Hilbert transformation

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 27. november 2019; checks kræver 9 redigeringer .

Hilbert-transformationen i matematik og signalbehandling er en lineær operator , der kortlægger hver funktion af en reel variabel til en funktion i samme domæne ved at konvolvere den oprindelige funktion med funktionen . I fysik er disse relationer kendt som Kramers-Kronig-relationerne , som relaterer de imaginære og reelle dele af systemets komplekse responsfunktion. $u(t)$ $H(u)(t)$ $1/(\pi t)$

Definition

Hilbert-transformationen er defineret som følger (her betyder vp hovedværdien af det ukorrekte Cauchy-integral ):

H(u)(t)={\frac {1}{\pi }}\operatørnavn {vp} \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau ,

eller mere eksplicit:

H(u)(t)={\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int \limits _{\varepsilon }^{\infty }{\frac { u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }}\,d\tau ={\frac {2}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int \ grænser _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{2\tau }}\,d\tau =H(\delta )(t) *u(t):=\delta(jt)*u(t).

Egenskaber

Resultatet af at anvende Hilbert-transformationen to gange er den oprindelige funktion med det modsatte fortegn:

H{\big (}H(u){\big )}(t)=-u(t),

forudsat at begge transformationer eksisterer.

Hilbert-transformationen giver en funktion ortogonal til funktionen [1] . ${\displaystyle H{\big (}u(t){\big )))$ $u(t)$

Forholdet til Fourier-transformationen

Hilbert-transformationen er en multiplikator i det spektrale domæne.

{\mathcal {F}}{\big (}H(u){\big )}(\omega )=-i\operatørnavn {sgn} (\omega )\cdot {\mathcal {F}}( u)(\omega ),

hvor er en variant af den direkte Fourier-transformation uden en normaliseringsfaktor. ${\mathcal {F}}(u)(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }u(t)e^{-i\omega t}\,dt$

Omvendt transformation

H^{-1}=-H.

Nogle Hilbert-transformationer

I den følgende tabel er frekvensparameteren et reelt tal. $\omega$

Signal $u(t)\,$	Hilbert transformation $H(u)(t)$
konstant	0
$\sin \omega t$	$\operatørnavn {sgn}(\omega )\sin \left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2))\right)=-\operatørnavn {sgn}(\omega )\cos \omega t$
$\cos \omega t$	$\operatørnavn {sgn}(\omega )\cos \left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2))\right)=\operatørnavn {sgn}(\omega )\sin \omega t$
${\displaystyle e^{i\omega t))$	$\operatorname {sgn}(\omega )e^{i\left(\omega t-{\tfrac {\pi}{2))\right)}=-i\cdot \operatorname {sgn}(\ omega )e^{i\omega t}$
$1 \over t^{2}+1$	$t\over t^{2}+1$
$e^{-t^{2))$	$2\pi ^{-1/2}F(t)$ ( F ( t ) er Dawson-integralet )
Siden ${\frac {\sin t}{t))$	${\frac {1-\cos t}{t))$
Karakteristisk funktion over segmentet [ a , b ] $\chi _{[a,b]}(t)$	${{\frac {1}{\pi }}\ln \left\vert {\frac {ta}{tb}}\right\vert }$
Rektangulær funktion (et specialtilfælde af den forrige) $\sqcap(t)$	${1 \over \pi }\ln \left\vert {t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}}\right\vert$
delta funktion $\delta (t)$	${1 \over \pi t}$

