Hyperoverflade

En hyperflade er en generalisering af forestillingen om en overflade af et 3-dimensionelt rum for et n-dimensionelt rum; er en mangfoldighed af dimension n , der er indlejret i et euklidisk rum med én dimension større . $n+1$

Hyperoverfladen som objekt spiller en vigtig rolle i differentialgeometri; mange vigtige matematiske teoremer kan let omformuleres ved hjælp af hyperoverflader (f.eks. Stokes-formlen og dens særlige tilfælde).

Hyperoverfladen er det hyppigste emne for rumbundter.

Et eksempel er lagdelingen af konfigurationsrummet (rummet for alle systemets mulige tilstande) i henhold til energiværdien. Dette specielle tilfælde kaldes et endimensionelt bundt af rum (da vi kan tildele hver hyperoverflade et reelt tal - energi).

Differentielle operatorer ( rotor osv.) er også formuleret i form af hyperoverflader. I betragtning af for eksempel strømmen af et vektorfelt gennem en overflade (det er også en hyperflade) i tredimensionelt rum, får vi nogle karakteristika for dette felt, som kan visualiseres.

I det flerdimensionale tilfælde går synligheden af begrebet "vektorfeltstrøm" tabt; ikke desto mindre er alle de grundlæggende egenskaber ved en hyperoverflade bevaret ( Ostrogradsky-Gauss-sætningen ).

På grund af tilstedeværelsen af nogle egenskaber, der er lige iboende i alle hyperoverflader ( Stokes' sætning ), skelnes en hyperoverflade til et separat objekt.

Enhed normal vektor

Lad hyperfladen være givet ved parametriske ligninger:

(1)\qquad {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(u^{1},u^{2},\dots u^{n})

Vi vil overalt i dette tilfælde betragte funktionerne (1) for at være tilstrækkeligt glatte (kontinuerlige anden afledede), med en ikke-degenereret metrisk tensor . Koordinatvektorerne ved et punkt i manifolden definerer et affint underrum , et hyperplan, der tangerer manifolden. Det ortogonale komplement til hyperplanet er linjen, der går gennem det givne punkt på manifolden og vinkelret på det. Vi vælger (en af de to mulige) retningen af denne linje og sætter enhedsvektoren på linjen . Ved et nabopunkt (tæt på punktet ) af manifolden vil den ortogonale linje være tæt i retning af linjen , så projektionen af vektoren på allerede entydigt definerer en positiv retning på linjen . Sæt den direkte enhedsvektor til side i denne positive retning . Når vi bevæger os fra et punkt i manifolden til et andet i et eller andet område af manifolden, får vi en vektorfunktion: $g_{{ij}}=({\mathbf {r}}_{i}\cdot {\mathbf {r}}_{j})$ ${\mathbf {r}}_{i}={\partial {\mathbf {r}} \over \partial u^{i}}$ $P$ $L$ $\mathbf {n}$ $P$ $P'$ $L'$ $L$ $L'$ $L'$ $L'$ ${\mathbf {n))'$

(2)\qquad {\mathbf {n}}={\mathbf {n}}(P)={\mathbf {n}}(u^{1},u^{2},\dots u^{n })

Denne funktion vil være kontinuerlig (fordi hyperoverfladen (1) er glat uden entalspunkter). Lad os prøve at udvide funktionen til hele manifolden . Dette kan gøres i det tilfælde, hvor vi bevæger os langs en hvilken som helst lukket kontur, der ligger i hyperoverfladen, startende fra et punkt og beregner normalvektoren ved kontinuitet, vender tilbage til et punkt med samme retning af normalvektoren. Sådan en hyperoverflade kaldes bilateral eller vejledende . Men der er også sådanne hyperoverflader, når vi, efter at have forbigået en lukket kontur, vender tilbage til et punkt med den modsatte normalvektor. Sådanne hyperflader kaldes ensidige eller ikke- orienterbare . Eksempler på ensidede hyperflader er Möbius-strimlen og Klein-flasken . $P$ $P$ $P$

