Trapezmetode

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. februar 2022; checks kræver 7 redigeringer .

Trapezmetoden er en metode til numerisk integration af en funktion af en variabel, som består i at erstatte integranden på hvert elementært segment med et polynomium af første grad, det vil sige en lineær funktion. Arealet under grafen for funktionen er tilnærmet ved rektangulære trapezoider . Den algebraiske rækkefølge af nøjagtighed er 1.

Hvis segmentet er elementært og ikke undergår yderligere partitionering, kan værdien af integralet findes ved formlen $\left[a,b\right]$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {f(a)+f(b)}{2}}(ba)+E(f),\qquad E(f) )=-{\frac {f''(\xi )}{12}}\left(ba\right)^{3}.

Dette er en simpel anvendelse af formlen for arealet af en trapez - produktet af halvdelen af summen af baserne, som i dette tilfælde er værdierne af funktionen ved segmentets yderpunkter, med højden (længden af integrationssegmentet). Approksimationsfejlen for et elementært segment kan estimeres gennem maksimum af den anden afledede

\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {\left(ba\right)^{3}}{12}}\max _{x\in [a,b]}\venstre |f''(x)\right|

(for tilfælde af opdeling af et segment i n dele, se de sammensatte formler nedenfor).

Sammensat formel

Hvis segmentet er opdelt af integrationsknuder , , således at og , og trapezformlen anvendes på hvert af de elementære segmenter , så vil summeringen give den sammensatte trapezformel $\left[a,b\right]$ $x_{i}$ $i=0,1,\ldots ,n$ $x_{0}=a$ $x_{n}=b$ $[x_{i},x_{i+1}]$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{{i=0}}^{{n-1}}{\frac {f(x_{i})+f (x_{{i+1}})}{2}}(x_{{i+1}}-x_{{i}})=

={\frac {f(a)}{2}}(x_{1}-a)+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n-1} {f(x_{i})}(x_{i+1}-x_{i-1})+{\frac {f(b)}{2}}(b-x_{n-1}).

Cotes formel

I tilfælde af et ensartet gitter , hvor er gittertrinnet, er den sammensatte trapezformel forenklet: $x_{j}=a+jh$ $h=(ba)/n$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=h\venstre({\frac {f_{0}+f_{n}}{2}}+\sum _{{i=1} }^{{n-1}}f_{i}\right)+E_{n}(f),

og for fejlen er følgende estimat sandt:

E_{n}(f)=-{\frac {f''(\xi )}{12}}(ba)h^{2}.

Egenskaber

Den trapezformede metode konvergerer hurtigt for oscillerende funktioner, fordi periodefejlen ophæves.
Metoden kan opnås ved at beregne det aritmetiske gennemsnit mellem resultaterne af anvendelsen af højre og venstre rektangelformler .

Se også

Litteratur

Demidovich B.P. , Maron I.A. Grundlæggende om beregningsmatematik. - 2. - Phys-Mat. Lit., 1963. - S. 659.

Integralregning

Hoved

Generaliseringer
af Riemann-integralet

Integrale
transformationer

Numerisk
integration

måle teori

relaterede emner

Lister over integraler