ $0<a<1$ $0<b<4$ $\dim=8$

3.11. , hvor ; . $(x+1)y^{2}+ax(y+x)=0$ $0<a<4$ $\dim =7$

3.12. , hvor , og ; . $\left(x+1\right)y^{2}-bx(xa)(y+x)=0$ $a > 0$ $b>0$ $a<{\frac {(a+1)(b+2-{\sqrt {b^{2}+4b)))}{2(b+4)-(a+1)\venstre( b+2+{\sqrt {b^{2}+4b}}\right)}}$ $\dim=8$

Klasser afledt af simple terninger, se fig. fire.

4.1. , hvor ; . $y^{2}=x\left[\left(xa\right)^{2}+1\right]$ $a\in \mathbb {R}$ $\dim =7$

4.2. , hvor og ; . $xy^{2}=-(x+a)\left[\left(xb\right)^{2}+1\right]$ $a > 0$ $b\in \mathbb {R}$ $\dim=8$

4.3. , hvor ; . $xy^{2}=-\left[\left(xa\right)^{2}+1\right]$ $a\in \mathbb {R}$ $\dim =7$

4.4. , hvor og ; . $xy^{2}=-(xa)\left[\left(xb\right)^{2}+1\right]$ $a > 0$ $b<{\frac {a^{2}-4}{4a))$ $\dim=8$

4.5. , hvor ; . $xy^{2}=-(xa)\left[\left(x-{\frac {a^{2}-4}{4a}}\right)^{2}+1\right]$ $a > 0$ $\dim =7$

4.6. , hvor og ; . $xy^{2}=-(xa)\left[\left(xb\right)^{2}+1\right]$ $a > 0$ $b>{\frac {a^{2}-4}{4a))$ $\dim=8$

4.7. , hvor , og ; . $xy^{2}=c[(xa)^{2}+1](y+xb)$ $a\in \mathbb {R}$ $b\geq 0$ $-4<c<0$ $\dim=9$

4.8. , hvor , og ; . $xy^{2}=-4[(xa)^{2}+1](y+xb)$ $a\in \mathbb {R}$ $b\geq 0$ $b\neq 2a$ $\dim=8$

4.9. , hvor , , , , , og ; . $xy^{2}=c[(xa)^{2}+1](y+xb)$ $a\in \mathbb {R}$ $b\geq 0$ ${\sqrt {c(c+4)(a^{2}+1)}}<ac-2b$ $0<c<2\left[a^{2}-ab+1+{\sqrt {(a^{2}-ab+1)^{2}+b^{2))}\right ]$ ${\frac {ac+2b+{\sqrt {(ac+2b)^{2}-c(c+4)(a^{2}+1)}}}{c+4}}<{ \frac {(c+4)(a^{2}+1)(\beta -b)}{(2a-b)^{2}-(c+4)(a^{2}+1)( \alpha +1)}}$ ${\sqrt {c(c+4)(a^{2}+1)}}<ac+2b$ $\alpha ={\frac {c-{\sqrt {c^{2}+4c}}}{2}}$ $\beta =-c\left[a-{\frac {a(c+2)+b}{\sqrt {c^{2}+4c))}\right]$ $\dim=9$

Klasser afledt af terninger med en oval, se fig. 5.

5.1. , hvor ; . $y^{2}=x(x+1)(x+a)$ $a>1$ $\dim =7$

5.2. , hvor ; . $xy^{2}=-(x+1)(x+a)(x+b)$ $1<a<b$ $\dim=8$

5.3. , hvor ; . $xy^{2}=-(x+1)(x+a)$ $a>1$ $\dim =7$

5.4. , hvor og ; . $xy^{2}=-(x+a)(x+1)(xb)$ $a>1$ $b>0$ $\dim=8$

5.5. , hvor ; . $xy^{2}=(x+1)(xa)$ $a>0$ $\dim =7$

5.6. , hvor ; . $xy^{2}=-(x+1)(xa)(xb)$ $0<a<b$ $\dim=8$

5.7. , hvor ; . $xy^{2}=-(x-1)(xa)$ $a>1$ $\dim =7$

5.8. , hvor og ; . $xy^{2}=(xa)(x-1)(xb)$ $0<a<1<b$ $b>({\sqrt {a}}+1)^{2}$ $\dim=8$

5.9. , hvor ; . $xy^{2}=(xa)(x-1)[x-({\sqrt {a}}+1)^{2}]$ $0<a<1$ $\dim =7$

5.10. , hvor og ; . $xy^{2}=(xa)(x-1)(xb)$ $0<a<1<b$ $b<({\sqrt {a}}+1)^{2}$ $\dim=8$

5.11. , hvor , og ; . $xy^{2}=c(x+1)(x+a)(x+yb)$ $a>1$ $b>-1$ $-4<c<0$ $\dim=9$

5.12. , hvor og ; . $xy^{2}=b(x+1)(x+ya)$ $a>-1$ $b\in {\mathbb {R}}$ $\dim=8$

5.13. , hvor , og ; . $xy^{2}=c(x+1)(xa)(x+yb)$ $a>0$ $-1<b<a$ $c>0$ $\dim=9$

5.14. , hvor og ; . $xy^{2}=-4(x+1)(x+a)(x+yb)$ $a>1$ $b>-1$ $\dim=8$

5.15. , hvor , , , , , ; . $xy^{2}=c(xa)(x-1)(x+yb)$ $0<a<1<b$ $c>0$ ${\frac {ac\left(\beta -b\right)}{\beta ^{2}-c\left[a\left(\alpha +1\right)-(a+1)\left (\beta -b\right)\right]}}>{\frac {c(a+1)+4b+{\sqrt {\mathcal {D}}}}{2(c+4)))$ ${\mathcal {D}}=[c(a-1)+4b]^{2}+16c(ba)$ $\alpha ={\frac {c-{\sqrt {c^{2}+4c}}}{2}}$ $\beta ={\frac {c\left[b+(a+1)\left(\alpha +1\right)\right]}{c-2\alpha }}$ $\dim=9$

Se også

Litteratur

↑ Newton I. "Enumeratio linearum tertii ordinis". — i "The matematical papers of Isaac Newton" (DT Whiteside, red.): Cambridge Univ. Press , V. 7, 1976, s. 565-645. Russisk oversættelse "Enumeration of curves of the third order" i Isaac Newton, "Mathematical Works" (oversat fra latin af D. D. Morduchai-Boltovsky ), 1937, s. 194-209, tilgængelig side for side online på Arkiveret kopi (utilgængelig link) . Dato for adgang: 8. februar 2016. Arkiveret fra originalen 12. juni 2008. . (ubestemt)
↑ 1 2 Newton I. "Den sidste 'Geometriæ libri duo'". — i "The matematical papers of Isaac Newton" (DT Whiteside, red.): Cambridge Univ. Press , V. 7, 1976, s. 402-469.
↑ Korchagin A. B., Newtonske og affine klassifikationer af ikke-henfaldende terninger, Algebra i Analiz, bind 24(2012), nr. 5, s. 94–123. engelsk oversættelse: Korchagin AB, Newtonske og affine klassifikationer af irreducible cubics, St. Petersborg matematik. J., bind. 24, 2013, s. 759-781.