Tetraeder

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 5. december 2019; checks kræver 36 redigeringer .

Tetrahedron ( Ancient Greek τετρά-Emaρον " Tetrahedron " [1] ← τέσσᾰρες / τέσσερες / τέτᾰρες / τέτορες / τέτορες " fire " + ἕδρα "sæde, basis"), den enkle placering af , hvilken er .

Et tetraeder er en trekantet pyramide , når nogen af ansigterne tages som base. Et tetraeder har 4 flader, 4 spidser og 6 kanter. Et tetraeder, hvor alle flader er ligesidede trekanter , kaldes regulært. Det regulære tetraeder er et af de fem regulære polyedre .

Egenskaber

Parallelle planer, der passerer gennem tre par krydsende kanter af tetraederet, bestemmer parallelepipedummet beskrevet nær tetraederet .

Planet, der passerer gennem midtpunkterne af to krydsende kanter af tetraederet, deler det i to dele med samme volumen [3] :216-217 .

Bimedianerne af et tetraeder skærer hinanden på samme punkt som medianerne af et tetraeder.
- Bimedianer af et tetraeder er segmenter, der forbinder midtpunkterne af dets krydsende kanter (som ikke har fælles hjørner).

Kuglernes centre, der passerer gennem tre hjørner og et incenter , ligger på en kugle, hvis centrum falder sammen med midten af den omskrevne kugle.
- Dette udsagn gælder også for eksterne centre.

Planer, der passerer gennem midten af en kant og er vinkelrette på den modsatte kant, skærer hinanden i et punkt (orthocenter).
- Ortocentret i en simplex er defineret som skæringspunktet mellem hyperplaner, der er vinkelrette på en kant og passerer gennem tyngdepunktet af det modsatte element.

Kuglens centrum (F), som passerer gennem tyngdepunkterne af tetraederets flader, tetraederens tyngdepunkt (M), midten af den omskrevne kugle (R) og ortocentret (H) ligger på samme lige linje. På samme tid . $RM=MH=3\cdot MF$

Kuglens centrum (S) indskrevet i det komplementære tetraeder, midten af kuglen (N) indskrevet i det antikomplementære tetraeder, tyngdepunktet for tetraederet (M) og midten af den indskrevne kugle (I) ligger på den samme lige linje.

Lad punktet G 1 dele det segment, der forbinder orthocentret (H) og toppunktet 1 i forholdet 1:2. Lad os slippe den vinkelrette fra punktet G 1 til forsiden af det modsatte toppunkt 1. Den vinkelrette skærer ansigtet i punktet W 1 . Punkterne G 1 og W 1 ligger på en kugle (Feuerbach-sfæren), som passerer gennem tyngdepunkterne af tetraederets flader.

Et snit af et plan, der går gennem midtpunkterne af de fire kanter af et tetraeder, er et parallelogram.

Typer af tetraedre

Isohedral tetraeder

Alle dens ansigter er trekanter lig med hinanden. Udviklingen af et isoedrisk tetraeder er en trekant divideret med tre midterlinjer i fire lige store trekanter . I et isoedrisk tetraeder ligger højdernes baser, højdernes midtpunkter og skæringspunkterne for højderne af fladerne på overfladen af en kugle (kuglen med 12 punkter) (en analog til Euler-cirklen for en trekant ).

Egenskaber ved et isoedrisk tetraeder:

Alle dens ansigter er ens (kongruente).
Krydsende kanter er parvis lige store.
Triedriske vinkler er ens.
Modsatte dihedrale vinkler er lige store.
To plane vinkler baseret på den samme kant er lige store.
Summen af planvinklerne ved hvert toppunkt er 180°.
Udviklingen af et tetraeder er en trekant eller et parallelogram .
Det beskrevne parallelepipedum er rektangulært.
Tetraederet har tre symmetriakser.
Almindelige vinkelrette sider af skæve kanter er parvis vinkelrette.
Medianlinjerne er parvis vinkelrette.
Omkredsen af ansigterne er ens.
Arealerne af ansigterne er lige store.
Højderne af tetraederet er lige store.
Segmenterne, der forbinder hjørnerne med tyngdepunkterne på modsatte flader, er lige store.
Radierne af cirklerne beskrevet nær fladerne er ens.
Tyngdepunktet for tetraederet falder sammen med midten af den omskrevne kugle.
Tyngdepunktet falder sammen med midten af den indskrevne kugle.
Centrum af den omskrevne kugle falder sammen med midten af den indskrevne.
Den indskrevne kugle rører ved ansigterne i centrum af cirkler, der er afgrænset omkring disse ansigter.
Summen af de ydre enhedsnormaler (enhedsvektorer vinkelret på fladerne) er nul.
Summen af alle dihedriske vinkler er nul.
Centrene for de beskrevne sfærer ligger på den omskrevne sfære.

Ortocentrisk tetraeder

Alle højder faldet fra hjørner til modsatte flader skærer hinanden på et punkt.

