Kubisk spline

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 29. november 2018; checks kræver 14 redigeringer .

En kubisk spline er en glat funktion, hvis definitionsdomæne er opdelt i et endeligt antal segmenter, på hvilke det falder sammen med et eller andet kubisk polynomium (polynomium).

Beskrivelse

Funktionen er givet på et segment opdelt i dele , . Den kubiske spline af defekt 1 (forskellen mellem graden og glatheden af splinen) er en funktion , der: $f(x)$ $[a,b]$ $[x_{i-1},x_{i}]$ $a=x_{0}<x_{1}<...<x_{N}=b$ $S(x)$

på hvert segment er et polynomium med højst tre grader; $[x_{i-1},x_{i}]$
har kontinuerlige første og anden afledte på hele segmentet ; $[a,b]$
i punkterne er ligheden opfyldt , dvs. spline interpolerer funktionen ved punkterne . $x_{i}$ $S(x_{i})=f(x_{i})$ $S(x)$ $f$ $x_{i}$

For entydigt at specificere en spline er de anførte betingelser ikke nok; for at konstruere en spline skal der stilles yderligere krav - grænsebetingelser:

"Naturlig spline" — grænsebetingelser for formen: ; $S''(a)=S''(b)=0$
Kontinuitet af den anden afledte - grænsebetingelser for formen: ; $S'''(a)=S'''(b)=0$
Periodisk spline - grænsebetingelser for formen: og . $S'(a)=S'(b)$ $S''(a)=S''(b)$

Sætning: For enhver funktion og enhver opdeling af et segment i dele er der præcis én naturlig spline , der opfylder betingelserne anført ovenfor. $f$ $[a,b]$ $[x_{i-1},x_{i}]$ $S_{i}(x)$

Denne teorem er en konsekvens af den mere generelle Schoenberg -Whitney-sætning om betingelserne for eksistensen af en interpolationsspline.

Bygning

På hvert segment er funktionen et polynomium af tredje grad , hvis koefficienter skal bestemmes. Vi skriver for nemheds skyld i formularen: $[x_{i-1},x_{i}],\ i={\overline {1,N))$ $S(x)$ $Seks)$ $Seks)$

S_{i}(x)=a_{i}+b_{i}(x-x_{i})+{c_{i}}(x-x_{i})^{2}+{d_ {i}}(x-x_{i})^{3}

derefter

S_{i}\left(x_{i}\right)=a_{i},\quad S'_{i}(x_{i})=b_{i},\quad S''_{ i}(x_{i})=2c_{i},\quad S'''_{i}\left(x_{i}\right)=6d_{i}\quad i={\overline {1,N }}.

Kontinuitetsbetingelserne for alle derivater op til anden orden inklusive skrives som

S_{i}\left(x_{i-1}\right)=S_{i-1}(x_{i-1}),

S'_{i}\left(x_{i-1}\right)=S'_{i-1}(x_{i-1}),

S''_{i}\left(x_{i-1}\right)=S''_{i-1}(x_{i-1}),

hvor varierer fra til og interpolationsbetingelserne i formularen $jeg$ $en$ $N,$

S_{i}\left(x_{i}\right)=f(x_{i}).

Betegn $:\quad h_{i}=x_{i}-x_{i-1}\quad (i={\overline {1,N))),\quad f_{i}=f(x_{i })\quad (i={\overline {0,N)))$

Herfra får vi formler til beregning af koefficienterne for den "naturlige spline":

a_{i}=f(x_{i})

;

d_{i}={\frac {c_{i}-c_{i-1}}{3\cdot h_{i}}}

;

b_{i}={\frac {a_{i}-a_{i-1}}{h_{i}}}+{\frac {2\cdot c_{i}+c_{i-1} }{3}}\cdot h_{i}

;

c_{i-1}\cdot h_{i}+2\cdot c_{i}\cdot (h_{i}+h_{i+1})+c_{i+1}\cdot h_{i +1}=3\cdot \left({\frac {a_{i+1}-a_{i}}{h_{i+1}}}-{\frac {a_{i}-a_{i-1 }}{h_{i}}}}\right)

, og ._ _

c_{N}=S''(x_{N})=0

c_{1}-3\cdot d_{1}\cdot h_{1}=S''(x_{0})=0

Hvis vi tager det i betragtning , så kan beregningen udføres ved hjælp af sweep-metoden for en tridiagonal matrix . $c_{0}=c_{N}=0$ $c$

Litteratur

deBoor, Carl. En praktisk guide til splines. — New York: Springer-Verlag, 1978.
Rogers D., Adams J. Matematiske grundlag for computergrafik. - M .: Mir, 2001. - ISBN 5-03-002143-4 .
Kostomarov D.P. , Favorsky A.P. Indledende forelæsninger om numeriske metoder.
Volkov EA Kapitel 1. Approksimation af funktioner ved polynomier. § 11. Splines // Numeriske metoder. - Lærebog. tilskud til universiteter. - 2. udg., Rev. - M. : Nauka, 1987. - S. 63-68. — 248 s.

Noter

↑ Boor, 1978 .

Kurver

Definitioner

Forvandlet

Ikke-plan

Flad
algebraisk

Keglesnit

3. orden ( kubisk )

Elliptisk	Elliptisk kurve Jacobi elliptiske funktioner Elliptisk integral Elliptiske funktioner
Andet	Verziera Agnesi Kartesisk ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Semikubisk parabel Trident Cissoid af Diocles

4. orden

Lemniscates

Tilnærmelse

Spline
- B-spline
- Kubik
- monospline
- Udglatning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cycloidal

Andet

Krogede Gård

Flad
transcendental

Spiraler	Archimedov Gård Galilæa hyperbolsk "Tryllestav" Gylden clothoid logaritmisk sinusformet
Cycloidal	trochoid Cycloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Rose" quadrifolium Hurtig nedstigning (brachistochrone, cycloid bue)
Andet	Quadratrix cochleoid Jage traktor trochoid kæde linje omvendt buet konstant bredde sinusformet Ribokura Super formel Superellipse Reuleaux trekant polygon Lissajous figurer

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper dragekurve Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologisk	Sierpinski serviet Sierpinski tæppe Svamp Menger cirkulær fraktal Apollonius tæppe

Kubisk spline

Beskrivelse

Bygning

Litteratur

Links

Noter