Maclaurin trisektor

Maclaurin trisectrix er en terning , der er kendt for sin tredelingsegenskab , da den kan bruges til at tredele en vinkel. Det kan defineres som stedet for skæringspunkterne mellem to linjer, som hver især roterer ensartet omkring to forskellige punkter (poler) med et forhold mellem vinkelhastigheder på 1:3, mens linjerne oprindeligt falder sammen med linjen, der går gennem disse poler. . En generalisering af denne konstruktion kaldes Maclaurin Seantant . Sekanten er opkaldt efter Colin Maclaurin , som undersøgte kurven i 1742.

Ligninger

Lad to lige linjer rotere rundt om punkterne og , så linjen der roterer rundt har en vinkel med x-aksen , og linjen der roterer rundt har en vinkel . Lade være skæringspunktet, så vinklen dannet af de rette linjer i punktet er lig med . Efter sinusloven $P=(0,0)$ $P_{1}=(a,0)$ $P$ $\theta$ $P_1$ $3\theta$ $Q$ $Q$ $2\theta$

{r \over \sin 3\theta }={a \over \sin 2\theta }

, så i polære koordinater ville dette give

r=a{\frac {\sin 3\theta }{\sin 2\theta ))={a \over 2}{\frac {4\cos ^{2}\theta -1}{\cos \theta }}={a \over 2}(4\cos \theta -\sec \theta )

Således tilhører kurven Sluz-familien af conchoider .

I et rektangulært koordinatsystem ser ligningen ud

2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})

Hvis oprindelsen forskydes til ( a , 0), så viser en konklusion tæt på ovenstående, at ligningen i polære koordinater bliver til

{\displaystyle r={\frac {a}{2\cos {\theta \over 3))))

gør det til et eksempel på en epispiral .

Tredelt egenskab

For en given vinkel tegnes en stråle fra , så vinklen med aksen er . Tegn en stråle fra udgangspunktet til skæringspunktet for den første stråle med kurven. Ved at konstruere kurven er vinklen mellem den anden stråle og aksen . $\phi$ ${\displaystyle(a,0)}$ $x$ $\phi$ $x$ $\phi /3$

Bemærkelsesværdige punkter og egenskaber

Kurven har et skæringspunkt med x -aksen i et punkt og et dobbelt fikspunkt ved origo. Den lodrette linje er en asymptote. Kurven skærer linjen i punkter, der svarer til tredelingen af den rette vinkel. Som hovedterningen har den slægten nul. $3a\over 2$ $x={-{a \over 2}}$ $x=a$ $(a,{\pm {1 \over {\sqrt {3))}a})$

Forholdet til andre kurver

Maclaurin-trisektoren kan defineres som et keglesnit på tre måder. Specifikt:

Det er inversionen af hyperbelen i forhold til enhedscirklen

2x=a(3x^{2}-y^{2})

Det er en cissoid af en cirkel

{\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2))

og lige i forhold til oprindelsen.

x={a \over 2}

Det er parablens linje med hensyn til oprindelsen

y^{2}=2a(x-{\tfrac {3}{2}}a)

Ud over,

Inversionen omkring et punkt er den cochleære trisectrix . ${\displaystyle(a,0)}$
Maclaurin-trisektoren er relateret til det kartesiske ark ved en affin transformation .

Litteratur

J. Dennis Lawrence. Et katalog over specielle plankurver . - Dover Publications, 1972. - S. 36 , 95, 104-106 . - ISBN 0-486-60288-5 .
Weisstein, Eric W. Maclaurin Trisectrix (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .

Links

Kurver

Definitioner

Forvandlet

Ikke-plan

Flad
algebraisk

Keglesnit

3. orden ( kubisk )

Elliptisk	Elliptisk kurve Jacobi elliptiske funktioner Elliptisk integral Elliptiske funktioner
Andet	Verziera Agnesi Kartesisk ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Semikubisk parabel Trident Cissoid af Diocles

4. orden

Lemniscates

Tilnærmelse

Spline
- B-spline
- Kubik
- monospline
- Udglatning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cycloidal

Andet

Krogede Gård

Flad
transcendental

Spiraler	Archimedov Gård Galilæa hyperbolsk "Tryllestav" Gylden clothoid logaritmisk sinusformet
Cycloidal	trochoid Cycloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Rose" quadrifolium Hurtig nedstigning (brachistochrone, cycloid bue)
Andet	Quadratrix cochleoid Jage traktor trochoid kæde linje omvendt buet konstant bredde sinusformet Ribokura Super formel Superellipse Reuleaux trekant polygon Lissajous figurer

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper dragekurve Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologisk	Sierpinski serviet Sierpinski tæppe Svamp Menger cirkulær fraktal Apollonius tæppe