Fra normalvektorens ortogonalitet til hyperoverfladens koordinatvektorer har vi ligningen:

(3)\qquad ({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {r}}_{i})=0

og enhedslængden af normalvektoren er beskrevet ved ligningen:

(4)\qquad {\mathbf {n}}^{2}=({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {n}})=1

Total krumning tensor

Fra udtryk

(5)\qquad {\mathbf {r}}_{{ij}}=\Gamma _{{ij}}^{k}{\mathbf {r}}_{k}+{\mathbf {b}} _{{ij}}

og det faktum, at der kun er én retning ortogonal på vektorerne , følger det, at alle vektorer er kollineære med vektoren , dvs. vi kan skrive: $\mathbf {n}$ ${\mathbf {r}}_{i}$ $\mathbf {n}$

(6)\qquad {\mathbf {b}}_{{ij}}={\mathbf {n}}b_{{ij}}

Tal er projektioner af vektorer på normalvektoren og kan derfor være både positive og negative. Ifølge formel (6) er krumningen af alle geodætiske linjer, der passerer gennem et fast punkt på manifolden, parallel med vektoren (krumningscentrene ligger på en ret linje vinkelret på manifolden): $b_{{ij}}$ ${\mathbf {b}}_{{ij}}$ $\mathbf {n}$ $P$ $\mathbf {n}$

(7)\qquad {\mathbf {k}}={\mathbf {b}}_{{ij}}\tau ^{i}\tau ^{j}={\mathbf {n}}b_{{ij }}\tau ^{i}\tau ^{j}={\mathbf {n}}k

(7a)\qquad k=b_{{ij}}\tau ^{i}\tau ^{j}

Afledte normale vektorer

Differentiering med hensyn til koordinaterne for manifolden med formel (4) giver:

(8)\qquad {\partial \over \partial u^{i}}{\mathbf {n}}^{2}=2({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {n}}_{ i})=0

det vil sige, at derivaterne af enhedsnormalvektoren er ortogonale på selve normalvektoren og ligger derfor tangent til hyperplanmanifolden. Vi kan udvide vektoren i form af basisvektorerne for tangentrummet: ${\mathbf {n}}_{i}={\partial {\mathbf {n}} \over \partial u^{i}}$ $\mathbf {n}$ ${\mathbf {n}}_{i}$

(9)\qquad {\mathbf {n}}_{i}=\alpha _{i}^{j}{\mathbf {r}}_{j}

Lad os finde ekspansionskoefficienterne . For at gøre dette multiplicerer vi venstre og højre del af formel (9) skalært med vektoren . Til venstre side har vi: $\alpha _{i}^{j}$ ${\mathbf {r}}_{k}$

(10)\qquad ({\mathbf {n}}_{i}\cdot {\mathbf {r}}_{k})=\partial _{i}({\mathbf {n}}\cdot {\ mathbf {r}}_{k})-({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {r}}_{{ik}})=-b_{{ik}}

Og til den rigtige:

(11)\qquad \alpha _{i}^{j}({\mathbf {r}}_{j}\cdot {\mathbf {r}}_{k})=\alpha _{i}^{ j}g_{{jk}}=\alpha _{{ik}}

Fra formlerne (9-11) får vi følgende formel til beregning af afledte af enhedsnormalvektoren i form af den totale krumningstensor:

(12)\qquad {\mathbf {n}}_{i}=-b_{i}^{j}{\mathbf {r}}_{j}

Bemærk, at vektoren er ortogonal i forhold til koordinaterne på manifolden, og derfor er dens kovariante afledte den samme som den partielle afledte (svarende til gradienten af en skalar): $\mathbf {n}$