Højderne af tetraederet skærer hinanden på et punkt.
Baserne af højderne af tetraederet er ansigternes ortocentre.
Hver to modsatte kanter af et tetraeder er vinkelrette.
Summen af kvadrater af modsatte kanter af et tetraeder er lige store.
Segmenterne, der forbinder midtpunkterne af modsatte kanter af tetraederet, er ens.
Produkterne af cosinuserne af modsatte dihedriske vinkler er ens.
Summen af kvadraterne af fladernes areal er fire gange mindre end summen af kvadraterne af produkterne af modstående kanter.
Et ortocentrisk cirkeltetraeder har 9 punkter ( Euler-cirkler ) af hver flade, der tilhører den samme kugle (24-punktssfæren).
I et ortocentrisk tetraeder er tyngdepunkterne og skæringspunkterne for højderne af fladerne, såvel som de punkter, der deler segmenterne af hver højde af tetraederet fra toppunktet til skæringspunktet mellem højderne i forholdet 2 :1, ligge på samme kugle (kugle med 12 punkter).

Rektangulært tetraeder

Alle kanter, der støder op til et af hjørnerne, er vinkelrette på hinanden. Et rektangulært tetraeder fås ved at skære et tetraeder af med et plan fra et rektangulært parallelepipedum .

Skelet tetraeder

Det er et tetraeder, der opfylder en af følgende betingelser [4] :

der er en kugle, der rører ved alle kanter,
summen af længderne af de krydsende kanter er lige store,
summen af dihedriske vinkler ved modsatte kanter er lige store,
cirkler indskrevet i ansigter rører parvis,
alle firkanter, der er et resultat af udviklingen af et tetraeder, er afgrænset,
perpendikulerne, der er rejst til ansigterne fra centrene af de cirkler, der er indskrevet i dem, skærer hinanden i et punkt.

Et tilsvarende tetraeder

Denne type har lige store højder .

Egenskaber af et tilsvarende tetraeder:

Bi-højder er lige store. Bihøjderne af et tetraeder er almindelige vinkelrette på to af dets skærende kanter (kanter, der ikke har fælles hjørner).
Projektionen af et tetraeder på et plan vinkelret på enhver bimedian er en rombe . Bimedianer af et tetraeder er segmenter, der forbinder midtpunkterne af dets krydsende kanter (som ikke har fælles hjørner).
Overfladerne på det omskrevne parallelepipedum er lige store.
Følgende relationer gælder: , hvor og , og , og er længderne af modsatte kanter. $4a^{2}{a_{1}}^{2}-(b^{2}+{b_{1}}^{2}-c^{2}-{c_{1}}^{2} )^{2}=4b^{2}{b_{1}}^{2}-(c^{2}+{c_{1}}^{2}-a^{2}-{a_{1 }}^{2})^{2}=4c^{2}{c_{1}}^{2}-(a^{2}+{a_{1}}^{2}-b^{2 }-(b_{1})^{2})^{2}$ $-en$ $a_{1}$ $b$ $b_{1}$ $c$ $c_{1}$
For hvert par af modsatte kanter af tetraederet er planerne trukket gennem en af dem og midtpunktet af den anden vinkelrette.
En kugle kan indskrives i det beskrevne parallelepipedum af et tilsvarende tetraeder.

Incentrisk tetraeder

I denne type skærer segmenterne, der forbinder tetraederens hjørner med centrene af cirkler, der er indskrevet i modsatte flader, på et punkt. Egenskaber ved et incentrisk tetraeder:

Segmenterne, der forbinder tetraederfladernes tyngdepunkter med modsatte spidser (tetraedermedianer) skærer altid hinanden i et punkt. Dette punkt er tetraederens tyngdepunkt.
Bemærkning . Hvis vi i den sidste tilstand erstatter ansigternes tyngdepunkter med ansigternes ortocentre , så bliver det til en ny definition af det ortocentriske tetraeder . Hvis vi erstatter dem med centrene af cirkler indskrevet i ansigterne, nogle gange kaldet incenters , får vi definitionen af en ny klasse af tetraeder- incentriske .
Segmenterne, der forbinder tetraederens hjørner med centrene af cirkler, der er indskrevet i modsatte flader, skærer hinanden i et punkt.
Halveringsvinklerne af to flader trukket til en fælles kant af disse flader har en fælles base.
Produkterne af længderne af modstående kanter er lige store.
Trekanten dannet af det andet skæringspunkt mellem tre kanter, der udgår fra et toppunkt med en hvilken som helst kugle, der passerer gennem de tre ender af disse kanter, er ligesidet.

Regelmæssig tetraeder

Dette er et isohedral tetraeder, hvor alle flader er regelmæssige trekanter . Det er et af de fem platoniske faste stoffer .

