Liste over integraler af elementære funktioner

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 6. september 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Integration er en af de to grundlæggende operationer i calculus . I modsætning til driften af differentiering behøver integralet af en elementær funktion ikke at være en elementær funktion. For eksempel følger det af Liouvilles sætning , at integralet af ikke er en elementær funktion. Tabeller over kendte antiderivater er ofte meget nyttige, selvom de nu mister deres relevans med fremkomsten af computeralgebrasystemer. Denne side indeholder en liste over de mest almindeligt forekommende primitiver. $e^{x^2}$

$C$ bruges som en vilkårlig integrationskonstant, som kan bestemmes, hvis værdien af integralet på et tidspunkt er kendt. Hver funktion har et uendeligt antal antiderivater.

Regler for integration af funktioner

\int Cf(x)\,dx=C\int f(x)\,dx

\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx

\int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left(\int g(x)\,dx\right)\, df(x)

\int f(ax+b)\,dx = {1 \over a} F(ax+b)\,+C

Integraler af elementære funktioner

Rationelle funktioner

\int \!0\,dx=C

(antiderivatet af nul er en konstant; i ethvert integrationsområde er integralet af nul lig med nul)

\int \!a\,dx=ax+C

\int \!x^{n}\,dx={\begin{cases}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C,&n\neq -1\\ \ln \left|x\right|+C,&n=-1\end{cases}}

\int\!{dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\,\operatørnavn{arctg}\,\frac{x}{a} + C = - {1 \over a}\,\operatørnavn{arcctg}\,\frac{x}{a} + C

Bevis

Lad os lave en udskiftning , får vi $x=a\operatørnavn {tg} t$

$\int \!{dx \over {a^{2}+x^{2}}}=\int \!{d(a\operatørnavn {tg} t) \over a^{2}+( a\operatørnavn {tg} t)^{2}}={1 \over a}\int \!{\cos ^{2}t \over \cos ^{2}t}dt={t \over a} +C={1 \over a}\operatørnavn {arctg} {x \over a}+C.$

\int\!{dx \over {x^2-a^2}} = {1 \over 2a}\ln \left|{xa \over {x+a}}\right| + C

("høj logaritme")

Logaritmer

\int\!\ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C

\int \frac{dx}{x\ln x} = \ln|\ln x|+ C

\int\!\log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C = x\frac{\ln {x} - 1}{\ln b} + C

Eksponentielle funktioner

\int\!e^x\,dx = e^x + C

\int\!a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C

Irrationelle funktioner

\int\!{dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin {x \over a} + C

\int\!{-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arccos {x \over a} + C

\int\!{dx \over x\sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a}\,\operatørnavn{arcsec}\,{|x| \over a} + C

\int \!{dx \over {\sqrt {x^{2}\pm a^{2))))=\ln \left|{x+{\sqrt {x^{2}\pm a ^{2}}}}\right|+C

("lang logaritme")

\int \!{\sqrt {x^{2}+a^{2))}\,dx={1 \over 2}({x}{\sqrt {x^{2}+a^ {2}}}+{a}\ln |x+{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}|)+C

Bevis

Lad , antag også, at . Lad os bruge hyperbolske funktioner , foretage substitutionen $a<0$ $x\geq 0$ $x={\sqrt {-a}}\operatørnavn {ch} t,t\geq 0$

${\begin{aligned}\int \!{\sqrt {x^{2}+a}}dx&=\int {\sqrt {({\sqrt {-a}}\operatørnavn {ch} t) ^{2}+a}}d({\sqrt {-a}}\operatørnavn {ch} t)=-a\int {\sqrt {\operatørnavn {ch} ^{2}t-1}}\operatørnavn {sh} tdt\\&=-a\int \operatørnavn {sh} ^{2}tdt=-a\int {\operatørnavn {ch} 2t-1 \over 2}dt={-a \over 2}\ venstre({\operatørnavn {sh} 2t \over 2}-t\right)+C_{1}\\&={-a \over 2}(\operatørnavn {sh} t\operatørnavn {ch} tt)+C_ {1}\end{aligned}}$

