Tridiagonal matrix

En tridiagonal matrix eller Jacobi matrix [ 1] er en båndmatrix af følgende form:

{\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&a_{2}&b_{2}\\&c_{2}&\ddots &\ddots \\&&\ddots &\ ddots &b_{n-1}\\&&&c_{n-1}&a_{n}\end{pmatrix}},

hvor der alle andre steder, bortset fra hoveddiagonalen og to ved siden af den, er nuller.

Systemer af lineære algebraiske ligninger med sådanne matricer støder på ved løsning af mange problemer inden for matematisk fysik. Grænsebetingelserne og , som er taget fra konteksten af problemet, definerer første og sidste række. Så grænsebetingelsen af den første slags vil definere den første række i formen , , og grænsebetingelsen for den anden slags vil svare til værdierne , . $x_{1}$ $x_{n}$ $F{\bigl |}_{x=x_{1}}=f_{1}$ $c_{1}=1$ $b_{1}=0$ ${\frac {\partial F}{\partial x}}{\Bigl |}_{x=x_{1}}=f_{1}$ $c_{1}=-1$ $b_{1}=1$

Determinant

Determinanten for en tridiagonal matrix er givet ved følgende tilbagevendende formel [2] . Lad os sætte

f_{n}={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&a_{2}&b_{2}\\&c_{2}&\ddots &\ddots \\ &&\ddots &\ddots &b_{n-1}\\&&&c_{n-1}&a_{n}\end{vmatrix}}

for alle n > 1 og f 1 = a 1 . Derefter

f_{n}=a_{n}f_{n-1}-c_{n-1}b_{n-1}f_{n-2},

hvor f 0 = 1 og f -1 = 0.

Fejemetode

For at løse systemer af lineære ligninger af formen Ax = F , hvor A er en tridiagonal matrix, bruges sweep-metoden normalt .

Se også

Noter

↑ Prasolov V.V. Problemer og sætninger i lineær algebra . — M .: Nauka, 1996. — ISBN 5-02-014727-3 . Arkiveret 9. januar 2015 på Wayback Machine
↑ El-Mikkawy, MEA Omvendt af en generel tridiagonal matrix (ubestemt) // Anvendt matematik og beregning. - 2004. - T. 150 , nr. 3 . - S. 669-679 . - doi : 10.1016/S0096-3003(03)00298-4 .