Egenskaber ved et regulært tetraeder:

alle kanter af et tetraeder er lige store,
Alle flader af et tetraeder er lige store
omkredsen og arealerne af alle flader er lige store.
Et regulært tetraeder er samtidigt ortocentrisk, wireframe, isohedral, incentrisk og tilsvarende.
Et tetraeder er regulært, hvis det tilhører to typer af tetraeder på listen: ortocentrisk, wireframe, incentrisk, tilsvarende, isoedral .
Et tetraeder er regulært, hvis det er isoedrisk og tilhører en af følgende typer tetraeder: ortocentrisk, wireframe, incentrisk, tilsvarende .
Et oktaeder kan indskrives i et regulært tetraeder, desuden vil fire (ud af otte) flader af oktaederet være på linje med fire flader af tetraederet, alle seks spidser af oktaederet vil være på linje med midten af seks kanter af tetraederet .
Et regulært tetraeder består af et indskrevet oktaeder (i midten) og fire tetraeder (langs hjørnerne), og kanterne på disse tetraeder og oktaederet er halvt så store som kanterne på det regulære tetraeder.
Et regulært tetraeder kan indskrives i en terning på to måder, desuden vil tetraederets fire hjørner være på linje med terningens fire spidser.
Et regulært tetraeder kan indskrives i et dodekaeder, desuden vil fire hjørner af tetraederet være på linje med fire spidser af dodekaederet.
Krydsende kanter af et regulært tetraeder er indbyrdes vinkelrette.

Volumenet af et tetraeder

Volumenet af et tetraeder (under hensyntagen til tegnet), hvis toppunkter er i punkter, er lig med $\mathbf {r} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),$ $\mathbf {r} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),$ $\mathbf {r} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3}),$ $\mathbf {r} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4}),$

V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_ {3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatrix}}={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}x_{ 2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}- z_{1}\\x_{4}-x_{1}&y_{4}-y_{1}&z_{4}-z_{1}\end{vmatrix}},

eller

V={\frac {1}{3}}\ SH,

hvor er arealet af ethvert ansigt, og er højden faldet på dette ansigt. $S$ $H$

Volumenet af et tetraeder i form af kantlængder er udtrykt ved hjælp af Cayley-Menger-determinanten :

288\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{ 2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14} ^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}.

Denne formel har en flad analog til arealet af en trekant i form af en variant af Herons formel gennem en lignende determinant.
Volumenet af tetraederet gennem længderne af to modstående kanter a og b , som krydsende linjer, der er i en afstand h fra hinanden og danner en vinkel med hinanden , findes ved formlen: $\phi$

$V={\frac {1}{6}}abh\sin \phi .$

Volumenet af et tetraeder gennem længderne af dets tre kanter a , b og c , der kommer ud fra et toppunkt og danner henholdsvis parvise flade vinkler , findes ved formlen [5] $\alfa ,\beta ,\gamma$

V={\frac {1}{6}}\ abc{\sqrt {D)),

hvor

D = | en cos ⁡ γ cos ⁡ β cos ⁡ γ en cos ⁡ α cos ⁡ β cos ⁡ α en | . {\displaystyle D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma &\cos \beta \\\cos \gamma &1&\cos \alpha \\\cos \beta &\cos \alpha &1\end{vmatrix)) .}

D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma &\cos \beta \\\cos \gamma &1&\cos \alpha \\\cos \beta &\cos \alpha &1\end{vmatrix)) .

En analog til planet for den sidste formel er formlen for arealet af en trekant i form af længderne af dens to sider a og b , der kommer ud fra et toppunkt og danner en vinkel mellem dem : $\gamma$

S={\frac {1}{2}}\ab{\sqrt {D}},

hvor $D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma \\\cos \gamma &1\\\end{vmatrix}}.$

Bemærk

Der er en analog til Herons formel for volumen af et tetraeder [6]

Formler for tetraederet i kartesiske koordinater i rummet

Betegnelser:

$\mathbf {r} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),$ $\mathbf {r} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),$ $\mathbf {r} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3}),$ $\mathbf {r} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4})$ er koordinaterne for tetraederens toppunkter.

Volumenet af tetraederet (under hensyntagen til tegnet):

$V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_ {3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatrix}}$ .

Tyngdepunktskoordinater (skæringspunktet mellem medianer): $\mathbf {r} _{T}(x_{T},y_{T},z_{T})$

$x_{T}={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}};$ $y_{T}={\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}}{4}});$ $z_{T}={\frac {z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}}{4}}.$

Koordinater for midten af den indskrevne kugle: $\mathbf {r} _{r}(x_{r},y_{r},z_{r})$

$x_{r}={\frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};$ $y_{r}={\frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};$ $z_{r}={\frac {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}},$

hvor er området af ansigtet modsat det første toppunkt, er området af ansigtet modsat det andet toppunkt og så videre. $S_{1}$ $S_{2}$

I overensstemmelse hermed er ligningen for den indskrevne sfære:

$(x-{\frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{S_{1 }+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_ {3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{\ frac {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_ {3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2} ,$

Ligning for den beskrevne kugle modsat det første toppunkt:

$(x-{\frac {-S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {-S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2 }+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+( z-{\frac {-S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}+ S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4} }})^{2},$

Ligningen for en beskreven kugle modsat det første og andet hjørne (antallet af sådanne kugler kan variere fra nul til tre):

$(x-{\frac {-S_{1}x_{1}-S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_ {1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {-S_{1}y_{1}-S_{2}y_{2 }+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+( z-{\frac {-S_{1}z_{1}-S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}- S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4} }})^{2},$

Ligningen for den omskrevne sfære:

${\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}&x&y&z&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1 }^{2}&x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}&x_{2} &y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&z_{3}&1 \\x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2}&x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\end{vmatrix}}=0.$

Tetraederformler i barycentriske koordinater

Betegnelser:

$\mathbf {J} (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4})=\alpha _{1}\mathbf {J_{1 }} +\alpha _{2}\mathbf {J_{2}} +\alpha _{3}\mathbf {J_{3}} +\alpha _{4}\mathbf {J_{4}} ,$ er barycentriske koordinater.

