Stieltjes transformerer

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 11. november 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Stieltjes-transformationen er en integreret transformation , som for en funktion har formen: $f(x)$

F(\tau )=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)}{x+\tau }}dx,

hvor integration udføres langs den reelle halvakse, og ændringer i det komplekse plan , med et snit langs den negative reelle halvakse. $\tau$

Denne transformation er en foldningstransformation , den sker ved iteration af Laplace-transformationen . Stieltjes-transformationen er også relateret til momentproblemet for et semi-uendeligt spænd og, som en konsekvens, til nogle fortsatte brøker .

Hvis er kontinuerlig og begrænset til , er inversionsformlen gyldig: $f(x)x^{\frac {1}{2))$ $(0,\infty )$

f(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {(-1)^{n}}{2\pi }}\left({\frac {e}{n}} \right)^{2n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{2n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}} }F(x)\højre),\quad x>0.

For første gang blev denne transformation overvejet af T. I. Stiltjes .

Iteration af Laplace-transformationen

Vi betegner den direkte Laplace-transformation af funktionen (variabel ) som en funktion af den nye variabel som $f(x)$ $x$ $s$

{\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}(s)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-sx}f(x)\ ,dx.

Derefter den gentagne (itererede) Laplace-transformation

{\mathcal {L}}\left\{{\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}(s)\right\}(\tau )=\int _{0 }^{\infty }{\frac {f(x)}{x+\tau }}dx

er Stieltjes-transformationen (efter at have overtaget integralet ) . $s$

Derfor kan mange egenskaber ved Stieltjes-transformationen opnås direkte fra egenskaberne af Laplace-transformationen .

Grundlæggende egenskaber og teoremer

Betegn Stieltjes-transformationen af funktionen som $f(x)$

{\mathcal {S}}\left\{f(x)\right\}=F(\tau ).

Den tilsvarende inverse transformation vil blive betegnet som:

{\mathcal {S}}^{-1}\left\{F(\tau )\right\}=f(x).

Multiplicer original med variabel

I sum er billedet af originalen ganget med variablen og produktet af variablen og billedet lig med en konstant lig med integralet langs originalens positive reelle halvakse:

{\mathcal {S}}\left\{xf(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }f(x)dx-\tau F(\tau )

Forskel afledt af billeder

{\mathcal {S}}^{-1}\left\{{\frac {F(\tau )-F(\alpha )}{\tau -\alpha }}\right\}=-{ \frac {f(x)}{x+\alpha }},\quad |\operatørnavn {arg} (\alpha )|<\pi

Forskelsafledt af originalerne

{\mathcal {S}}\left\{{\frac {f(x)-f(a)}{xa}}\right\}={\frac {{\frac {1}{2} }\venstre(F(ae^{i\pi})+F(ae^{i\pi})\right)-f(a)\ln \left({\frac {\tau }{a))\ højre)-F(\tau )}{\tau +a}},\quad a>0

Argument Stretch

Når den oprindelige variabel skaleres med en faktor , skaleres billedvariablen også med en faktor: $-en$ $-en$

{\mathcal {S}}\left\{f(ax)\right\}=F(a\tau ),\quad a>0

Differentiering af originalen

Summen af billedet af den afledte og den afledede af billedet er lig med en konstant divideret med billedvariablen, og denne konstant er lig med værdien af originalen ved nul, taget med det modsatte fortegn:

{\mathcal {S}}\left\{f'(x)\right\}=-{\frac {f(0)}{\tau }}-F'(\tau )

Generaliseringer

Generaliseret Stieltjes transformation

F(\tau )=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)}{(x+\tau )^{\rho }}}dx.

Integreret Stieltjes transformation

F(\tau )=\int _{+0}^{\infty }K(\tau,x)f(x)dx,

hvor

K(\tau ,x)=\venstre\{{\begin{matrix}{\frac {\ln {\frac {\tau}{x))}{\tau -x)),&\tau \neq x\\{\frac {1}{\tau }},&\tau =x\\\end{matrix}}\right.

Litteratur

Matematisk encyklopædi Ed. kollegium: I. M. Vinogradov (redaktør) [og andre] M., "Sovjet Encyclopedia", 1977-1985.
Bateman G., Erdeyi A. Tabeller over integrerede transformationer. Bind 2: Bessel-transformers, integraler af specialfunktioner . - M, Videnskab, 1970

Integrale transformationer
Abel transformerer Bessel forvandler sig Bushman transformation Gegenbauer transformation Hilbert transformation Kontorovich-Lebedev transformation Laplace transformation Meyer transformation Mehler-Fock transformation Mellin transformation Nerain transformation Radon transformation Stieltjes transformerer Fourier transformation Hankel transformation Hartley transformation