Riemann integral

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. april 2022; checks kræver 3 redigeringer .

Riemann-integralet er den mest udbredte form af det bestemte integral . Meget ofte refererer udtrykket "bestemt integral" til Riemann-integralet, og det studeres som det allerførste af alle bestemte integraler i alle matematiske analyser. [1] Indført af Bernhard Riemann i 1854 , og er en af de første formaliseringer af begrebet et integral . [2]

Uformel beskrivelse

Riemann-integralet er en formalisering af begrebet areal under en graf. Lad os opdele segmentet, som vi leder efter området over, i et begrænset antal undersegmenter. På hvert af undersegmenterne vælger vi et bestemt punkt på grafen og konstruerer et lodret rektangel med undersegmentet som basis til netop det punkt på grafen. Overvej en figur opnået fra sådanne rektangler. Arealet S af en sådan figur med en specifik opdeling i segmenter med længder vil blive givet ved summen: $\Delta x_{i}$

{\displaystyle \sigma =\sum _{i}f(x_{i})\Delta x_{i))

Det er intuitivt klart, at hvis vi mindsker længden af disse undersegmenter, vil arealet af en sådan figur mere og mere nærme sig området under grafen. Det er denne bemærkning, der fører til definitionen af Riemann-integralet. [3]

Definition

Klassisk definition

Lad en funktion med realværdi defineres på intervallet . Vi vil tælle . $[a,b]$ $f$ $a<b$

For at definere et integral er det først og fremmest nødvendigt først at definere begrebet opdeling af et segment og de andre definitioner relateret til det.

En partition (umarkeret) af et segment er et begrænset sæt af punkter i segmentet , som inkluderer punkterne og . Som det fremgår af definitionen, indeholder en partition altid mindst to punkter. Splitpunkter kan arrangeres i stigende rækkefølge: . Sættet af alle partitioner i et segment vil blive betegnet med . $[a,b]$ $[a,b]$ $-en$ $b$ $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{{n-1}}<x_{n}=b$ $[a;b]$ $T[a;b]$

Splitpunkter, mellem hvilke der ikke er andre splitpunkter, kaldes tilstødende . Et segment, hvis ender er tilstødende splitpunkter, kaldes et delvist splitsegment . Vi betegner sådanne segmenter som . Længden af et delsegment af partitionen er angivet med . Længden af det største af segmenterne kaldes skillevægsdiameteren . For partitionering vil dens diameter blive betegnet som . $\Delta _{i}=[x_{i-1};x_{i}]$ $\Delta _{i}$ $\Delta x_{i}$ $\tau$ $d(\tau )$

En partitionsmarkering er et endeligt ordnet sæt , således at . Sættet af alle markeringer af partitionen vil blive betegnet som . $(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})$ ${\displaystyle \xi _{i}\in \Delta _{i))$ $\tau$ $\Xi (\tau )$

En mærket partition er et ordnet par , hvor er en umærket partition og er noget mærkning . Sættet af alle markerede partitioner i et segment vil blive betegnet som . $(\tau ,\xi )$ $\tau$ $\xi$ $\tau$ $[a;b]$ $T'[a;b]$

Efter alle disse definitioner kan vi gå videre til den direkte definition af Riemann-integralet.

Lad en mærket partition blive givet . Riemann-integralsummen af en funktion på en mærket partition kaldes . Riemann-integralet vil være grænsen for disse summer, da skillevægsdiameteren har en tendens til nul. Der er dog en subtilitet her: dette er grænsen for en funktion med markerede partitioner som argumenter, ikke tal, og den sædvanlige opfattelse af en grænse, når man nærmer sig et punkt, gælder ikke her. Det er nødvendigt at give en formel beskrivelse af, hvad vi mener med sætningen "grænse ved skillevægsdiameteren, der har en tendens til nul" $(\tau ,\xi )$ $f$ $(\tau ,\xi )$ ${\displaystyle \sigma (f,\tau ,\xi )=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i))$