Volumen af tetraederet (under hensyntagen til tegnet): Lad være koordinaterne for tetraederens hjørner. $\mathbf {J} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1},t_{1}),\mathbf {J} _{2}(x_{2},y_ {2},z_{2},t_{2}),\mathbf {J} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3},t_{3}),\mathbf {J } _{4}(x_{4},y_{4},z_{4},t_{4}).$

Derefter

$V={\frac {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&t_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&t_{2}\\ x_{3}&y_{3}&z_{3}&t_{3}\\x_{4}&y_{4}&z_{4}&t_{4}\\\end{vmatrix}}{(x_{1}+y_ {1}+z_{1}+t_{1})(x_{2}+y_{2}+z_{2}+t_{2})(x_{3}+y_{3}+z_{3} +t_{3})(x_{4}+y_{4}+z_{4}+t_{4})}}V',$ hvor er volumenet af det grundlæggende tetraeder. $V'$

Tyngdepunktskoordinater (skæringspunktet mellem medianer): $\mathbf {J} _{T}(1,1,1,1).$

Koordinater for midten af den indskrevne kugle: $\mathbf {J} _{r}(S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}).$

Koordinater for midten af den beskrevne kugle:

$\mathbf {J} _{R}={\begin{vmatrix}0&\mathbf {J_{1}} &\mathbf {J_{2}} &\mathbf {J_{3}} &\mathbf { J_{4}} \\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}\\1&\ alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}\\1&\alpha _{3,1}^{ 2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\\1&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4, 2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{vmatrix}}.$

Afstand mellem punkter : $\mathbf {J} _{A}(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}),\mathbf {J} _{B}(B_{1},B_ {2},B_{3},B_{4})$

Lad og så videre. $C_{1}={\frac {A_{1}}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}-{\frac {B_{1}}{ B_{1}+B_{2}+B_{3}+B_{4}}};C_{2}={\frac {A_{2}}{A_{1}+A_{2}+A_{3 }+A_{4}}}-{\frac {B_{2}}{B_{1}+B_{2}+B_{3}+B_{4}}}$

Så er afstanden mellem to punkter: $d^{2}=-(C_{1}C_{2}\alpha _{1,2}^{2}+C_{1}C_{3}\alpha _{1,3}^{ 2}+C_{1}C_{4}\alpha _{1,4}^{2}+C_{2}C_{3}\alpha _{2,3}^{2}+C_{2}C_ {4}\alpha _{2,4}^{2}+C_{3}C_{4}\alpha _{3,4}^{2}).$