(13)\qquad \nabla _{i}{\mathbf {n}}=\partial _{i}{\mathbf {n}}={\mathbf {n}}_{i}

For en geodætisk linje , som vi vil betragte som en buet linje i et omsluttende (n + 1)-dimensionelt euklidisk rum, vil hyperoverfladenormalvektoren falde sammen med kurvens hovednormalvektor, hvis tallet i formel (7a) er positivt , eller vil være den modsatte vektor (hvis <0). Lad os finde den geodætiske vridning : $\mathbf {n}$ $k$ $k$ ${\boldsymbol {\varkappa ))$

(14)\qquad {d{\mathbf {n}} \over ds}=-k{\boldsymbol {\tau }}+{\boldsymbol {\varkappa }}

(15)\qquad {d{\mathbf {n}} \over ds}={\mathbf {n}}_{i}{du^{i} \over ds}={\mathbf {n}}_{ i}\tau ^{i}=-b_{j}^{i}\tau ^{j}{\mathbf {r}}_{i}

(16)\qquad {\boldsymbol {\varkappa }}={d{\mathbf {n}} \over ds}+k{\boldsymbol {\tau }}=(-b_{j}^{i}\tau ^{j}+k\tau ^{i}){\mathbf {r}}_{i}

Fra formel (16) ser vi, at torsionen af den geodætiske linje vil være nul, hvis vektoren af tangenten og er en egenvektor for matrixen : $\tau ^{i}$ $b_{j}^{i}$

(17)\qquad b_{j}^{i}\tau ^{j}=k\tau ^{i}

Primære krumninger og retninger af en hyperoverflade

Den symmetriske tensor ved en tangent i et punkt til en vektorrums hyperoverflade definerer en lineær transformation: $b_{{ij}}$ $P$

(18)\qquad y_{i}=b_{i}^{j}x_{j}

og vi kan sætte problemet på egenværdierne og vektorerne for denne transformation. Lad os først gå til et koordinatsystem, der vil være rektangulært kartesisk ved punktet . Da den metriske tensor er enhed på dette punkt ( ), så vil de kovariante og kontravariante koordinater for tensoren være de samme, så transformation (18) udføres af en symmetrisk matrix . Som det er kendt fra teorien om matricer, har en symmetrisk matrix gensidigt ortogonale egenvektorer (vi kan også betragte dem som enheder), og alle egenværdier, der svarer til dem, er reelle tal (som kan være både positive og negative). I det valgte koordinatsystem har vi: $P$ $g_{ij}=\delta _{ij}$ $b_{{ij}}$ $b_{i}^{j}$ $n$ ${\boldsymbol {\tau }}^{{(s)))),\;s=1,2,\dots n$ $k^{{(s)}}$

(19)\qquad b_{i}^{j}\tau _{j}^{{(s)}}=k^{{(s)}}\tau _{i}^{{(s)} }

(20)\qquad \sum _{i}\tau _{i}^{{(s)}}\tau _{i}^{{(p)))=({\boldsymbol {\tau }}^ {{(s)}}\cdot {\boldsymbol {\tau }}^{{(p))))=\delta ^{{sp}}={\begin{cases}1,&s=p\\0 ,&s\neq p\end{cases}}

Formel (19) har en tensor karakter og er derfor gyldig i ethvert koordinatsystem, og ortogonaliteten af egenvektorer (20) kan også skrives i et hvilket som helst koordinatsystem gennem den metriske tensor:

(21)\qquad g^{{ij}}\tau _{i}^{{(s)}}\tau _{j}^{{(p)}}=g_{{ij}}\tau ^ {{(s)i}}\tau ^{{(p)j}}=\delta ^{{sp}}

Ved hjælp af formel (7a) kan vi finde krumningen af en geodætisk linje trukket parallelt med en af egenvektorerne : ${\boldsymbol {\tau }}^{{(s)))$

(22)\qquad k=b_{{ij}}\tau ^{{(s)i}}\tau ^{{(s)j}}=k^{{(s)}}\tau _{j }^{{(s)}}\tau ^{{(s)j}}=k^{{(s)}}