Men

$\operatorname {sh} t={\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}-1}}={\sqrt {{x^{2} \over -a}-1}}={{ \sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}},$ $\operatørnavn {sh} t\operatørnavn {ch} t=x({\sqrt {x^{2}+a}} \over -a},$ $e^{t}=\operatørnavn {sh} t+\operatørnavn {ch} t={x+{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}}.$

Derfor

$t=\ln {x+{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}}.$

Derfor, herunder logaritmen af nævneren af den sidste brøk i konstanten C, får vi

$\int \!{\sqrt {x^{2}+a}}\,dx={x \over 2}{\sqrt {x^{2}+a}}+{a \over 2} \ln |x+{\sqrt {x^{2}+a}}|+C$

Hvis , så reducerer vi ved substitution integralen til den allerede behandlede sag. Hvis , så foretager vi en erstatning og udfører ræsonnementer svarende til det betragtede tilfælde [1] . $x<0$ $x=-t,t>0$ $a>0$ $x={\sqrt {a}}\operatørnavn {sh} t$

Trigonometriske funktioner

\int\!\sin{x}\, dx = -\cos{x} + C

\int\!\cos{x}\, dx = \sin{x} + C

\int\!\operatørnavn{tg}\, {x} \, dx = -\ln{\venstre| \cos {x} \right|} + C

Bevis

$\int \!\operatørnavn{tg}\, {x} \, dx = \int \frac {\sin x} {\cos x} dx= - \int \frac {d (\cos x) } {\cos x} = - \ln | \cos x | + C$

\int\!\operatørnavn{ctg}\, {x} \, dx = \ln{\venstre| \sin{x} \right|} + C

Bevis

$\int \!\operatørnavn{ctg}\, {x} \, dx = \int \frac {\cos x} {\sin x} dx= \int \frac {d (\sin x) } {\sin x } = \ln | \sin x | + C$

\int\!\sek{x} \, dx = \ln{\venstre| \sec{x} + \operatørnavn{tg}\,{x}\right|} + C

\int \!\operatørnavn {cosec} {x}\,dx=-\ln {\venstre|\operatørnavn {cosec} {x}+\operatørnavn {ctg} \,{x}\right|}+ C

\int\!\sec^2 x \, dx = \int\!{dx \over \cos^2 x} = \operatørnavn{tg}\,x + C

\int \!\operatørnavn {cosec} ^{2}x\,dx=\int \!{dx \over \sin ^{2}x}=-\operatørnavn {ctg} \,x+C

\int\!\sek{x} \, \operatørnavn{tg}\,{x} \, dx = \sek{x} + C

\int \!\operatørnavn {cosec} {x}\,\operatørnavn {ctg} \,{x}\,dx=-\operatørnavn {cosec} {x}+C

\int\!\sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C

\int\!\cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C

\int\!\sin^nx \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int\ !\sin^{n-2}{x} \, dx, n\in\mathbb{N}, n\geqslant 2

\int\!\cos^nx \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int\! \cos^{n-2}{x} \, dx, n\in\mathbb{N}, n\geqslant 2

\int\!\operatørnavn{arctg}\,{x} \, dx = x \, \operatørnavn{arctg}\,{x} - \frac{1}{2}\ln{\venstre( 1 + x^ 2 \right)} + C

Hyperbolske funktioner

\int \operatørnavn{sh}\,x \, dx = \operatørnavn{ch}\,x + C

\int \operatørnavn{ch}\,x \, dx = \operatørnavn{sh}\,x + C

\int \frac{dx}{\operatørnavn{ch}^2\,x} = \operatørnavn{th}\,x + C

\int \frac{dx}{\operatørnavn{sh}^2\,x} = - \operatørnavn{cth}\,x + C

\int \operatørnavn{th}\,x \, dx = \ln |\operatørnavn{ch}\,x| + C

\int \operatørnavn{csch}\,x \, dx = \ln\venstre| \operatørnavn{th}\,{x \over2}\right| + C

\int \operatørnavn {sech} \,x\,dx=\operatørnavn {arctg} \,\operatørnavn {sh} \,x+C

også

\int \operatørnavn{sech}\,x \, dx = 2\, \operatørnavn{arctg}\, (e^x) + C

også

\int \operatørnavn{sech}\,x \, dx = 2\, \operatørnavn{arctg} \, \left(\operatørnavn{th}\, \frac{x}{2}\right) + C

