Gegenbauer transformation

Gegenbauer-transformationen er den integrerede transformation af funktionen : $T\venstre\{F(t)\højre\}$ $F(t)$

T\venstre\{F(t)\right\}=\int \limits _{{-1}}^{{+1}}(1-t^{2})^{{\rho -1/2 }}C_{n}^{\rho }(t)F(t)dt=f_{n}^{\rho },

\rho >-1/2,~n=0,~1,~2,~\ldots,

hvor er Gegenbauer polynomier . Hvis funktionen udvides til en generaliseret Fourierrække i Gegenbauer polynomier, så gælder inversionsformlen $C_{n}^{\rho }(t)$

F(t)=\sum _{{n=0}}^{{\mathcal {1}}}{{n!(n+\rho )\Gamma ^{2}(\rho )2^{{2\ rho -1}}} \over {\pi \Gamma (n+2\rho )))C_{n}^{\rho }(t)f_{n}^{\rho }(t),~-1 <t<1

Gegenbauer-transformationen reducerer differentialdriften

R\venstre[F(t)\højre]=(1-t^{2})F^{{\prime \prime }}-(2\rho +1)tF^{{\prime }}

T\venstre\{R\venstre[F(t)\højre]\højre\}=-n(n+2\rho )f_{n}^{\rho }

Opkaldt efter den østrigske matematiker Leopold Gegenbauer (1849-1903).

Litteratur

Ditkin V. A., Prudnikov A. P. , i samling: Resultatet af videnskab. Ser. Matematik. Matematisk analyse. 1966, M., 1967, s. 7-82.

Integrale transformationer
Abel transformerer Bessel forvandler sig Bushman transformation Gegenbauer transformation Hilbert transformation Kontorovich-Lebedev transformation Laplace transformation Meyer transformation Mehler-Fock transformation Mellin transformation Nerain transformation Radon transformation Stieltjes transformerer Fourier transformation Hankel transformation Hartley transformation