Kurzweil-Henstock integral

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 15. juni 2014; checks kræver 15 redigeringer .

Kurzweil-Henstock- integralet, en generalisering af Riemann-integralet , giver dig mulighed for fuldstændigt at løse problemet med at genoprette en differentierbar funktion fra dens afledte . Hverken Riemann-integralet (inklusive det upassende ) eller Lebesgue-integralet giver en løsning på dette problem i det generelle tilfælde.

Historie

Den første definition af et integral, der gør det muligt at løse et problem i det generelle tilfælde, blev givet af Arnaud Denjoy i 1912. Han gjorde et forsøg på at definere et integral, der ville tillade integration af for eksempel den afledede af en funktion defineret af nul ved nul. Funktionen er defineret og endelig på alle punkter, men ikke Lebesgue-integrerbar i et område med nul. I et forsøg på at skabe en generel teori brugte Denjoy transfinit induktion på de mulige typer af singulariteter, hvilket gjorde definitionen ret kompliceret. Lidt senere forenklede Nikolai Luzin Denjoys definition, men selv efter forenklingen forblev denne definition teknisk meget kompliceret. I 1914 gav Oscar Perron en anden definition af integralet, som også tillader en fuldstændig at løse problemet med at genoprette en funktion fra dens afledte. Efter 10 år etablerede Pavel Aleksandrov og Robert Loman identiteten af Denjoy og Perron integralerne. $f(x)=x^{2}\cos \left({\frac {\pi}{x^{2))}\right)$ $\displaystyle f'(x)$

I 1957 foreslog den tjekkiske matematiker Jaroslav Kurzweil en ny definition af integralet, som også gjorde det muligt fuldstændigt at løse problemet med at genoprette en funktion fra dens afledte. Hans definition var en modifikation af definitionen af Riemann-integralet. En yderligere teori om dette integral blev udviklet af Ralph Henstock , efter hans arbejde er konstruktionen kendt som Kurzweil-Henstock-integralet . Dette integral er også identisk med Denjoy- og Perron-integralerne og dækker således Lebesgue-integralet i det endimensionelle tilfælde.

På grund af enkelheden i definitionen af Henstock-Kurzweil-integralet går nogle lærere ind for at introducere det i programmet for det indledende kursus af matematisk analyse , men indtil videre er denne idé kun delvist blevet implementeret ved Mekanik- og Matematik-afdelingerne ved Moskva State University og Saratov State University .

Definition

For at definere Kurzweil-Henstock-integralet introduceres flere mellemliggende begreber:

kalibreringsfunktion (skala) er en vilkårlig funktion ; $\delta \colon [a,b]\to (0,\infty )$
markeret partition af segmentet er et endeligt sæt af par , hvor og ; $P$ $[a,b]$ $\displaystyle (\xi _{k},[x_{k-1},x_{k}])$ $a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}=b$ $\xi _{k}\in [x_{k-1},x_{k}]$
en markeret partition siges at være -tynd (konsistent med ), hvis for alle fra til ; $P$ $\delta$ $\delta$ $\xi _{k}-\delta (\xi _{k})<x_{k-1}\leqslant \xi _{k}\leqslant x_{k}<\xi _{k}+\ delta(\xi _{k})$ $k$ $en$ $n$
for den markerede partition og funktion er integralsummen udtrykket: $P$ $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ $S(P,f)=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})f(\xi _{k})$ .

En funktion siges at være Kurzweil-Henstock-integrerbar på intervallet, hvis der findes et tal (kaldet Kurzweil-Henstock-integralet af funktionen på intervallet ), der har følgende egenskab: for enhver eksisterer der en målerfunktion, således at for enhver partition kompatibel med den markerede partition . $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ $[a,b]$ $jeg$ $f$ $[a,b]$ $\varepsilon >0$ ${\displaystyle \delta _{\varepsilon ))$ ${\displaystyle \delta _{\varepsilon ))$ $P$ $|S(P,f)-I|<\varepsilon$

Eksistensen af partitioner, der er kompatible med markerede partitioner for en given målerfunktion, følger af Cousin 's teorem . $\delta$ $\delta$

Riemann-integralet er et specialtilfælde af Kurzweil-Henstock-integralet; kun konstantmålerfunktioner er tilladt i dens definition.

Litteratur

Lukashenko T. P., Skvortsov V. A., Solodov A. P. Generaliserede integraler 2010. 280 s. ISBN 978-5-397-00267-7

Kurzweil-Henstock integral

Historie

Definition

Litteratur

Links