Egenværdierne kaldes hyperoverfladens hovedkrumninger , og egenvektorerne, der svarer til dem, kaldes hovedretningerne. $k^{{(1)}},k^{{(2)}},\dots k^{{(n)}}$

I et koordinatsystem, der i et hyperoverfladepunkt har koordinatvektorer, der falder sammen med hovedretningerne, vil den totale krumningstensormatrix være diagonal: $P$ $b_{{ij}}=b_{i}^{j}$

(23)\qquad B=(b_{{ij)))={\begin{bmatrix}k^{{(1)}}&0&\cdots &0\\0&k^{{(2)}}&\cdots &0 \\\cdots &\cdots &\ddots &\cdots \\0&0&\cdots &k^{{(n)}}\end{bmatrix}}

Det samme kan skrives i tensornotation:

(24)\qquad b_{{ij}}=k^{{(i)}}\delta _{{ij}}

I denne formel udføres der ikke tilføjelse efter indeks. $jeg$

Lad os nedskrive tensorens spektrale udvidelse ved hjælp af egenværdier og vektorer. I et vilkårligt koordinatsystem har vi: $b_{{ij}}$

(25)\qquad b_{{ij}}=\sum _{{s}}k^{{(s)}}\tau _{i}^{{(s)}}\tau _{j}^ {{(r)}}

Peterson-Codazzi-ligninger

Overvej virkningen af kommutatoren af kovariante derivater på koordinatvektorerne:

(26)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]{\mathbf {r}}_{i}=-R_{{\,ijk}}^{s}{\mathbf {r} }_{s}

Vi kan skrive denne kommutator i form af den samlede krumningstensor:

(27)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]{\mathbf {r}}_{i}=\nabla _{j}(\nabla _{k}{\mathbf {r} }_{i})-\nabla _{k}(\nabla _{j}{\mathbf {r}}_{i})=\nabla _{j}{\mathbf {b}}_{{ki }}-\nabla _{k}{\mathbf {b}}_{{ji}}=

\qquad =(\nabla _{j}{\mathbf {n}})b_{{ki}}+{\mathbf {n}}\nabla _{j}b_{{ki}}-(\nabla _{ k}{\mathbf {n}})b_{{ji}}-{\mathbf {n}}\nabla _{k}b_{{ji}}=-(b_{j}^{s}b_{{ ki}}-b_{k}^{s}b_{{ji}}){\mathbf {r}}_{s}+{\mathbf {n}}(\nabla _{j}b_{{ki} }-\nabla _{k}b_{{ji}})

Ved at sammenligne formlerne (26) og (27), finder vi:

(28)\qquad R_{{\,ijk}}^{s}=b_{j}^{s}b_{{ki}}-b_{k}^{s}b_{{ji}},\qquad R_{{ijkl}}=b_{{ik}}b_{{jl}}-b_{{il}}b_{{jk}}

(29)\qquad \nabla _{j}b_{{ki}}=\nabla _{k}b_{{ji}}

Ligning (29) kaldes Peterson-Codazzi-ligningen . Denne lighed kan fortolkes som følger: den kovariante afledte af den totale krumningstensor for en hyperoverflade er en symmetrisk tensor med tre indekser:

(30)\qquad \nabla _{i}b_{{jk}}=b_{{ijk}}

Intrinsic curvature tensor

Lad os erstatte spektraludvidelsen (25) med formel (28). Sådan finder du Riemann-tensoren:

(31)\qquad R_{{ijkl}}=b_{{ik}}b_{{jl}}-b_{{il}}b_{{jk}}=\sum _{{p,s}}\venstre (k^{{(p)}}\tau _{i}^{{(p)}}\tau _{k}^{{(p)}}k{(s)}\tau _{j} ^{{(s)}}\tau _{l}^{{(s)}}-k^{{(p)}}\tau _{i}^{{(p)}}\tau _{ l}^{{(p)}}k{(s)}\tau _{j}^{{(s)}}\tau _{k}^{{(s)}}\right)=