Lad være en funktion, der tildeler et eller andet nummer til den mærkede partition. Tallet kaldes grænsen for funktionen, når partitionsdiameteren har en tendens til nul if $g:T'[a;b]\rightarrow \mathbb {R}$ $c$ $g$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall (\tau ,\xi )\in T'[a;b],d(\tau )<\delta :|g(\tau ,\xi)-c|<\varepsilon

Betegnelse: $c=\lim _{d(\tau )\to 0}g(\tau ,\xi )$

En sådan grænse er et særligt tilfælde af basisgrænsen . Faktisk betegner vi sættet af alle mærkede partitioner med diameter mindre end . Så er sættet en base på sættet , og grænsen defineret ovenfor er intet andet end grænsen over denne base. For sådanne grænser er alle egenskaber, der er iboende i basisgrænser, således opfyldt. $\delta$ ${\displaystyle D'_{\delta ))$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{D'_{\delta }|\delta >0\))$ $T'[a;b]$

Endelig kan vi definere Riemann-integralet. Riemann-integralet af en funktion i intervallet fra til $f$ $-en$ $b$ er grænsen for integral-Riemann-summen af en funktion på mærkede partitioner af et segment med en partitionsdiameter, der tenderer til nul. Ved hjælp af integralnotationen skrives dette som følger: $f$ $[a;b]$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{d(\tau )\to 0}\sigma (f,\tau ,\xi )

Riemann-integralet er også defineret for sagen . For det er defineret som $a\geq b$ $a>b$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx

For hvordan $a=b$

\int _{a}^{a}f(x)\,dx=0

[fire]

Gennem Darboux-integraler

Riemann-integralet kan defineres på en alternativ måde i form af Darboux-integraler. Normalt er en sådan definition bevist som en egenskab, og sætningen om deres ækvivalens kaldes Darboux' sætning . Fordelene ved en sådan definition er, at den giver os mulighed for at undvære begrebet en mærket partition, partitionsgrænsen, og giver et klarere billede af begrebet integrerbarhed.

For en umærket partition betegner vi det mindste infimum af funktionen på segmentet , og lad os betegne det største supremum. $\tau$ $m_i$ $f$ $\Delta _{i}$ $M_{i}$

Den nedre Darboux sum kaldes . ${\displaystyle s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i))$

Den øvre sum af Darboux kaldes . [5] $S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}$

Det nedre Darboux-integral kaldes . $I_{*}=\sup _{\tau \in T[a;b]}s(f,\tau )$

Det øvre Darboux-integral kaldes . [6] $I^{*}=\inf _{\tau \in T[a;b]}S(f,\tau )$

Darboux-integraler findes for enhver funktion, der er afgrænset af integrationsintervallet. Hvis Darboux-integralerne falder sammen og er endelige, kaldes funktionen Riemann-integral på intervallet , og dette tal kaldes i sig selv Riemann-integralet. [7] $f$ $[a;b]$

Darboux-integralet kan også defineres i form af grænsen over umærkede skillevægge, hvor skillevægsdiameteren tenderer til nul. Grænsen over umærkede partitioner er defineret på samme måde som grænsen over mærkede partitioner, men vi vil også formalisere denne opfattelse. Lad være en funktion, der tildeler et eller andet nummer til en umærket partition. Tallet kaldes grænsen for funktionen, når partitionsdiameteren har en tendens til nul if $g:T[a;b]\rightarrow \mathbb {R}$ $c$ $g$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall \tau \i T[a;b],d(\tau )<\delta :|g(\tau )-c|<\ varepsilon

Betegnelse: [8] $c=\lim _{d(\tau )\to 0}g(\tau )$

En sådan grænse er også et særligt tilfælde af basisgrænsen. Basen her vil være sættet , hvor . [9] Derefter: ${\mathfrak {B}}=\{D_{\delta }|\delta >0\}$ ${\displaystyle D_{\delta }=\{\tau \in T[a;b]|d(\tau )<\delta \))$

Det nedre Darboux-integral kaldes . $I_{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )$

Det øvre Darboux-integral kaldes . [ti] $I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )$

