Apollonius tæppe

Tæppe af Apollonius , eller gitter af Apollonius - en fraktal , bygget på tre parvise tangentcirkler. Det repræsenterer grænsesættet for alle mulige sekvenser af cirkler, som hver berører tre allerede konstruerede. Opkaldt efter den græske matematiker Apollonius af Perga .

Konstruktion

Lad os starte med tre cirkler, som hver er tangent til de to andre. Dernæst tilføjer vi cirkler til den eksisterende figur rekursivt, som hver berører omkring tre allerede konstruerede cirkler. I det første trin vil vi tilføje to, i det andet seks, og så videre.

For at fortsætte konstruktionen tilføjer vi 2 3 n nye cirkler på n'te trin.

Lukningen af ​​de konstruerede cirkler kaldes Apollonius-gitteret .

Egenskaber

• Apollonius-gitteret har en Hausdorff-dimension på omkring 1,3057 [1] .
• Apollonius-gitteret kan opfattes som en forening af to undergrupper, der er homøomorfe i forhold til Sierpinski-trekanten , der deler toppunkter.
• Undergruppen af ​​Möbius-transformationsgruppen , der består af de transformationer, der tager Apollonius-gitteret ind i sig selv, virker transitivt på gitterets cirkler.
• Apollonius-gitteret kan defineres som grænsesættet for gruppen af ​​transformationer af planet dannet ved inversioner i fire parvise tangentcirkler.

Krumning

En cirkels krumning er defineret som den reciproke af dens radius.

• Negativ krumning indikerer, at alle andre cirkler berører denne cirkel indefra. Dette er den afgrænsende cirkel.
• Nul krumning giver en linje (cirkel med uendelig radius).
• Positiv krumning indikerer, at alle andre cirkler tangerer denne cirkel udefra. Denne cirkel er inde i en cirkel med negativ krumning.

I Apollonius-gitteret har alle cirkler positiv krumning, undtagen én, den afgrænsende cirkel.

Hele gitter af Apollonius

Antag, beregn krumningerne af fire parvise tangentcirkler. Ifølge Descartes' sætning

Det følger, at hvis fire parvise tangentcirkler har heltalskrumninger, så har alle andre cirkler i deres Apollonius-gitter heltalskrumninger. Der er uendeligt mange sådanne heltalsgitter . [2] Nedenfor er flere hele masker med periferiske krumninger markeret.

Variationer og generaliseringer

3D-ækvivalenten til det apollonske gitter er den apollonske pakning af kugler.

Noter

1. ↑ Curtis T. McMullen. Hausdorff Dimension and Conformal Dynamics, III: Computation of Dimension // American Journal of Mathematics. — Bd. 120. - S. 691-721. - doi : 10.1353/ajm.1998.0031 .
2. ↑ Ronald L. Graham, Jeffrey C. Lagarias, Colin M. Mallows, Alan R. Wilks og Catherine H. Yan; "Apollonian Circle Packings: Number Theory" , J. Number Theory, 100 (2003), 1-45.

Litteratur

• A. A. Kirillov. Del II. Tæppe af Apollonius // En fortælling om to fraktaler . - 2. udg., rettet. - M . : MTsNMO Publishing House , 2010. - ( Sommerskole "Modern Mathematics" ). - ISBN 978-5-94057-670-9 .