Geometrisk sans

For periodiske funktioner, dvs. defineret på enhedscirklen, har Hilbert-transformationen en fortolkning i form af geometrien af uendeligt-dimensionelle homogene rum . Gruppen af orienteringsbevarende diffeomorfismer i cirklen har nemlig et kvotientrum i forhold til undergruppen bestående af rotationer (det vil sige orienteringsbevarende isometrier af cirklen). Det kaldes Kirillov -Yuriev- rummet og har en homogen kompleks struktur. Den tilhørende tensor er Hilbert-transformationen. Faktisk er tangentrummet til Kirillov-Yur'ev-rummet kvotienten af algebraen af vektorfelter på cirklen i forhold til konstante vektorfelter. Tangentbundtet til cirklen er trivielt, så vektorfelter kan identificeres med -periodiske funktioner, i hvilket tilfælde konstante vektorfelter bliver konstanter. På kvotienten af funktioner på cirklen i konstanter, fungerer Hilbert-transformationen faktisk som en kompleks strukturoperator (det vil sige en kvadratoperator ); dens eget underrum for en egenværdi (det der kaldes et underrum i Hodge-teorien ) er Hardy-rummet - grænseværdierne for kontinuerte funktioner på enhedsskiven, holomorfe på dens indre (med andre ord -periodiske funktioner, hvis alle har Fourierharmoniske ikke-nul har positive tal). $2\pi$ $\mathrm {Forskel} ^{+}(S^{1})$ $\mathrm {Diff} ^{+}(S^{1})/\mathrm {U} (1)$ $2\pi$ $-\mathrm {Id}$ ${\sqrt {-1}}$ $(1,0)$ $2\pi$

Kirillov-Yur'ev-rummet tillader et bundt over et andet uendeligt-dimensionelt homogent rum , en faktor i diffeomorfismegruppen med hensyn til grænseværdierne for Möbius-transformationen af (lineær-fraktionelle) disktransformationer. Det er let at se, at fibrene i dette bundt er homogene rum, der er biholomorfe i forhold til enhedsskiver. Dette bundt blev populariseret af A. G. Sergeev . $\mathrm {Diff} ^{+}(S^{1})/\mathrm {M{\ddot {o}}b} (S^{1})$ $\mathrm {M{\ddot {o}}b} (S^{1})/\mathrm {U} (1)$

Du kan også arbejde omvendt. Et andet velkendt eksempel på et cirkelbundt, hvis base har en naturlig kompleks struktur, er Hopf-bundtet . Keglen over kuglen kan identificeres med det komplekse vektorrum , hvorfra nul er blevet smidt ud. På samme måde kan en gruppe udvides med en gruppe (en sådan udvidelse er den algebraiske analog af restaureringen af en kegle) på en sådan måde, at den resulterende gruppe vil have strukturen af en uendelig-dimensionel kompleks Lie-gruppe. På niveau med Lie-algebraer er denne udvidelse givet af Gelfand - Fuchs cocycle , som er skrevet i form af funktioner på cirklen som . Den tilsvarende gruppe kaldes Virasora - gruppen (nogle gange Botta -Virasora) og er af fundamental betydning i strengteori og andre grene af konform feltteori . $S^{2n+1}\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n+1}$ $\mathrm {Forskel} ^{+}(S^{1})$ $\mathbb {R} _{>0}$ $\omega (f,g)=\int _{S^{1}}\left|{\begin{matrix}f'&g'\\f''&g''\end{matrix}}\right |dx$

Se også

Noter

↑ Grigoriev A. A. Forelæsninger om teorien om signaler S. 13. Dato for adgang: 21. juni 2017. Arkiveret 3. juli 2014. (ubestemt)

Integrale transformationer
Abel transformerer Bessel forvandler sig Bushman transformation Gegenbauer transformation Hilbert transformation Kontorovich-Lebedev transformation Laplace transformation Meyer transformation Mehler-Fock transformation Mellin transformation Nerain transformation Radon transformation Stieltjes transformerer Fourier transformation Hankel transformation Hartley transformation

David Hilberts bidrag til videnskaben
mellemrum	Hilbert plads Pre-Hilbert plads Gilbert mursten
aksiomatik	Hilberts aksiomatiske
Sætninger	Hilberts sætning 90 Hilberts basissætning Hilberts nulsætning Hilbert-Schmidts sætning
Operatører	Hilbert transformation Hilbert-Schmidt operatør
Generel relativitetsteori	Einstein-Hilberts ligninger " Hilbert og gravitationsfeltligningerne "
Andet	Hilbert problemer Hilbert kurve Hilbert matrix Hilbert-Arnold problem Hilbert-serien og Hilbert-polynomiet Paradoks "Grand Hotel"