Integrerbare funktioner

En funktion, for hvilken Riemann-integralet eksisterer inden for grænserne fra til (hvis grænsen er lig med uendelig, så anses det for, at integralet ikke eksisterer) kaldes Riemann-integral på segmentet [a;b] . [11] Det sæt af funktioner , der er integrerbare på intervallet , kaldes det sæt af funktioner, der er integrerbare på intervallet og er betegnet med . $-en$ $b$ $f:[a;b]\rightarrow \mathbb {R}$ $[a;b]$ $[a;b]$ $R[a;b]$

Den vigtigste og mest bekvemme betingelse for integrerbarhed er Lebesgue-kriteriet: sættet af funktioner, der kan integreres på et interval, er nøjagtigt det sæt af funktioner, der er afgrænset og kontinuerligt næsten overalt i dette interval. Dette kriterium gør det muligt næsten øjeblikkeligt at opnå de fleste af de tilstrækkelige betingelser for integrerbarhed. Beviset for dette udsagn er dog ret kompliceret, hvorfor det ofte udelades i en metodisk fremstilling, og yderligere beviser er baseret på Riemann-kriteriet. At bevise eksistensen af Riemann-integralet baseret på Riemann-kriteriet er vanskeligere end på grundlag af Lebesgue-kriteriet.

Integrerbarhedskriterier

Cauchys kriterium . En funktion er Riemann-integrerbar på et segmentif $[a,b]$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall (\tau ',\xi '),(\tau '',\xi '')\i T'[a;b], d(\tau ')<\delta ,d(\tau '')<\delta :|\sigma (f,\tau ',\xi ')-\sigma (f,\tau '',\xi '' )|<\varepsilon

[12] Dette kriterium er intet andet end en registrering af Cauchy-kriteriet for konvergens i grundlaget for tilfældet med Riemann-integralet.

Darboux-kriterium. Funktionen er Riemann-integrerbar på intervallet, hvis og kun hvis det øvre Darboux-integral falder sammen med det nederste og er endeligt. [13] $[a,b]$

En alternativ definition af Riemann-integralet er baseret på dette kriterium.

Riemanns kriterium . Vi definerer oscillationen af en funktion på sættet som . [fjorten] $f(x)$ $E$ $\omega (f,G)=\sup _{x\in E}f(x)-\inf _{x\in E}f(x)=\sup _{x,y\in E} |f(x)-f(y)|$

Så kaldes -summen af en funktion på en partition . [15] [16]

\Omega

f

\tau

\Omega (f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}\omega (f,\Delta _{i})=S(f,\tau )-s(f,\ tau)

En funktion er Riemann-integrerbar, hvis og kun hvis den er afgrænset, og grænsen for -summer, da partitionsdiameteren har en tendens til nul, er lig med . [17]

\Omega

0

Riemanns infinum-kriterium. Der er også en variation af Riemann-kriteriet ved hjælp af begrebet en nøjagtig kant snarere end en grænse: Funktionen er integrerbar, hvis og kun hvis . [18] [19] $\inf _{\tau \in T[a;b]}\Omega (f,\tau )=0$
Særligt Riemann-kriterium. Faktisk kan der kræves svagere betingelser i Riemann-kriteriet.

Betegn ved opdelingen af segmentet i lige store segmenter. Funktionen kan integreres på dette segment, hvis og kun hvis sekvensen har en tendens til nul. [tyve]

\tau_n

n

\Omega (f,\tau _{n})

Riemanns særlige infinum-kriterium. En funktion er integrerbar på et segment, hvis og kun hvis . [21] $\inf _{n\i \mathbb {N} }\Omega (f,\tau _{n})=0$
Dubois-Reymond kriterium. Lad os definere fluktuationen af en funktion i et punkt som den nøjagtige nedre grænse for værdien af fluktuationerne af en funktion i nærheden af dette punkt (hvis funktionens domæne ikke inkluderer hele punktets naboskab, så kun de punkter i nabolaget, der er inkluderet i definitionsdomænet, tages i betragtning).

