Mellin transformation

Mellin-transformationen er en transformation , der kan opfattes som en multiplikativ version af den tosidede Laplace-transformation . Denne integrerede transformation er tæt forbundet med teorien om Dirichlet-serien og bruges ofte i talteori og i teorien om asymptotiske udvidelser . Mellin-transformationen er nært beslægtet med Laplace-transformationen og Fourier-transformationen , såvel som teorien om gammafunktioner og teorien om tilstødende specialfunktioner .

Transformationen er opkaldt efter den finske matematiker Hjalmar Mellin, der studerede den .

Definition

Den direkte Mellin-transformation er givet af:

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s-1}f (x)dx

Invers transformation - med formlen:

\left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int \ grænser _{ci\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds

Integrationen antages at finde sted i det komplekse plan . Betingelserne, hvorunder transformationen kan udføres, er de samme som betingelserne for Mellins inverse transformationssætning.

Forholdet til andre transformationer

Det tosidede Laplace-integral kan udtrykkes i form af Mellin-transformationen:

\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)

Og omvendt: Mellin-transformationen udtrykkes i form af Laplace-transformationen med formlen:

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s) .

Fourier-transformationen kan udtrykkes i form af Mellin-transformationen med formlen:

\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(-is)=\left\{{ \mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(-is)

Tilbage:

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s) =\venstre\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(er)

Mellin-transformationen relaterer også Newtons interpolationsformler eller binomiale transformationer til den sekvensgenererende funktion ved hjælp af Poisson-Mellin-Newton-cyklussen .

Eksempler

Cahen-Mellin-integralet

Hvis en:

$c>0,$
$\Re(y)>0,$
${\displaystyle y^{-s))$ på hovedgrenen,

derefter [1]

e^{-y}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{ci\infty }^{c+i\infty}\Gamma (s)y^{- s}\;ds

, hvor

\Gamma (s)

er gammafunktionen .

Opkaldt efter Hjalmar Mellin og den franske matematiker Eugène Cahen ( fransk: Eugène Cahen ).

Mellin transformation for Lebesgue space

I et Hilbert-rum er Mellin-transformationen givet noget anderledes. For et Lebesgue-rum inkluderer enhver fundamental stribe . I denne henseende er det muligt at definere en lineær operator som: $L^{2}(0,\infty )$ ${\tfrac {1}{2}}+i\mathbb {R}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M))))$

{\tilde {\mathcal {M))}\colon L^{2}(0,\infty )\to L^{2}(-\infty ,\infty ),\{{\tilde {\ matematiske {M}}}f\}(s):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}+er}f(x)\,dx

Det er:

\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\{{\mathcal {M}}f \}({\tfrac {1}{2}}-er)

Denne operator betegnes normalt og kaldes Mellin-transformationen, men her og i det følgende vil vi bruge notationen . ${\mathcal {M}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M))))$

inverse Mellin-transformationssætningerviser det

{\tilde {\mathcal {M))}^{-1}\colon L^{2}(-\infty ,\infty )\to L^{2}(0,\infty ),\{ {\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty } ^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}-is}\varphi (s)\,ds.

Også denne operator er isometrisk , dvs

\|{\tilde {\mathcal {M}}}f\|_{L^{2}(-\infty ,\infty )}=\|f\|_{L^{2}(0 ,\infty )}

for .

\forall f\in L^{2}(0,\infty )

Dette forklarer forholdet ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi ))))$

Forbindelse med sandsynlighedsteori

I sandsynlighedsteorien er Mellin-transformationen et vigtigt værktøj til at studere fordelingen af stokastiske variable [2] .

Hvis en:

$D=\{s:a\leqslant \Re (s)\leqslant b\},$
$a\leqslant 0\leqslant b,$
$x$ - tilfældig værdi,
$X^{+}=\max\{X,0\},$
$X^{-}=\max\{-X,0\},$

så er Mellin-transformationen defineret som:

{\mathcal {M}}_{X}(s)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{+}}(x)+i\ int \limits _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{-}}(x),

hvor er den imaginære enhed .

jeg

Mellin-transformationen af en tilfældig variabel bestemmer entydigt dens fordelingsfunktion . ${\mathcal {M}}_{X}(it)$ $x$ $F_{x}$

Ansøgning

Mellin-transformationen er især vigtig for informationsteknologi, især for mønstergenkendelse .

Noter

↑ Hardy, G.H.; Littlewood, JE Bidrag til teorien om Riemann Zeta-funktionen og teorien om fordelingen af primtal // Acta Mathematica : tidsskrift . - 1916. - Bd. 41 , nr. 1 . - S. 119-196 . - doi : 10.1007/BF02422942 . (Se noter deri for yderligere referencer til Cahens og Mellins arbejde, herunder Cahens afhandling.)
↑ Galambos, Simonelli, 2004, s. 15

Litteratur

Galambos, Janos; Simonelli, Italien. Produkter af tilfældige variable: anvendelser på fysikproblemer og til aritmetiske funktioner . — Marcel Dekker, Inc., 2004. - ISBN 0-8247-5402-6 .
Paris, R.B.; Kaminski, D. Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals (neopr.) . — Cambridge University Press , 2001.
polyanin, AD; Manzhirov, A. V. Håndbog for integralligninger (neopr.) . - Boca Raton: CRC Press , 1998. - ISBN 0-8493-2876-4 .
Flajolet, P.; Gourdon, X.; Dumas, P. Mellin transformationer og asymptotik: Harmoniske summer // Teoretisk datalogi. - 1995. - Bd. 144 , nr. 1-2 . - S. 3-58 .
Tables of Integral Transforms Arkiveret 30. juni 2007 på Wayback Machine på EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Mellin transform , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Weisstein, Eric W. Mellin Transform (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .

Links

Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Mellin Transformers og Asymptotics: Harmoniske summer. Arkiveret 24. maj 2006 på Wayback Machine
Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico Arkiveret 3. november 2012 på Wayback Machine , nyhedsgruppe es.ciencia.matematicas
Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas Arkiveret 29. januar 2007 på Wayback Machine (på spansk).
Mellin Transform Methods Arkiveret 11. april 2013 på Wayback Machine , Digital Library of Mathematical Functions , 2011-08-29, National Institute of Standards and Technology
Antonio De Sena og Davide Rocchesso, A Fast Mellin Transform With Applications in DAFX Arkiveret 14. september 2014 på Wayback Machine

Integrale transformationer
Abel transformerer Bessel forvandler sig Bushman transformation Gegenbauer transformation Hilbert transformation Kontorovich-Lebedev transformation Laplace transformation Meyer transformation Mehler-Fock transformation Mellin transformation Nerain transformation Radon transformation Stieltjes transformerer Fourier transformation Hankel transformation Hartley transformation