\qquad =\sum _{{p,s}}k^{{(p)}}k^{{(s)}}\tau _{i}^{{(p)}}\tau _{j }^{{(s)}}\venstre(\tau _{k}^{{(p)}}\tau _{l}^{{(s)}}-\tau _{l}^{{ (p)}}\tau _{k}^{{(s)}}\right)

Lad os introducere notationen af en bivector - et orienteret område bygget på to vektorer af hovedretninger: ${\boldsymbol {\sigma }}^{{(ps)))$

(32)\qquad {\boldsymbol {\sigma }}^{{(ps)}}={\boldsymbol {\tau }}^{{(p)))\wedge {\boldsymbol {\tau }}^{ {(r)}}

eller det samme i komponenter:

(33)\qquad \sigma _{{ij}}^{{(ps)}}=\tau _{i}^{{(p)}}\tau _{j}^{{(s)}} -\tau _{j}^{{(p)}}\tau _{i}^{{(s)}}

Disse bivectors har enhedsareal og er indbyrdes ortogonale:

(34)\qquad |{\boldsymbol {\sigma }}^{{(ps)}}|=|{\boldsymbol {\tau }}^{{(p)))||{\boldsymbol {\tau } }^{{(s)}}|\sin \phi =1

(35)\qquad \sigma _{{ij}}^{{(ps)}}\sigma ^{{(kl)\,ij}}=0,\;{\mbox{if }}(ps)\ neq(kl)

På højre side af formel (31) er de diagonale led med de samme indekser lig med nul, og de off-diagonale led er opdelt i to grupper med samme tal: led med , og led med . Derfor kan formel (31) omskrives som følger: $p=s$ $p<s$ $p>s$

(36)\qquad R_{{ijkl}}=\sum _{{p<s}}k^{{(p)}}k^{{(s)}}\sigma _{{ij}}^{ {(ps)}}\sigma _{{kl}}^{{(ps)}}

Det er let at se ud fra formel (36) og bivectorens egenskab , at den algebraiske Bianchi-identitet skal holde. Når alt kommer til alt, for enhver bivector (orienteret område) har vi identiteten: $\sigma ){ij}$

(37)\qquad \sigma _{{ij}}\sigma _{{kl}}+\sigma _{{jk}}\sigma _{{il}}+\sigma _{{ki}}\sigma _ {{jl}}=0

I koordinatsystemet bygget på hyperfladens hovedretninger har egenvektorerne koordinater:

(38)\qquad \tau _{i}^{{(s)}}=\delta _{i}^{s},\qquad {\boldsymbol {\tau }}^{{(s)}}= \{0,0,\dots 1,0,\dots 0\}

Her i udtrykket i parentes er enheden på -th pladsen, resten af koordinaterne er lig nul. $s$

Det er også nemt at nedskrive bivectorernes koordinater ved hjælp af formler (33): $\sigma _{{ij}}^{{(ps)}}$

(39)\sigma _{{ij}}^{{(ps)}}={\begin{cases}1,&i=p,\,j=s\\-1,&i=s,\,j= p\\0,&{\mbox{for alle andre }}i,j\end{sager}}

Fra (39) og (36) finder vi ikke-nul-komponenterne af Riemann-tensoren:

(40)\qquad R_{{ijij}}=-R_{{ijji}}=k^{{(i)}}k^{{(j)}},\qquad i\neq j

Da den metriske tensor i det valgte koordinatsystem er lig med identitetsmatrixen, finder vi Ricci-tensoren og den skalære krumning :

(41)\qquad R_{{ij}}=\sum _{{s}}R_{{isjs}}=0,\qquad {\mbox{if }}i\neq j

(41a)\qquad R_{{ii}}=\sum _{{j\neq i}}R_{{ijij}}=k^{{(i)}}\sum _{{j\neq i}} k^{{(j)}}