\omega (f,x_{0})=\inf _{U(x_{0})}\omega (f,U(x_{0})\cap X)

[fjorten] Faktisk er oscillationen af en funktion i et punkt forskellen mellem en funktion og en kontinuerlig. På kontinuitetspunktet er det lig , ved diskontinuitetspunktet er det større end .

0

0

En funktion er Riemann-integrerbar, hvis og kun hvis den er afgrænset, og for ethvert sæt af alle punkter , hvor der har nul Jordan-mål (det vil sige, for enhver kan den dækkes af et begrænset sæt intervaller med en samlet længde mindre end ). [22]

\varepsilon

x\in[a;b]

\omega (f,x)\geq \varepsilon

\delta>0

\delta

Lebesgue kriterium. En funktion er Riemann-integrerbar på et segment, hvis og kun hvis den er afgrænset på dette segment, og sættet af punkter, hvor den er diskontinuerlig, har nul Lebesgue-mål (dvs. for enhver kan den dækkes af en tællig familie af intervaller med en samlet længde mindre end ). [23] $[a,b]$ $\varepsilon >0$ $\varepsilon$

Tilstrækkelige betingelser for integrerbarhed

Alle de tilstrækkelige integreringsbetingelser, der er anført nedenfor, følger næsten umiddelbart af Lebesgue-kriteriet.

En funktion kontinuert på et interval kan integreres på den [24]
En funktion afgrænset på et interval, diskontinuerlig ved et endeligt antal af dets punkter, er integrerbar på dette interval [25]
Monotone funktion på et interval, der kan integreres på det [26]
Produktet af en integrerbar funktion og et tal er integrerbar [27]
Summen af integrerbare funktioner er integrerbare [27]
Produktet af integrerbare funktioner er integrerbare [28]
Hvis forholdet mellem to integrerbare funktioner er afgrænset, så er det integrerbart. Et særligt tilfælde er, hvis sættet af nævnerværdier ikke har et grænsepunkt. [fjorten] $0$
Modulet for en integrerbar funktion er integrerbar. [29]
Sammensætningen af funktioner , hvor er kontinuerlig på segmentet , og er integrerbar på , integrerbar på . [tredive] $f(g(x))$ $f$ $[\inf g(x),\sup g(x)]$ $g$ $[a;b]$ $[a;b]$
Hvis en funktion er integrerbar på et eller andet interval, så er den integrerbar på et hvilket som helst af dets undersegmenter. [31]
Lad og være en funktion, der kan integreres på og . Så er det integrerbart på . [32] $a<b<c$ $f$ $[a;b]$ $[b;c]$ $[a;c]$

Egenskaber

De yderligere egenskaber gælder kun, hvis de tilsvarende integraler eksisterer.

En nødvendig betingelse for integrerbarhed. En funktion, der kan integreres på et segment, er afgrænset på den. [33] $[a;b]$
Ikke-negativitet. For en ikke-negativ funktion på intervallet, $[a;b]$ $a<b$ $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0$ [34]
Positivitet. For en ikke-negativ og kontinuerlig funktion på et segment , , som er ikke-nul i det mindste på ét punkt $[a;b]$ $a<b$ $\int _{a}^{b}f(x)\,dx>0$ [35]
Linearitet. $\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a }^{b}g(x)\,dx$ [27]

For eksistensen af alle disse tre integraler er eksistensen af to af dem tilstrækkelig. For enhver

\lambda \in \mathbb {R}

\int _{a}^{b}\lambda f(x)\,dx=\lambda \int _{a}^{b}f(x)\,dx

[27] Eksistensen af det højre integral indebærer eksistensen af det venstre. Hvis , så indebærer eksistensen af venstrefløjen eksistensen af højre.

\lambda \neq 0

Additivitet. For vilkårlige tal $a,b,c$ $\int _{a}^{c}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f( x)\,dx$ [32]

For eksistensen af alle disse tre integraler er det tilstrækkeligt enten at have et integral over et større segment eller over to mindre.

