Gauss-metoden (numerisk integration)

Gauss- metoden er en numerisk integrationsmetode , der tillader at øge den algebraiske rækkefølge af nøjagtighed af metoder baseret på interpolationsformler ved et særligt valg af integrationsknuder uden at øge antallet af værdier for den anvendte integrand. Gauss-metoden gør det muligt at opnå den maksimale algebraiske nøjagtighed for et givet antal integrationsknuder.

For eksempel kan du for to noder få en 3. ordens nøjagtighedsmetode

I\approx {\frac {ba}{2}}\left(f\left({\frac {a+b}{2}}-{\frac {ba}{2{\sqrt {3} ))}\right)+f\left({\frac {a+b}{2}}+{\frac {ba}{2{\sqrt {3}}}}\right)\right)\,

hvorimod det for ækvidistante noder af metoden over 2. orden er umuligt at opnå. Generelt, ved at bruge point, kan du få en metode med en rækkefølge af nøjagtighed . Nodeværdierne for Gauss-metoden efter punkter er rødderne af Legendre- gradpolynomiet . Vægtværdierne beregnes med formlen , hvor er den første afledede af Legendre-polynomiet . $n$ $2n-1$ $n$ $n$ ${\displaystyle a_{i}={\frac {2}{(1-x_{i}^{2})\,[P_{n}'(x_{i})]^{2))))$ $P_{n}'$

For noder og vægte har følgende værdier: , vægte : . $n=3$ $x_{1,3}=\pm {\sqrt {0.6)),x_{2}=0$ $a_{1,3}={\frac {5}{9)),a_{2}={\frac {8}{9}}$

(Polynomiet er defineret på segmentet ). $[-1,1]$

Den mest kendte er den Gaussiske fempunktsmetode.

Gauss-Kronrod metode

Ulempen ved Gauss-metoden er, at den ikke har en nem (ud fra et beregningsmæssigt synspunkt) måde at estimere fejlen i den opnåede værdi af integralet. Brugen af Runge-reglen ved opdeling af integrationssegmentet kræver, at man beregner integranden ved omtrent det samme antal punkter, mens man ikke giver næsten nogen gevinst i nøjagtighed, i modsætning til simple metoder, hvor nøjagtigheden øges flere gange med hver ny split. Kronrod foreslog følgende metode til at estimere værdien af integralet

I\ca. \sum _{{i=1}}^{{n}}a_{i}\,f(x_{i})+\sum _{{i=1}}^{{n+1} }b_{i}\,f(y_{i})

hvor er Gauss-metodens noder efter punkter, og parametrene , , er valgt på en sådan måde, at rækkefølgen af metodens nøjagtighed er lig med . Derefter, for at estimere fejlen, kan du bruge den empiriske formel : $x_{i}$ $n$ $3n+2$ $a_{i}$ $b_{i}$ $y_{i}$ $3n+1$

\Delta =\left(200|I-I_{G}|\right)^{{1.5}}

hvor er den omtrentlige værdi af integralet opnået ved Gauss-metoden over punkter. gsl- og SLATEC-bibliotekerne til beregning af bestemte integraler indeholder rutiner, der anvender Gauss-Kronrod-metoden for 15, 21, 31, 41, 51 og 61 point . $I_{G}$ $n$

Se også

Litteratur

Boltachev G.Sh. Numeriske metoder i termisk fysik. Forelæsningskursus Forelæsning 3: Numerisk integration

Integralregning

Hoved

Generaliseringer
af Riemann-integralet

Integrale
transformationer

Numerisk
integration

måle teori

relaterede emner

Lister over integraler