Sammenligning af trekant- og tetraederformler

Område (volumen)
$S={\sqrt {-{\frac {1}{16}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2 }\\1&b^{2}&c^{2}&0\\\end{vmatrix}}}}$	$V={\sqrt {{\frac {1}{288}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1} ^{2}&\alpha _{4,1}^{2}\\1&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{ 4,2}^{2}\\1&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\ \1&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{vmatrix}}} }$ , hvor er afstanden mellem toppunkter 1 og 2 $\alpha _{1,2}$
$S={\frac {1}{2}}ah_{a}$	$V={\frac {1}{3}}S_{1}H_{1}$
$S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$	$V={\frac {2}{3}}{\frac {S_{1}S_{2}}{\alpha _{3,4}}}\sin(\phi _{1,2} )$ , hvor er vinklen mellem flader 1 og 2, og er arealer af flader modsat hjørne 1 og 2 $\phi _{1,2}$ ${\displaystyle S_{1))$ $S_{2}$
Længde (areal) af halveringslinjen
$l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}$	$L_{1,2}={\frac {2S_{1}S_{2}\cos({\frac {\phi _{1,2}}{2}})}{S_{1}+ S_{2}}}$
Median længde
$m_{c}={\frac {{\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2)))){2))$	$m_{1}={\frac {\sqrt {3(\alpha _{1,2}^{2}+\alpha _{1,3}^{2}+\alpha _{1,4 }^{2})-(\alpha _{2,3}^{2}+\alpha _{2,4}^{2}+\alpha _{3,4}^{2})}}{ 3}}$
Radius af en indskrevet cirkel (kugle)
$r={\frac {2S}{a+b+c))$	${\displaystyle r={\frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4))))$
Radius af den omskrevne cirkel (kugle)
$R={\frac {abc}{4S}}$	$R={\frac {S_{T}}{6V}}$ , hvor er arealet af en trekant med sider $S_{T}$ $\alpha _{1,2}\alpha _{3,4},\alpha _{1,3}\alpha _{2,4},\alpha _{1,4}\alpha _{2 ,3}$
Cosinus-sætning
$\cos {\alpha }={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$	$\cos(\phi _{1,2})={\frac {A_{1,2}}{16S_{1}S_{2}}}$ , hvor er vinklen mellem flader 1 og 2, og er områderne af flader modsat hjørner 1 og 2, er det algebraiske komplement af matrixelementet $\phi _{1,2}$ ${\displaystyle S_{1))$ $S_{2}$ $A_{1,2}$ ${\displaystyle \alpha _{2,1}^{2))$ ${\begin{pmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2 }\\1&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}\\1&\alpha _{3 ,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\\1&\alpha _{4,1}^{2}&\ alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{pmatrix}}$
Sinus-sætning
${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$	${\frac {S_{1}}{\Psi _{1}}}={\frac {S_{2}}{\Psi _{2}}}={\frac {S_{3}} {\Psi _{3}}}={\frac {S_{4}}{\Psi _{4}}}$ , hvor er områderne af flader modsat toppunkter 1, 2, 3, 4, hvor er de dihedrale vinkler af toppunktet. ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4))$ $\Psi ={\sqrt {\begin{vmatrix}1&-\cos(A)&-\cos(B)\\-\cos(A)&1&-\cos(C)\\-\cos( B)&-\cos(C)&1\\\end{vmatrix}}}$ $A,B,C$
Sætningen om summen af vinklerne i en trekant (forholdet mellem de dihedriske vinkler i et tetraeder)
$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$	${\begin{vmatrix}1&-\cos \left(\phi _{2,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \ venstre(\phi _{4,1}\right)\\-\cos \left(\phi _{2,1}\right)&1&-\cos \left(\phi _{3,2}\right) &-\cos \left(\phi _{4,2}\right)\\-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3, 2}\right)&1&-\cos \left(\phi _{4,3}\right)\\-\cos \left(\phi _{4,1}\right)&-\cos \left(\ phi _{4,2}\right)&-\cos \left(\phi _{4,3}\right)&1\\\end{vmatrix}}=0$ , hvor er vinklen mellem flader 1 og 2 $\phi _{1,2}$
Afstand mellem centrene i de indskrevne og beskrevne cirkler (kugler)
$R^{2}-d^{2}=2Rr$	$R^{2}-d^{2}={\frac {S_{1}S_{2}\alpha _{1,2}^{2}+S_{1}S_{3}\alpha _{1,3}^{2}+S_{1}S_{4}\alpha _{1,4}^{2}+S_{2}S_{3}\alpha _{2,3}^{ 2}+S_{2}S_{4}\alpha _{2,4}^{2}+S_{3}S_{4}\alpha _{3,4}^{2}}{(S_{1 }+S_{2}+S_{3}+S_{4})^{2}}}$ , hvor er områderne af ansigterne modsat hjørnerne 1, 2, 3, 4. ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4))$ Et andet udtryk for udtrykket: hvor er afstanden mellem midten af den omskrevne kugle og kuglens centrum, der går gennem tre spidser og et incenter. $R^{2}-d^{2}=2rT,$ $T$

Tetraeder i ikke-euklidiske rum

Volumen af ikke-euklidiske tetraedre

Der er mange formler til at finde volumen af ikke-euklidiske tetraedre. For eksempel Derevnin-Mednykh-formlen [7] for det hyperbolske tetraeder og J. Murakami-formlen [8] for det sfæriske tetraeder. Volumenet af et tetraeder i det sfæriske rum og i Lobachevsky-rummet udtrykkes som regel ikke gennem elementære funktioner .

Forholdet mellem de dihedriske vinkler af et tetraeder

$\operatorname {det} \Psi >0$ for et sfærisk tetraeder.

$\operatorname {det} \Psi <0$ for et hyperbolsk tetraeder.

Hvor er Gram-matricen for de dihedriske vinkler af det sfæriske og hyperbolske tetraeder. $\Psi ={\begin{pmatrix}1&-\cos(A_{2,1})&-\cos(A_{3,1})&-\cos(A_{4,1})\\ -\cos(A_{2,1})&1&-\cos(A_{3,2})&-\cos(A_{4,2})\\-\cos(A_{3,1})&- \cos(A_{3,2})&1&-\cos(A_{4,3})\\-\cos(A_{4,1})&-\cos(A_{4,2})&-\ cos(A_{4,3})&1\\\end{pmatrix}}$

$A_{{i,j}}$ er vinklen mellem flader modsat i og j til toppunktet.

Cosinussætning

$\cos(A_{i,j})=-{\frac {\Phi _{i,j)){\sqrt {\Phi _{i,i}\Phi _{j,j))} }$ — for sfærisk og hyperbolsk tetraeder.

$\cos(\alpha _{i,j})={\frac {\Psi _{i,j)){\sqrt {\Psi _{i,i}\Psi _{j,j)) }}$ for et sfærisk tetraeder.

$\operatorname {ch} (\alpha _{i,j})={\frac {\Psi _{i,j)){\sqrt {\Psi _{i,i}\Psi _{j, j}}}}$ for et hyperbolsk tetraeder.