Monotone. Lad og videre . Derefter $a<b$ $f(x)\leq g(x)$ $[a;b]$ $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx$ [34]
Karakter. Lad , , . Derefter $a<b$ $m=\inf _{x\in[a;b]}f(x)$ $M=\sup _{x\in [a;b]}f(x)$

m(ba)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(ba)

[36]

Modulevaluering. Lad . $a<b$ $\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\, dx$ [29]

For at disse to integraler kan eksistere, er eksistensen af venstre integral tilstrækkelig. Der er en variation af denne egenskab for vilkårlige og .

-en

b

\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \left|\int _{a}^{b}\left|f(x)\right |\,dx\right|

[37]

Middelværdisætningen . For en bedre forståelse formulerer vi først middelværdisætningen i en let forenklet formulering.

Gennemsnitsværdien af en funktion på et segment kaldes .

f

[a;b]

{\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx

Middelværdisætningen siger, at en funktion kontinuert på et segment tager sin middelværdi på et tidspunkt på dette segment.

\exists c\in [a;b]:f(c)={\frac {1}{ba))\int _{a}^{b}f(x)\,dx

Du kan skrive denne betingelse uden at dividere med for at dække sagen, når .

ba

a=b

\exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(ba)

I en sådan notation er middelværdisætningen sand for alle værdier af og .

-en

b

Faktisk er en meget mere generel tilstand sand. Lade være integrerbar på , , . Derefter

f

[a;b]

m=\inf _{x\in[a;b]}f(x)

M=\sup _{x\in [a;b]}f(x)

\exists \mu \i [m;M]:\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\mu (ba)

[36] Denne teorem kaldes også nogle gange for integralmiddelværdisætningen for at skelne den fra følgende. [38]

Generaliseret middelværdisætning . Lad funktionen væreintegrerbar på segmentet,,, og funktionen væreintegrerbar og med konstant fortegn. Derefter $f$ $[a;b]$ $m=\inf _{x\in[a;b]}f(x)$ $M=\sup _{x\in [a;b]}f(x)$ $g$

\exists \mu \i [m;M]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=\mu \int _{a}^{b}g (x)\,dx

[39] Sætningen er igen sand for enhver og .

-en

b

For denne sætning kan man også give en variation i tilfælde af kontinuitet . [40]

f

\exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int _{a}^{b} g(x)\,dx

Nogle gange kaldes denne sætning, og ikke den forrige, middelværdisætningen. For at skelne den fra den næste, kaldes denne sætning også den første middelværdisætning . [41]

Den anden middelværdisætning . Lad funktionen væreintegrerbar på intervallet, og funktionen væremonoton. Derefter $f$ $[a;b]$ $g$

\exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(a)\int _{a}^{c} f(x)\,dx+g(b)\int _{c}^{b}f(x)\,dx

[42] Den anden middelværdisætning har variationer for ikke-negative funktioner . Lad funktionen være integrerbar på segmentet , og funktionen være ikke-negativ og ikke stigende. Derefter

g

f

[a;b]

g

\exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(a)\int _{a}^{c} f(x)\,dx

[43] Lad funktionen være integrerbar på intervallet , og funktionen være ikke-negativ og ikke-aftagende. Derefter

f

[a;b]

g

\exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(b)\int _{c}^{b} f(x)\,dx

[43]

Uafhængighed af målesæt nul. Hvis to funktioner er integrerbare på et interval og er ens næsten overalt på det, så er deres integraler også ens. Værdien af Riemann-integralet afhænger således ikke af værdien af funktionen på et sæt af mål nul. Imidlertid afhænger dets eksistens: for eksempel er nul og Dirichlet-funktionen ens næsten overalt, men integralet af den første funktion eksisterer, men ikke af den anden.

