Lagrange metode (differentialligninger)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 29. december 2020; checks kræver 6 redigeringer .

Lagrange-metoden (metode til variation af vilkårlige konstanter) er en metode til at opnå en generel løsning til en inhomogen ligning , kende den generelle løsning af en homogen ligning , uden at finde en bestemt løsning .

Metode til variation af vilkårlige konstanter til at konstruere en løsning til en lineær inhomogen differentialligning

Lad os se efter en løsning på ligningen

a_{n}(t)z^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)z^{(n-1)}(t)+...+a_{1 }(t)z'(t)+a_{0}(t)z(t)=f(t),

forudsat at for den tilsvarende homogene ligning

a_{n}(t)z^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)z^{(n-1)}(t)+...+a_{1 }(t)z'(t)+a_{0}(t)z(t)=0\qquad (1)

Vi kender løsningen, som vi skriver som

z(t)=c_{1}z_{1}(t)+c_{2}z_{2}(t)+...+c_{n}z_{n}(t)

Metoden består i at erstatte vilkårlige konstanter i den generelle løsning med hjælpefunktioner . $c_{k}$ $c_{k}(t)$

Den afledte for vil blive skrevet ${\displaystyle z=c_{1}(t)z_{1}+c_{2}(t)z_{2}+...+c_{n}(t)z_{n))$

z'=c_{1}'z_{1}+\ldots +c_{n}'z_{n}\;+\;c_{1}z_{1}'+\ldots +c_{n} z_{n}'

Men vi vil desuden kræve (nedenfor er det vist, at dette ikke vil give problemer) det

c_{1}'z_{1}+c_{2}'z_{2}+\ldots +c_{n}'z_{n}=0

På denne måde $z'=c_{1}z_{1}'+\ldots +c_{n}z_{n}'$

Indførelse af lignende krav til med sekventiel differentiering op til (n-1) rækkefølge, får vi $c_{k}'$ $z(t)$

c_{1}'z^{(k-1)}+\ldots +c_{n}'z^{(k-1)}=0

\Højre pil

{\displaystyle z^{(k)}=c_{1}z_{1}^{(k)}+\ldots +c_{n}z_{n}^{(k)))

Og for den højeste afledte hhv

z^{(n)}=c_{1}'z_{1}^{(n-1)}+\ldots +c_{n}'z_{n}^{(n-1)}+ \;\ldots \;+c_{1}z_{n}^{(n)}+\ldots +c_{n}z_{n}^{(n)}

Efter at have erstattet den oprindelige ligning og reduceret den homogene opløsning (1) i den, forbliver den

a_{n}(t)\left[c_{1}'(t)z_{1}^{(n-1)}(t)+\ldots +c_{n}'(t)z_{ n}^{(n-1)}(t)\right]=f(t)

Som følge heraf ankommer vi kl

\left\{{\begin{matrix}z_{1}(t)c_{1}'(t)&+&z_{2}(t)c_{2}'(t)&+&.. .&+&z_{n}(t)c_{n}'(t)&=&0\\\vdots \\z_{1}^{(n-2)}(t)c_{1}'(t) &+&z_{2}^{(n-2)}(t)c_{2}'(t)&+&...&+&z_{n}^{(n-2)}(t)c_{ n}'(t)&=&0\\z_{1}^{(n-1)}(t)c_{1}'(t)&+&z_{2}^{(n-1)}(t )c_{2}'(t)&+&...&+&z_{n}^{(n-1)}(t)c_{n}'(t)&=&f(t)/a_{n }(t)\end{matrix}}\right.\qquad(2)

Determinanten for system (2) er Wronskian af funktioner , som sikrer dets unikke løselighed mht . . $z_{1},z_{2},...,z_{n}$ ${c_{k}'}$

Hvis antiderivater tages ved faste værdier af integrationskonstanter, så er funktionen $\widetilde {c_{k}}$ $c_{k}'$

z=z^{*}(t)=\widetilde {c_{1}}(t)z_{1}(t)+...+\widetilde {c_{n}}(t)z_{n}( t)

er en løsning på den oprindelige lineære inhomogene differentialligning. Integration af en inhomogen ligning i nærværelse af en generel løsning af den tilsvarende homogene ligning reduceres således til kvadraturer .

Eksempler

1) En ligning, der især opstår i loven om radioaktivt henfald

{\dot {x}}+\gamma x=f(t)

Den generelle løsning er elementært integreret:

{\displaystyle x=c\cdot e^{-\gamma t))

Vi anvender Lagrange-metoden:

c'e^{-\gamma t}=f(t)

Hvor er den ønskede løsning fra?

{\displaystyle x=\int f(t)e^{\gamma t}\,dt\;\cdot e^{-\gamma t))

2) Harmonisk oscillatorligning

{\ddot {x}}+\omega ^{2}x=f(t)

Vi skriver løsningen af den homogene ligning i formen

x=a\sin \omega t+b\cos \omega t

I henhold til system (2) opnår vi:

{\begin{cases}a'\sin \omega t+b'\cos \omega t=0,\\a'\cos \omega tb'\sin \omega t=f(t)/\omega ;\end{sager}}

a'={\frac {-{\frac {\cos \omega t}{\omega }}f(t)}{-1}}={\frac {\cos \omega t}{\omega }}f(t)

b'={\frac {{\frac {\sin \omega t}{\omega }}f(t)}{-1}}=-{\frac {\sin \omega t}{\omega }}f(t)

Lad os gendanne løsningen:

x(t)=\venstre(\int dt\,{\frac {\cos \omega t}{\omega }}f(t)\right)\sin \omega t-\left(\int dt \,{\frac {\sin \omega t}{\omega }}f(t)\right)\cos \omega t

Metode til variation af vilkårlige konstanter til at konstruere løsninger til et system af lineære differentialligninger i vektornormalform

{\frac {d{\bar {x}}}{dt}}=A(t){\bar {x}}+{\bar {f}}(t),t\in I\qquad (3)

består i at konstruere en generel løsning (3) i formen

{\bar {x}}={\bar {x^{*}}}(t)=Z(t){\bar {u}}(t),

hvor er grundlaget for løsninger af den tilsvarende homogene ligning, skrevet som en matrix, og vektorfunktionen , som erstattede vektoren af vilkårlige konstanter, er defineret af relationen . Den ønskede særlige løsning (med nul begyndelsesværdier) for har formen $Z(t)$ ${\bar {u}}$ ${\bar {u'}}(t)=Z^{{-1}}(t){\bar {f}}(t)$ $t=t_{0}$

{\bar {x}}={\bar {x^{*}}}(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}Z(t)Z^{-1 }(\tau ){\bar {f}}(\tau )d\tau .

For et system med konstante koefficienter er det sidste udtryk forenklet:

{\bar {x}}={\bar {x^{*}}}(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}Z(t-\tau ){\ bar {f}}(\tau )d\tau .

Matrixen kaldes operatørens Cauchy-matrix . $Z(t)Z^{{-1}}(\tau )$ $L=A(t)$

Lagrange metode (differentialligninger)

Metode til variation af vilkårlige konstanter til at konstruere en løsning til en lineær inhomogen differentialligning

Eksempler

Metode til variation af vilkårlige konstanter til at konstruere løsninger til et system af lineære differentialligninger i vektornormalform

Links