(42)\qquad R=\sum _{{i,j \over i\neq j}}k^{{(i)}}k^{{(j)}}=2\sum _{{i< j}}k^{{(i)}}k^{{(j)}}

Refleksion i en enkelt hypersfære ${\mathbb {S}}^{n}$

For hvert punkt på hyperoverfladen har vi en enhedsnormalvektor (formel 3), som vi sætter til side fra oprindelsen af det kartesiske koordinatsystem i det euklidiske dimensionelle rum. Enden af denne vektor (punkt) ligger på en hypersfære med enhedsradius. Lad os overveje, hvad billedet af hele hyperoverfladen kan være på denne hypersfære. ${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(u^{1},u^{2},\dots u^{n})$ ${\mathbf {n}}={\mathbf {n}}(u^{1},u^{2},\dots u^{n})$ $(n+1)$

Hvis hyperoverfladen er flad, vil kun ét punkt på hypersfæren være dens billede. Billedet af en cylinder eller kegle vil være en linje på en hypersfære (en cirkel er for en cirkulær cylinder eller kegle). I et mere generelt tilfælde vil dette være et område på hypersfæren, som især kan dække hele hypersfæren, endda mere end én gang. Så for en lukket manifold har vi nogle heltalskarakteristika - hvor mange gange dets billede dækker enhedshypersfæren. Naturligvis ændres denne karakteristik ikke under små deformationer af manifolden og er en topologisk invariant af hyperoverfladen.

For at udlede en integral formel til beregning af denne invariant, er en formel nødvendig for at konvertere volumener ved refleksion til en enhedshypersfære . ${\mathbb {S}}^{n}$

Overvej først et lille segment på manifolden, som vi vil repræsentere som en vektor . Dens billede på hypersfæren vil være et segment: $d{\mathbf {r}}={\mathbf {r}}_{i}du^{i}$

(43)\qquad d{\mathbf {n}}={\mathbf {n}}_{i}du^{i}=-(b_{i}^{j}du^{i}){\mathbf {r}}_{j}

Nu kan vi overveje en boks bygget på vektorer: $n$

(44)\qquad (d{\mathbf {r}})^{{(1)}}={\mathbf {r}}_{1}du^{1},\;(d{\mathbf {r }})^{{(2)}}={\mathbf {r}}_{2}du^{2},\;\dots \;(d{\mathbf {r}})^{{(n )}}={\mathbf {r}}_{n}du^{n}

Rumfanget af denne boks vil være værdien af en multivektor sammensat af følgende vektorer:

(45)\qquad d{\boldsymbol {\tau }}^{{({\mathbf {r}})))=({\mathbf {r}}_{1}\wedge {\mathbf {r}} _{2}\wedge \cdots \wedge {\mathbf {r}}_{n})du^{1}du^{2}\cdots du^{n}

Billederne af vektorer (44) på hypersfæren vil være følgende vektorer: ${\mathbb {S}}^{n}$

(46)\qquad {\begin{matrix}(d{\mathbf {n}})^{{(1)))={\mathbf {n}}_{1}du^{1}=(-\ sum _{{i_{1}}}b_{1}^{{i_{1}}}{\mathbf {r}}_{{i_{1}}})du^{1}\\(d{ \mathbf {n}})^{{(2)}}={\mathbf {n}}_{2}du^{2}=(-\sum _{{i_{2}}}b_{2} ^{{i_{2))}{\mathbf {r}}_{{i_{2}}})du^{2}\\\cdots \\(d{\mathbf {n}})^{{ (n)}}={\mathbf {n}}_{n}du^{n}=(-\sum _{{i_{n}}}b_{n}^{{i_{n}}}{ \mathbf {r}}_{{i_{n}}})du^{n}\end{matrix}}

Ud fra disse billeder udgør vi også en multivektor:

