Daniel integral

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 4. november 2017; verifikation kræver 1 redigering .

Daniel-integralet er en af generaliseringerne af Riemann-integralet , et alternativ til begrebet Lebesgue-integralet .

I sammenligning med Lebesgue-integralet kræver Daniell-integralet ikke den foreløbige udvikling af en passende måleteori , på grund af hvilken det har visse fordele, især i funktionel analyse, når det generaliseres til rum med højere dimensioner og yderligere generaliseringer (f.eks. i form af Stieltjes-integralet ). Konstruktionerne af Lebesgue og Daniel er ækvivalente, hvis vi betragter trinfunktioner som elementære , men når man generaliserer begrebet integral til mere komplekse objekter (f.eks. lineære funktionaler ), opstår der betydelige vanskeligheder med at konstruere integralet ifølge Lebesgue, mens Daniel integral er i disse tilfælde konstrueret relativt enkelt.

Foreslået af den engelske matematiker Percy John Daniel i 1918 [1] .

Definition

Hovedideen er at generalisere begrebet et integral, baseret på ideen om det som et funktionelt. Overvej en familie af afgrænsede funktioner med reel værdi (kaldet elementære funktioner ) defineret på rummet , som opfylder følgende aksiomer: $H$ $x$

Hvis , så . $f_{1}, f_{2} \i H$ $f_{1} + f_{2} \i H$
Hvis så , hvor er et reelt tal . $f\in H$ $jf \i H$ $c$
Hvis , så og . $f_{1}, f_{2} \i H$ $\max(f_{1}, f_{2}) \i H$ $\min(f_{1}, f_{2}) \i H$

Klassen får en funktion , der har følgende egenskaber: $H$ $U(f)$

$U(f_{1} + f_{2})=U(f_{1})+U(f_{2})$ .
$U(cf)=cU(f)$ .
Hvis og , så (Lebesgue-ejendom). $f_{1} \geqslant f_{2} \geqslant f_{3} \geqslant ...$ $\lim_{n \to \infty}f_{n}=0$ $\lim_{n \to \infty}U(f_{n})=0$
$U(f) \geqslant 0$ hvis [2] $f \geqslant 0$

I disse termer kan man definere sæt af mål nul. Et sæt , der er en delmængde af, har mål nul, hvis der for nogen eksisterer en ikke-aftagende sekvens af ikke-negative elementære funktioner, sådan at og på . $Z$ $x$ $\varepsilon >0$ $h_p(x)\i H$ $Ih_p<\varepsilon$ $\sup_p h_p(x)\geqslant 1$ $Z$

Hvis en bestemt betingelse er opfyldt overalt, undtagen måske for en delmængde af mål nul, så siges den at være opfyldt næsten overalt . $x$

Betragt mængden bestående af alle funktioner, der er grænsen for ikke-aftagende sekvenser af elementære funktioner næsten overalt, og sættet af integraler er afgrænset. Integralet af en funktion er per definition: $L^+$ $\{h_n\}$ $Ih_n$ $f\in L^+$

If=\lim_{n\to\infty}Ih_n.

Det kan vises, at denne definition er korrekt, det vil sige, at den ikke afhænger af valget af rækkefølgen . $\{h_n\}$

Egenskaber

Næsten alle sætninger i Lebesgue integralteori kan bevises med denne konstruktion, såsom Lebesgue-domineret konvergenssætning , Tonelli-Fubini-sætningen , Fatou-lemmaet og Rees-Fischer-sætningen . Dens egenskaber er de samme som dem for det almindelige Lebesgue-integral.

Mål baseret på Daniel-integralet

På grund af den naturlige overensstemmelse mellem mængder og funktioner er det muligt at konstruere en måleteori baseret på Daniell-integralet. Hvis vi tager den karakteristiske funktion af et sæt, så kan dets integral tages som et mål for dette sæt. Det kan påvises, at denne definition svarer til den klassiske definition af Lebesgue-mål . $\chi(x)$

Se også

Lebesgue-Stieltjes integral

Noter

↑ Daniell PJ A General Form of Integral // Annals of Mathematics . - 1918. - T. 19 , nr. 4 . — S. 279–294 . — ISSN 0003-486X . — .
↑ Udvikling af begrebet et integral, 1966 , s. 190.

Litteratur

Daniell, PJ , 1919, "Integraler i et uendeligt antal dimensioner", Annals of Mathematics 20 : 281-88.
Daniell, PJ , 1919, "Funktioner af begrænset variation i et uendeligt antal dimensioner", Annals of Mathematics 21 : 30-38.
Daniell, PJ , 1920, "Yderligere egenskaber ved det generelle integral", Annals of Mathematics 21 : 203-20.
Daniell, PJ , 1921, "Integral products and probability", American Journal of Mathematics 43 : 143-62.
Royden, H.L. , 1988. Real Analysis , 3. udg. Prentice Hall.
Pesin I. N. Udvikling af begrebet et integral. — M .: Nauka, 1966. — 202 s.
Shilov G. E., Gurevich B. L. Integral, mål, afledt. - M . : Nauka, 1967.

Integralregning

Hoved

Generaliseringer
af Riemann-integralet

Integrale
transformationer

Numerisk
integration

måle teori

relaterede emner

Lister over integraler