Integral med øvre variabel grænse

Funktionen defineret ved hjælp af integralet som følger $h(x)$

h(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt

kaldes et integral med en øvre variabel grænse . [38]

Ejendomme:

Definitionsdomænet er det interval, hvori punktet kommer ind. $\int _{a}^{x}f(t)\,dt$ $-en$
Integralet med øvre variabel grænse er kontinuerlig. [38] $\int _{a}^{x}f(t)\,dt$
Desuden er integralet med en øvre variabel grænse en Lipschitz-funktion
På punkter, hvor er kontinuert, er integralet med den øvre variable grænse differentierbart, og værdien af dets afledte er lig med . [44] $x$ $f(x)$ $\int _{a}^{x}f(t)\,dt$ $f(x)$

Den sidste egenskab gør det muligt at bruge et integral med en øvre variabel grænse til at nedskrive en funktions antiderivative. Således relaterer det det ubestemte integral og det, der er defineret af følgende relation:

\int f(x)\,dx=\int _{a}^{x}f(t)\,dt+C

Denne lighed er også sand, hvis den er integrerbar og har antiderivativ på . [45] $f$ $[a;b]$

Beregning

For at beregne Riemann-integralerne i de simpleste tilfælde anvendes Newton-Leibniz-formlen, som er en konsekvens af egenskaberne for et integral med en øvre variabel grænse.

Newton-Leibniz formel . Lad værekontinuerlig på,dens antiderivative på,. Derefter $f(x)$ $[a;b]$ $F(x)$ $[a;b]$ $a \neq b$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)

[46]

I praktiske beregninger anvendes også følgende metoder:

Variabel substitution . Lad det kræves at beregne integralet

\int _{a}^{b}f(x)\,dx

Udskiftningen udføres , hvorefter grænserne for integration og differentialet genberegnes:

x=\varphi (t)

a=\varphi (\alpha ),b=\varphi (\beta ),dx=\varphi '(t)\,dt

Derefter

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t))\varphi '(t)\,dt

For at en sådan erstatning skal være lovlig, kræves kontinuitet og kontinuerlig differentierbarhed og streng monotoni . [47]

f

\varphi

Integration af dele . Metoden til integration af dele består i at anvende følgende formel:

\int _{a}^{b}u\,dv=(uv){\bigr |}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}v\,du

Formlen er lovlig, hvis og er kontinuerlig differentierbar. [48]

u

v

Faktisk er mange af de specificerede betingelser for Newton-Leibniz-formlen og de to ovenstående metoder overflødige og kan svækkes væsentligt. [49] [48] [50] Sådanne betingelser vil dog være mere komplicerede, og i de fleste praktiske tilfælde er disse betingelser desuden tilstrækkelige. Desuden garanterer disse betingelser i den reducerede form eksistensen af alle integraler, hvilket giver os mulighed for at begrænse os til blot at kontrollere disse simple betingelser, før vi anvender de passende metoder.

Integration af en ulige funktion . Lad en ulige funktion integreres på et segment. Derefter $f$ $[-a;a]$

\int _{-a}^{a}f(x)\,dx=0

[51]

Integration af en jævn funktion . Lad være en lige funktion, der kan integreres på et interval. Derefter $f$ $[-a;a]$

\int _{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int _{0}^{a}f(x)\,dx

[51]

Integration af en periodisk funktion . Lad det have en periode og være integrerbar på . Så er den integrerbar på ethvert interval og til ethvert $f$ $T$ $[0;T]$ $-en$

\int _{a}^{a+T}f(x)\,dx=\int _{0}^{T}f(x)\,dx

[51]

Historie

Ovenstående definition af et integral blev givet af Cauchy [52] og blev kun anvendt på kontinuerlige funktioner.

Riemann i 1854 (udgivet i 1868 [2] , første gang på russisk i 1914 [53] [54] ) gav samme definition uden antagelse om kontinuitet. Den moderne form for Riemanns teori blev givet af Darboux (1879).