(47)\qquad d{\boldsymbol {\tau }}^{{({\mathbf {n}})))=({\mathbf {n}}_{1}\wedge {\mathbf {n}} _{2}\wedge \cdots \wedge {\mathbf {n}}_{n})du^{1}du^{2}\cdots du^{n}=(-1)^{n}\det (b_{j}^{i})\,d{\boldsymbol {\tau }}^{{({\mathbf {r}})))}

Det kan ses af formel (47), at billedet af multivektoren er proportional med originalen med en proportionalitetskoefficient, som vi betegner som følger:

(48)\qquad K^{{[n]}}=(-1)^{n}\det(b_{j}^{i})=(-k^{{(1)}})(- k^{{(2)}})\cdots (-k^{{(n)}})

og kald det den Gaussiske krumning af th grad. Denne koefficient , op til et fortegn, er lig med produktet af de vigtigste krumninger af hyperoverfladen. $n$

Produktegenskaberne af de vigtigste krumninger af en todimensionel hyperoverflade blev først undersøgt af den tyske matematiker Carl Friedrich Gauss i 1827 .

Gaussisk integral

Overvej en lukket hyperoverflade (som en kugle, torus osv.) og integrer den Gaussiske krumning over hele hyperoverfladen (dette er det Gaussiske integral): $M$

(49)\qquad I=\int _{{M}}K^{{[n]}}d\tau ^{{({\mathbf {r}})))}

Integranden på grund af (47) er lig med volumenelementet af enhedshypersfæren taget med et plus- eller minustegn, afhængigt af tegnet på den Gaussiske krumning. Et billede på en hypersfære kan have folder, når det samme punkt i hypersfæren er dækket med et "plus"-tegn for det ene punkt i manifolden og med et "minus"-tegn for et andet punkt på manifolden. I dette tilfælde kompenseres de tilsvarende bidrag til integralet (49). Men da billedet ikke har knækkede kanter (for tosidede hyperflader), skal det dække hele hypersfæren, måske flere gange. Dette faktum kan skrives som følgende formel: ${\mathbb {S}}^{n}$

(50)\qquad \int _{{M}}K^{{[n]}}d\tau ^{{({\mathbf {r}})}}=N\omega _{{n+1} }

hvor er et heltal (for tosidede hypersfærer), som kan være enten positivt eller negativt, og er volumenet af en enhedshypersfære: $N$ $\omega _{{n+1}}$

(51)\qquad \omega _{{n+1}}=\omega ({\mathbb {S}}^{n})={2\pi ^{{n+1 \over 2}} \over \ Gamma({n+1 \over 2})}

For ensidede hyperflader er formel (50) også gyldig, men i den er tallet et halvt heltal (da det samme punkt på manifolden har to billeder - diametralt modsatte punkter på hypersfæren). $N$

Bemærk, at der ikke for alle heltal og halvheltal eksisterer en glat lukket hyperoverflade, for hvilken lighed (50) gælder. For eksempel, hvis dimensionen af en hyperoverflade er n = 1, dvs. en kurve på et plan, kan tallet ikke være et halvt heltal (den dråbeformede kurve har en hale, hvor normalvektorerne er modsatte, men dette punkt er ikke et regulært punkt). Hele tal realiseres af kurver, der (på grund af selvskæringer) vikler sig rundt om et fast punkt i planet én gang. Formel (50) for kurven vil blive skrevet som følger: $N$ $N$ $N$ $N$ $L$

(51)\qquad -\oint _{L}kds=2\pi N

hvor er kurvens krumning, taget med et plus- eller minustegn, alt efter om kurven bøjer med eller mod uret. Tallet N = 0 realiseres for en ottetalskurve. $k$ $N$

For en todimensionel hyperflade ( ) i tredimensionelt rum er tallet halvdelen af Euler-karakteristikken: $S$ $n=2$ $N$

(52)\qquad N={1 \over 2}\chi (S)

og kan derfor antage alle heltal- og halvheltalsværdier mindre end eller lig med én: $N\leq 1$

Eksempler

I todimensionelt rum (plan) er enhver lukket kurve en hyperflade