Hvor er Gram-matrixen for de reducerede kanter af det sfæriske tetraeder. $\Phi ={\begin{pmatrix}1&\cos(\alpha _{2,1})&\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{4,1} )\\\cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{3,2})&\cos(\alpha _{4,2})\\\cos(\alpha _{ 3,1})&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{4,3})\\\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\ alpha _{4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\end{pmatrix}}$

$\Phi ={\begin{pmatrix}1&\operatørnavn {ch} (\alpha _{2,1})&\operatørnavn {ch} (\alpha _{3,1})&\operatørnavn {ch} (\alpha _{4,1})\\\operatørnavn {ch} (\alpha _{2,1})&1&\operatørnavn {ch} (\alpha _{3,2})&\operatørnavn {ch} ( \alpha _{4,2})\\\operatørnavn {ch} (\alpha _{3,1})&\operatørnavn {ch} (\alpha _{3,2})&1&\operatørnavn {ch} (\ alpha _{4,3})\\\operatørnavn {ch} (\alpha _{4,1})&\operatørnavn {ch} (\alpha _{4,2})&\operatørnavn {ch} (\alpha _{4,3})&1\\\end{pmatrix}}$ er Gram-matrixen for de reducerede kanter af det hyperbolske tetraeder.

${\displaystyle \alpha _{i,j))$ — reduceret afstand mellem i og j toppunkter.

${\displaystyle \Psi _{i,j))$ er det algebraiske komplement til matricen . $\psi$

Sinus-sætning

${\frac {\Phi _{1,1}}{\Psi _{1,1}}}={\frac {\Phi _{2,2}}{\Psi _{2,2} ))={\frac {\Phi _{3,3}}{\Psi _{3,3}}}={\frac {\Phi _{4,4}}{\Psi _{4,4} }}$ — for sfærisk og hyperbolsk tetraeder.

Radius af den omskrevne kugle

${\begin{vmatrix}1&\cos(\alpha _{2,1})&\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{4,1})&1\ \\cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{3,2})&\cos(\alpha _{4,2})&1\\\cos(\alpha _{3 ,1})&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\ alpha _{4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1&1\\1&1&1&1&{\frac {1}{\cos ^{2}(R)))\\\end{vmatrix} }=0$ for et sfærisk tetraeder.

En anden måde at skrive udtrykket på: , hvor er normalerne af tetraederfladerne. ${\displaystyle {\frac {1}{\cos(R)}}={\frac {|{\sqrt {\Phi _{1,1}}}{\overrightarrow {n_{1}}}+{\ sqrt {\Phi _{2,2))}{\overrightarrow {n_{2))}+{\sqrt {\Phi _{3,3))}{\overrightarrow {n_{3))}+{\ sqrt {\Phi _{4,4))}{\overrightarrow {n_{4))}|}{\sqrt {\operatørnavn {det} \Phi ))))$ ${\overrightarrow {n_{1}}},{\overrightarrow {n_{2}}},{\overrightarrow {n_{3}}},{\overrightarrow {n_{4}}}$

Eller med koordinaterne for tetraederhjørnerne :. ${\frac {1}{\cos(R)}}={\frac {|{\begin{vmatrix}0&{\overrightarrow {i_{1}}}&{\overrightarrow {i_{2}} }&{\overrightarrow {i_{3}}}&{\overrightarrow {i_{4}}}\\1&X_{1}&Y_{1}&Z_{1}&T_{1}\\1&X_{2}&Y_{2 }&Z_{2}&T_{2}\\1&X_{3}&Y_{3}&Z_{3}&T_{3}\\1&X_{4}&Y_{4}&Z_{4}&T_{4}\\\end{ vmatrix}}|}{\sqrt {\operatørnavn {det} \Phi }}}$

${\begin{vmatrix}1&\operatørnavn {ch} (\alpha _{2,1})&\operatørnavn {ch} (\alpha _{3,1})&\operatørnavn {ch} (\alpha _{4,1})&1\\\operatørnavn {ch} (\alpha _{2,1})&1&\operatørnavn {ch} (\alpha _{3,2})&\operatørnavn {ch} (\alpha _{4,2})&1\\\operatørnavn {ch} (\alpha _{3,1})&\operatørnavn {ch} (\alpha _{3,2})&1&\operatørnavn {ch} (\alpha _{4,3})&1\\\operatørnavn {ch} (\alpha _{4,1})&\operatørnavn {ch} (\alpha _{4,2})&\operatørnavn {ch} (\alpha _{4,3})&1&1\\1&1&1&1&{\frac {1}{\operatørnavn {ch} ^{2}(R)))\\\end{vmatrix}}=0$ - for hyperbolsk tetraeder

Radius af en indskrevet kugle

${\frac {1}{\sin ^{2}(r)))={\frac {\Phi _{1,1}+\Phi _{2,2}+\Phi _{3, 3}+\Phi _{4,4}+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{2,2))}\cos(\alpha _{1,2})+2{ \sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{3,3))}\cos(\alpha _{1,3})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _ {4,4}}}\cos(\alpha _{1,4})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{3,3}}}\cos(\alpha _{ 2,3})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{4,4))}\cos(\alpha _{2,4})+2{\sqrt {\Phi _ {3,3}\Phi _{4,4}}}\cos(\alpha _{3,4})}{\operatørnavn {det} \Phi }}$ for et sfærisk tetraeder.