\int \operatørnavn{cth}\,x \, dx = \ln|\operatørnavn{sh}\,x| + C

Bevis på

Bevis for formlen : $\int \operatørnavn {sech} \,x\,dx=\operatørnavn {arctg} \operatørnavn {sh} \,x+C$

\int \operatørnavn {sech} \,x\,dx=\int {dx \over \operatørnavn {ch} x}=\int {\operatørnavn {ch} x \over \operatornavn {ch} ^{2 }x}dx=\int {d(\operatørnavn {sh} x) \over 1+\operatørnavn {sh} ^{2}x}=\operatørnavn {arctg} \operatørnavn {sh} x+C

Bevis for formlen : . $\int \operatørnavn{sech}\,x \, dx = 2\operatørnavn{arctg}(e^x) + C$ $\int \operatørnavn {sech} \,x\,dx=\int {dx \over \operatørnavn {ch} x}=2\int {dx \over e^{x}+e^{-x} }=2\int {d{e^{x}} \over 1+e^{2x}}=2\operatørnavn {arctg} (e^{x})+C$

Bevis for formlen : $\int \operatørnavn{sech}\,x \, dx = 2\, \operatørnavn{arctg}\,\left(\operatørnavn{th}\, \frac{x}{2}\right) + C$

{\begin{aligned}\int \operatorname {sech} \,x\,dx&=\int {1 \over \operatorname {ch} x}dx=\int {dx \over \operatorname {sh} ^ {2}{x \over 2}+\operatørnavn {ch} ^{2}{x \over 2}}=2\int {d({x \over 2}) \over \operatornavn {ch} ^{2 }{x \over 2}(1+\operatørnavn {th} ^{2}{x \over 2})}\\&=2\int {d(\operatørnavn {th} {x \over 2}) \ over 1+\operatørnavn {th} ^{2}{x \over 2}}=2\,\operatørnavn {arctg} \,\left(\operatørnavn {th} \,{\frac {x}{2}} \right)+C\end{aligned}}

Særlige funktioner

\int \operatørnavn {Ci} (x)\,dx=x\operatørnavn {Ci} (x)-\sin x

\int \operatørnavn {Si} (x)\,dx=x\operatørnavn {Si} (x)+\cos x

{\displaystyle \int \operatørnavn {Ei} (x)\,dx=x\operatørnavn {Ei} (x)-e^{x))

\int \operatørnavn {li} (x)\,dx=x\operatørnavn {li} (x)-\operatørnavn {Ei} (2\ln x)

\int {\frac {\operatørnavn {li} (x)}{x}}\,dx=\ln x\,\operatørnavn {li} (x)-x

\int \operatørnavn {erf} (x)\,dx={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\operatørnavn {erf} (x )

Noter

↑ Vinogradova I.A., Olehnik S.N., Sadovnichiy V.A. Problemer og øvelser i matematisk analyse. I 2 bøger. Bestil. 1 / udg. V.A. Sadovnichy. - 2. udg. - M .: Højere skole , 2000. - S. 187. - ISBN 5-06-003768-1 .

Bibliografi

Bøger

Gradshtein I. S., Ryzhik I. M. Tabeller over integraler, summer, serier og produkter. - 4. udg. - M .: Nauka, 1963. - ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
Dvait G. B. Tabeller over integraler St. Petersborg: Forlag og trykkeri af JSC VNIIG im. B. V. Vedeneeva, 1995. - 176 s. — ISBN 5-85529-029-8 . // EqWorld
D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulas , 31. udgave, 2002. ISBN 1-58488-291-3 .
M. Abramowitz og I. A. Stegun, red. Håndbog i matematiske funktioner med formler, grafer og matematiske tabeller , 1964. ISBN 0-486-61272-4
Korn G. A., Korn T. M. Håndbog i matematik for videnskabsmænd og ingeniører . - M . : " Nauka ", 1974.

Tabeller over integraler

Beregning af integraler

Lister over integraler efter funktionstyper
Elementære rationel irrationel trigonometrisk baglæns hyperbolsk baglæns eksponentiel logaritmiske funktioner