Hausdorff mål

Hausdorff-målet er det fælles navn for den klasse af mål, der er defineret på Borel - algebraen $\sigma$ af et metrisk rum . Bygget af Felix Hausdorff . [en] ${\mathcal {B}}(X)$ $x$

Definition

Overvej en klasse af åbne delmængder , hvor vi definerer en ikke-negativ funktion og ${\mathcal {U}}$ $x$ $l=\{l(A)\midt A\in {\mathcal {U}}\}$

\lambda (B,\;\varepsilon )=\inf \left\{\sum _{{i=1}}^{n}l(A_{i})\right\},

hvor infimum overtages alle endelige eller tællelige belægninger af Borel-sættet ved sæt fra med en diameter på ikke over , dvs. $B\undersæt X$ ${\mathcal {U}}$ $\varepsilon$

B\subset \bigcup _{{i=1}}^{n}A_{i}\in {\mathcal {U}}

\mathrm {diam} \,A_{i}\leqslant \varepsilon ,\quad i=1,\;2,\;\ldots

Hausdorff-målet defineret af klassen og funktionen kaldes grænsen $\lambda$ ${\mathcal {U}}$ $l$

\lambda (B)=\lim _{{\varepsilon \to 0}}\lambda (B,\;\varepsilon ).

Eksempler

Lad være samlingen af alle bolde i , a , hvor . Så vil den tilsvarende foranstaltning blive kaldt Hausdorff-målet . For et sådant mål vil blive kaldt det lineære Hausdorff-mål , og for det plane Hausdorff-mål . ${\mathcal {U}}$ $x$ $l(A)=({\mathrm {diam}}\,A)^{\alpha }$ $\alfa >0$ $\lambda$ $\alfa$ $\alpha=1$ $\alpha=2$
Hvis , er et sæt cylindre med sfæriske baser og akser parallelt med aksens retning og er lig med det dimensionelle volumen af cylinderens aksiale snit , så kaldes det tilsvarende Hausdorff-mål et cylindrisk mål . $X=\mathbb{R} ^{{n+1}}$ ${\mathcal {U}}$ $x_{{n+1}}$ $l(A)$ $n$ $A\in {\mathcal {U}}$

Litteratur

Dunford, N., Schwartz, J. Lineære operatorer. Generel teori. - pr. fra engelsk .. - M . : Redaktionel URSS , 2004. - T. 1. - 896 s. - ISBN 5-354-00601-5 . .

Noter

↑ Hausdorff, Felix (1918), Dimension und äusseres Mass , Mathematische Annalen T. 79 (1-2): 157–179 , DOI 10.1007/BF01457179 .

Integralregning

Hoved

Generaliseringer
af Riemann-integralet

Integrale
transformationer

Numerisk
integration

måle teori

relaterede emner

Lister over integraler