En anden måde at skrive udtrykket på er , hvor er enhedsradiusvektorerne for tetraederhjørnerne. ${\displaystyle {\frac {1}{\sin(r)}}={\frac {|{\sqrt {\Phi _{1,1}}}{\overrightarrow {r_{1}}}+{\ sqrt {\Phi _{2,2))}{\overrightarrow {r_{2))}+{\sqrt {\Phi _{3,3))}{\overrightarrow {r_{3))}+{\ sqrt {\Phi _{4,4))}{\overrightarrow {r_{4))}|}{\sqrt {\operatørnavn {det} \Phi ))))$ ${\overrightarrow {r_{1}}},{\overrightarrow {r_{2}}},{\overrightarrow {r_{3}}},{\overrightarrow {r_{4}}}$

${\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}(r)))=-{\frac {\Phi _{1,1}+\Phi _{2,2}+\Phi _{3,3}+\Phi _{4,4}+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{2,2))}\operatørnavn {ch} (\alpha _{1 ,2})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{3,3))}\operatørnavn {ch} (\alpha _{1,3})+2{\sqrt {\ Phi _{1,1}\Phi _{4,4}}}\operatørnavn {ch} (\alpha _{1,4})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{ 3,3))}\operatørnavn {ch} (\alpha _{2,3})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{4,4))}\operatørnavn {ch} (\alpha _{2,4})+2{\sqrt {\Phi _{3,3}\Phi _{4,4))}\operatørnavn {ch} (\alpha _{3,4})} {\operatørnavn {det} \Phi }}$ for et hyperbolsk tetraeder.

Afstanden mellem midten af de indskrevne og omskrevne kugler

${\frac {\cos(d)}{\sin(r)\cos(R)))={\frac ({\sqrt {\Phi _{1,1))}+{\sqrt { \Phi _{2,2}}}+{\sqrt {\Phi _{3,3}}}+{\sqrt {\Phi _{4,4}}}}{\sqrt {\operatørnavn {det} \Phi }}}$ for et sfærisk tetraeder.

Tetraederformler i barycentriske koordinater

Koordinater for midten af den indskrevne kugle:

$\mathbf {J} _{r}({\sqrt {\Phi _{1,1))},{\sqrt {\Phi _{2,2))},{\sqrt {\Phi _ {3,3}}},{\sqrt {\Phi _{4,4}}}).$ for et sfærisk tetraeder.

Koordinater for midten af den beskrevne kugle:

$\mathbf {J} _{R}={\begin{vmatrix}0&\mathbf {J_{1}} &\mathbf {J_{2}} &\mathbf {J_{3}} &\mathbf { J_{4}} \\1&1&\cos(\alpha _{1,2})&\cos(\alpha _{1,3})&\cos(\alpha _{1,4})\\1&\ cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{2,3})&\cos(\alpha _{2,4})\\1&\cos(\alpha _{3,1 })&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{3,4})\\1&\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\alpha _ {4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\end{vmatrix}}.$ for et sfærisk tetraeder.

Tetraeder i mikrokosmos

Et regulært tetraeder dannes under sp 3 - hybridisering af atomare orbitaler (deres akser er rettet mod hjørnerne af et regulært tetraeder, og kernen af det centrale atom er placeret i midten af den beskrevne sfære af det regulære tetraeder), derfor er mange molekyler, hvori en sådan hybridisering af det centrale atom finder sted, har form af dette polyeder.
CH4 - methanmolekyle . _
Ammoniumion NH4 + . _ _
Sulfat-ion SO 4 2- , phosphation PO 4 3- , perchloration ClO 4 - og mange andre ioner.
Diamant C er et tetraeder med en kant svarende til 2,5220 ångstrøm .
Fluorit CaF 2 , et tetraeder med en kant lig med 3,8626 ångstrøm .
Sphalerit , ZnS, et tetraeder med en kant lig med 3.823 ångstrøm .
Zinkoxid , ZnO.
Komplekse ioner [BF4 ] - , [ZnCl4 ] 2- , [Hg(CN) 4 ] 2- , [Zn(NH3 ) 4 ] 2+ .
Silikater , hvis strukturer er baseret på silicium-ilt-tetraederet [SiO 4 ] 4- .

Tetraeder i naturen

Nogle frugter, som er fire af dem på den ene side, er placeret i hjørnerne af et tetraeder tæt på regelmæssigt. Dette design skyldes det faktum, at centrene af fire identiske bolde, der rører hinanden, er placeret ved hjørnerne af et regulært tetraeder. Derfor danner kuglelignende frugter et lignende indbyrdes arrangement. For eksempel kan valnødder arrangeres på denne måde .