Variationer og generaliseringer

Riemann-integral af delvist givne funktioner. Nogle gange giver det mening at definere Riemann-integralet for funktioner, der er delvist defineret på intervallet . Det bestemmes, om for enhver udvidelse af en funktion til en fuldstændig given funktion, dens integral er lig med samme værdi. I dette tilfælde anses denne værdi for at være Riemann-integralet af den delvist givne funktion. For eksempel: du kan overveje funktioner, der ikke er defineret ved et begrænset antal punkter. Hvis de desuden på alle andre punkter er kontinuerlige næsten overalt, så er enhver udvidelse til en fuldstændig given funktion integrerbar, og deres værdier er ens, da værdien af integralet ikke afhænger af værdien på et sæt mål nul. For sådanne funktioner er der endda en generalisering af Newton-Leibniz-formlen. [55] Men selv for et tælleligt sæt er dette ikke altid tilfældet. Lad os tage en funktion , der kun er defineret på mængden af irrationelle tal. Den kan udvides på forskellige måder til og op til Dirichlet-funktionen. I det ene tilfælde er det integrerbart, i det andet er det ikke. På den anden side, hvis vi overvejer , som er ubestemt på Cantor-sættet , så vil enhver fuldførelse af en sådan funktion være integrerbar. $[a;b]$ $0$ $0$ $0$
Riemann-integralet af vektorvurderede funktioner. Riemann-integralet kan defineres for funktioner med værdier i ethvert topologisk vektorrum over . For eksempel kan vi overveje integralet af vektorfunktioner (funktioner fra med værdier i det euklidiske rum ). Sådanne funktioner er integreret koordinatmæssigt, hvorfor næsten alle egenskaber også overføres til dem. [56] $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
Riemanns ukorrekte integral . Nogle gange er der behov for at overveje et integral over et uendeligt interval eller fra en ubegrænset funktion. Det ukorrekte integral er en generalisering af Riemann-integralet til sådanne tilfælde. For uendelige intervaller er det ukorrekte integral defineret som følger:

\int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx=\lim _{y\to +\infty}\int _{a}^{y}f(x)\, dx

For endelige intervaller med en ubegrænset funktion i nærheden af den øvre grænse er defineret som følger:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{y\to b-}\int _{a}^{y}f(x)\,dx

De resterende tilfælde er defineret på samme måde. Hvis der er uendelige diskontinuitetspunkter inde i intervallet, eller begge grænser er uendelige, opdeles additivitetsintegralet i flere. Nøgletræk ved denne definition er, at sådanne grænser for integrerbare funktioner falder sammen med de sædvanlige (kaldet korrekte for at skelne fra upassende) integraler. Det ukorrekte Riemann-integral er således blot en generalisering i sig selv.

Multiple Riemann integral . Multiple integralet er taget fra funktioner af mange variable over en delmængde. Opdelinger af disse sæt i Jordan målbare delmængder tages i betragtning . Point markeres i dem, og integrale summer kompileres (i stedet for længderne af intervallerne tages Jordan-målene for de tilsvarende delmængder). Diameteren af en delmængde af en sådan partition er det højeste af alle afstande mellem punkter. Diameteren af selve skillevæggen er minimumsdiameteren af undergruppepartitioner. Grænsen for integral-summer, da diameteren af partitioner har tendens til nul, kaldes multipelintegralet. $\mathbb {R} ^{n}$

Mange egenskaber ved multiple integraler falder sammen med de sædvanlige, men nogle gør det ikke (for eksempel formlen for ændring af variabler). I modsætning til den gængse misforståelse er de ikke en eksakt generalisering af Riemann-integralet, da multipelintegralet overtages et ikke-rettet sæt, og det sædvanlige kræver, at retningen af segmentet angives.

Krumlineært integral . I lighed med multipelintegralet er det taget fra en funktion af flere variable, men allerede langs en kurve. Kurven er også opdelt i underkurver, funktionsværdierne ganges med længderne af de tilsvarende underkurver og lægges sammen.
Overflade integral . Næsten svarende til det krumlinede integral, med den forskel, at det overtages over overfladen, og værdierne af funktionerne ved de markerede punkter multipliceres med arealet af de tilsvarende sektioner.
Lebesgue integral . En alternativ tilgang til definitionen af integralet. Her, i stedet for at opdele definitionsdomænet for den integrerbare funktion, opdeles værdidomænet, hvorefter splitpunkterne multipliceres med målene for de omvendte billeder af disse segmenter og summeres indbyrdes. Når det øverste punkt af skillevæggen stiger, det nederste falder, og dets diameter har en tendens til nul, sådanne summer har tendens til Lebesgue-integralet.

