Abel integral transformation

Abel- integraltransformationen er en transformation, der ofte bruges i analysen af sfærisk eller cylindrisk symmetriske funktioner . Opkaldt efter den norske matematiker N. H. Abel . For en funktioner Abel-transformationen givet af ligningen $f(r)$

F(y)=2\int \limits _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2} }}}.

Hvis funktionen falder hurtigere end , så kan du beregne den inverse Abel-transformation: $f(r)$ $r$ $1/r$

f(r)=-{\frac {1}{\pi }}\int \limits _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dy}}\,{\frac {dy }{\sqrt {y^{2}-r^{2))))

I billedbehandling bruges Abel-transformationen til at projicere en symmetrisk, optisk tynd emissionsfunktion på et plan. Den omvendte transformation bruges til at gendanne en funktion fra dens projektion (f.eks. fotografier).

Geometrisk fortolkning

Abel-transformationen i det todimensionelle tilfælde kan betragtes som en projektion af en aksesymmetrisk funktion langs parallelle linjer, der passerer i en afstand fra aksen. Ifølge figuren til højre vil observatøren (I) se værdien $F(y)$ $f(r)$ $y$

F(y)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(r)\,dx,

hvor er den aksesymmetriske funktion vist på figuren med grå farve. Det antages, at observatøren er ved og dermed grænserne for integration er lig med . Alle observationslinjer er parallelle med aksen . $f(r)$ $x=\infty ,$ $\pm\infty$ $x$

Når vi bemærker, at radius er relateret til og som , får vi det $r$ $x$ $y$ $r^{2}=x^{2}+y^{2}$

dx={\frac {r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2))))

Da variablen ikke ændrer fortegn under integration , er integranden (både og udtrykket for ) en lige funktion . Derfor kan man skrive $r$ $f(r)$ $dx$

\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(r)\,dx=2\int \limits _{0}^{\infty }f(r)\,dx.

Udskiftning af variablen med giver Abel-transformationsformlen: $x$ $r$

F(y)=2\int \limits _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2} }}}.

Abel-transformationen kan generaliseres til flere dimensioner. Sagen om tre dimensioner er særlig interessant. I tilfælde af en aksesymmetrisk funktion , hvor er radius i cylindriske koordinater , er det muligt at projicere funktionen på et plan parallelt med aksen . Uden tab af generalitet kan man tage et fly parallelt med flyet . Hvori $f(\rho ,z)$ $\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}$ $z$ $yz$

F(y,z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\rho ,z)\,dx=\int \limits _{y}^{\infty }{ \frac {f(\rho ,z)\rho \,d\rho }{\sqrt {\rho ^{2}-y^{2)))),

som er Abel-transformationen for i variablerne og . $f(\rho ,z)$ $\rho$ $y$

Et særligt tilfælde af aksial symmetri er sfærisk symmetri. I dette tilfælde er der en funktion , hvor . $f(r)$ $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Projektionen på flyet vil have cirkulær symmetri, som kan skrives som , hvor . Ved at integrere får vi $yz$ $F(s)$ ${\displaystyle s^{2}=y^{2}+z^{2))$

F(s)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(r)\,dx=\int \limits _{s}^{\infty }{\frac {f( r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-s^{2))))),

som igen er Abel-transformationen for i variablerne og . $f(r)$ $r$ $s$

Forholdet til andre transformationer

Abel-transformationen er et medlem af den såkaldte Fourier-Hankel-Abel-cyklus. For eksempel i tilfælde af to dimensioner, hvis det er angivet med Abel-transformationen, Fourier -transformationen og ved Hankel -transformationen af nul orden, så for funktioner med cirkulær symmetri, ligheden $EN$ $F$ $H$

FA=H,

det vil sige, at hvis du først anvender Abel-transformationen på en en-dimensionel funktion, og derefter Fourier-transformationen, så vil resultatet være det samme som efter at have anvendt Hankel-transformationen på funktionen.

Integrale transformationer
Abel transformerer Bessel forvandler sig Bushman transformation Gegenbauer transformation Hilbert transformation Kontorovich-Lebedev transformation Laplace transformation Meyer transformation Mehler-Fock transformation Mellin transformation Nerain transformation Radon transformation Stieltjes transformerer Fourier transformation Hankel transformation Hartley transformation