Tetrahedra i teknologi

Tetraederet danner en stiv, statisk bestemt struktur. Et tetraeder lavet af stænger bruges ofte som grundlag for rumlige bærende konstruktioner af spænd af bygninger, lofter, bjælker, spær Stængerne oplever kun langsgående belastninger.
Det rektangulære tetraeder bruges i optik. Hvis flader med en ret vinkel er dækket af en reflekterende sammensætning, eller hele tetraederet er lavet af et materiale med stærk lysbrydning, så effekten af total indre refleksion opstår, så vil lyset rettet mod ansigtet modsat toppunktet med rette vinkler reflekteres i samme retning, som den kom fra. Denne egenskab bruges til at skabe hjørnereflektorer , reflektorer .
Den kvartære triggergraf er et tetraeder [9] .

Tetrahedra i filosofi

"Platon sagde, at de mindste ildpartikler er tetraedre" [10] .

sekulære samfund. En af damerne fortæller sin drøm:

- Mine herrer, i dag så jeg en frygtelig drøm! Det er som om jeg stikker fingeren ind

mund – og der er ikke en eneste tand!

Rzhevsky:

- Frue - du har sikkert sat fingeren det forkerte sted ( tetraeder ) ...

Se også

Noter

↑ Dvoretskys antikke græsk-russiske ordbog "τετρά-εδρον" (utilgængeligt link) . Hentet 20. februar 2020. Arkiveret fra originalen 28. december 2014. (ubestemt)
↑ Selivanov D. F. ,. Geometrisk krop // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.
↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektoralgebra i eksempler og opgaver . - M . : Højere skole , 1985. - 232 s. Arkiveret 10. januar 2014 på Wayback Machine
↑ V. E. MATIZEN Isohedral og ramme tetrahedra "Quantum" nr. 7, 1983
↑ Modenov P.S. Problemer i geometri. - M . : Nauka, 1979. - S. 16.
↑ Markelov S. Formel for volumen af et tetraeder // Matematisk uddannelse. Problem. 6. 2002. S. 132
↑ Kilde . Hentet 31. marts 2018. Arkiveret fra originalen 30. august 2017. (ubestemt)
↑ Kilde . Hentet 31. marts 2018. Arkiveret fra originalen 31. marts 2018. (ubestemt)
↑ http://knol.google.com/k/trigger#view Arkiveret 23. november 2010 på Wayback Machine Trigger
↑ Werner Heisenberg. Ved oprindelsen af kvanteteori. M. 2004 s.107

Litteratur

Matizen V. E., Dubrovsky. Fra geometrien af tetraederet "Quantum" , nr. 9, 1988, s.66.
Zaslavsky A. A. Sammenlignende geometri af en trekant og et tetraeder // Matematisk uddannelse, ser. 3 (2004), nr. 8, s. 78-92.
Ponarin Ya. P. Elementær geometri. Bind 3. Trekanter og tetraeder. 2009

Polyeder

korrekt

Tredimensionelle (platoniske faste stoffer)	almindelig tetraeder terning Oktaeder Dodekaeder icosahedron
4D	Fem-celler tesseract Hexadecimal celle fireogtyve celler 120 celler Seks hundrede celler
Større dimension (angivet i parentes)	Almindelig simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hyperoktaeder

Regelmæssig
ikke-konveks

Tredimensionel ved antallet af
ansigter (angivet i parentes)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraeder (4)
Pentahedron (5)
Hexahedron (6)
Heptahedron (7)
Oktaeder (8)
Enneahedron (9)
Dekaeder (10)
Endecahedron (11)
Dodekaeder (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadekaeder (15)
Hexadekaeder (16)
Heptadekaeder (17)
Octadecahedron (18)
Enneadekaeder (19)
Icosahedron (20)
Icosotetrahedron (24)
Triacontahedron (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konveks

Arkimediske faste stoffer

catalanske kroppe

Prismer
trekantet prisme firkantet prisme Femkantet prisme Sekskantet prisme Heptagonal prisme Ottekantet prisme Ni-vinklet prisme Tikantet prisme Ellevvinklet prisme Todekagonalt prisme

Johnson polyeder

Formler ,
teoremer ,
teorier

Andet

Tetraeder

Egenskaber

Typer af tetraedre

Isohedral tetraeder

Ortocentrisk tetraeder

Rektangulært tetraeder

Skelet tetraeder

Et tilsvarende tetraeder

Incentrisk tetraeder

Regelmæssig tetraeder

Volumenet af et tetraeder

Bemærk

Formler for tetraederet i kartesiske koordinater i rummet

Tetraederformler i barycentriske koordinater

Sammenligning af trekant- og tetraederformler

Tetraeder i ikke-euklidiske rum

Volumen af ​​ikke-euklidiske tetraedre

Forholdet mellem de dihedriske vinkler af et tetraeder

Cosinussætning

Sinus-sætning

Radius af den omskrevne kugle

Radius af en indskrevet kugle

Afstanden mellem midten af ​​de indskrevne og omskrevne kugler

Tetraederformler i barycentriske koordinater

Tetraeder i mikrokosmos

Tetraeder i naturen

Tetrahedra i teknologi

Tetrahedra i filosofi

Se også

Noter

Litteratur

Volumen af ikke-euklidiske tetraedre

Afstanden mellem midten af de indskrevne og omskrevne kugler