Se også

Lebesgue-integralet og det tilsvarende Daniel- integral , Young-integralet
Stieltjes integral
Multipel Riemann integral
Ukorrekt integral

Noter

↑ Fikhtengolts, 2003 , s. 107.
↑ 1 2 Riemann (artikel), 1868 , s. 101-103.
↑ Fikhtengolts, 2003 , s. 104.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 218.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 190.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 204-205.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 208.
↑ Ilyin, 1985 , s. 337.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 189.
↑ Ilyin, 1985 , s. 338.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 186-188.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 539.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 553.
↑ 1 2 3 Kudryavtsev, 2003 , s. 556.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 224.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 181.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 180.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 185.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 205.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 186.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 187.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 563.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 567.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 548.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 549.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 198.
↑ 1 2 3 4 Kudryavtsev, 2003 , s. 573.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 574.
↑ 1 2 Kudryavtsev, 2003 , s. 578.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 203.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 571.
↑ 1 2 Kudryavtsev, 2003 , s. 572.
↑ Arkhipov, 1999 , s. 179.
↑ 1 2 Kudryavtsev, 2003 , s. 576.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 577.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 2003 , s. 125.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 579.
↑ 1 2 3 Kudryavtsev, 2003 , s. 587.
↑ Fikhtengolts, 2003 , s. 126.
↑ Fikhtengolts, 2003 , s. 127.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 583.
↑ Fikhtengolts, 2003 , s. 132.
↑ 1 2 Arkhipov, 1999 , s. 215.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 588.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 590.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 591.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 596.
↑ 1 2 Kudryavtsev, 2003 , s. 600.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 593.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 601.
↑ 1 2 3 Vilenkin, 1979 , s. 72.
↑ Cauchy, 1831 .
↑ Riemann (bog), 1914 .
↑ Arkhipov, 1999 , s. 196.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 595.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 607.

Litteratur

V.A. Ilyin , V.A. Sadovnichy , Bl. H. Sendov . Matematisk analyse. Indledende kursus. - 2., revideret. - M . : Forlag ved Moskva Universitet, 1985. - T. 1. - 660 s.
Fikhtengol'ts G. M. Forløb af differential- og integralregning i tre bind. - Ed. 8. - M. : Nauka, 2003. - T. 2. - 864 s.
Arkhipov G.I. , Sadovnichiy V.A. , Chubarikov V.N. Forelæsninger om matematisk analyse / Red. V. A. Sadovnichy. - 1. udg. - M . : Higher School , 1999. - 695 s. - ISBN 5-06-003596-4 .
Kudryavtsev L. D. Kursus i matematisk analyse. I 3 bind. T. 1. Differential- og integralregning af funktioner af en variabel - M. : Drofa, 2003. - 704 s.
Vilenkin N.Ya., Kunitskaya E.S., Mordkovich A.G. Matematisk analyse. Integralregning. - M . : Prosveschenie, 1979. - 176 s.
Cauchy AL Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites. — Torino, 1831.
Riemann B. Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. - 1868. - Bd. 13. - S. 87-132.
Riemann B. Om muligheden for at udtrykke en funktion ved hjælp af en trigonometrisk række // Dekomponering af funktioner i trigonometriske rækker / Lejeune-Diriclet, Riemann, Lipschitz; Om. G. A. Gruzintsev og S. N. Bernstein. - Kharkov: Kharkov Matematisk Selskab, 1914. - (Kharkov Matematisk Bibliotek. Serie B; Nr. 2).

Links

Tabeller over ubestemte og bestemte integraler - EqWorld: Verden af matematiske ligninger.
Strenge definition af Riemann-integralet .

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk Stor russer
I bibliografiske kataloger	NKC : ph135430

Integralregning

Hoved

Generaliseringer
af Riemann-integralet

Integrale
transformationer

Numerisk
integration

måle teori

relaterede emner

Lister over integraler