Kurve inversion

Kurveinversion er resultatet af at anvende inversionsoperationen på den givne kurve C . Med hensyn til en fast cirkel med centrum O og radius k , er inversionen af punktet Q punktet P , der ligger på strålen OQ , og OP • OQ = k 2 . Inversionen af kurve C er mængden af alle punkter P , der er inversioner af punkter Q , der hører til kurve C . Punktet O i denne konstruktion kaldes inversionscentret , cirklen kaldesinversionscirklen , og k er inversionsradius .

En inversion anvendt to gange vil give den identiske transformation , så en inversion anvendt på inversionen af en kurve i forhold til den samme cirkel vil give den oprindelige kurve. Selve cirklens punkter omdannes til sig selv, så inversionscirklen ikke ændres under operationen.

Ligninger

Det omvendte af et punkt ( x , y ) i forhold til enhedscirklen er ( X , Y ) hvor:

X={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},\ Y={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}

eller tilsvarende:

x={\frac {X}{X^{2}+Y^{2}}},\ y={\frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}}

Så inversionen af kurven defineret af ligningen f ( x , y ) = 0 i forhold til enhedscirklen er givet af ligningen:

f\left({\frac {X}{X^{2}+Y^{2}}},\ {\frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}}\ højre)=0

Det følger af denne ligning, at inversionen af en algebraisk kurve på grad n i forhold til en cirkel giver en algebraisk kurve på højst 2 n .

På samme måde, ved at invertere kurven givet af de parametriske ligninger:

x = x(t),\ y = y(t)

med hensyn til enhedscirklen vil være:

X=X(t)=\frac{x(t)}{x(t)^2 + y(t)^2},\ Y=Y(t)=\frac{y(t)}{x( t)^2 + y(t)^2}.

Det følger heraf, at den cirkulære inversion af en rationel kurve også er en rationel kurve.

Mere generelt er inversionen af kurven givet ved ligningen f ( x , y ) = 0 i forhold til en cirkel centreret ved ( a , b ) og radius k er

f\venstre(a+\frac{k^2(Xa)}{(Xa)^2+(Yb)^2},\ b+\frac{k^2(Yb)}{(Xa)^2+(Yb) )^2}\right)=0.

Ved at invertere en kurve defineret parametrisk:

x = x(t),\ y = y(t)

med hensyn til samme cirkel vil være:

X=X(t)=a+{\frac {k^{2}(x(t)-a)}{(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b )^{2}}},\ Y=Y(t)=b+{\frac {k^{2}(y(t)-b)}{(x(t)-a)^{2}+( y(t)-b)^{2}}}

I et polært koordinatsystem er ligningerne enklere, hvis inversionscirklen er enhedscirklen. Det omvendte af et punkt ( r , θ) i forhold til enhedscirklen er ( R , Θ), hvor

R={\frac {1}{r)),\ \Theta =\theta

eller tilsvarende:

r={\frac {1}{R)),\ \theta =\Theta

Således er kurveinversionen f ( r , θ ) = 0 givet ved ligningen f (1/ R , Θ) = 0 og kurveinversionen r = g (θ) ville være r = 1/ g ( θ ).

Eksempler

Anvendelse af transformationen ovenfor på Bernoullis lemniscat

(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})

vil give

a^{2}(u^{2}-v^{2})=1

er ligningen for en hyperbel. Da inversion er en birationel transformation og hyperbel er en rationel kurve, viser dette at lemniscatet også er en rationel kurve, med andre ord har kurven slægten nul. Hvis vi anvender inversion på Fermat-kurven x n + y n = 1, hvor n er ulige, får vi

(u^{2}+v^{2})^{n}=u^{n}+v^{n}.

Ethvert rationelt punkt på en Fermat-kurve har et tilsvarende rationelt punkt på den kurve, hvilket giver en tilsvarende erklæring om Fermats sidste sætning .

Særlige tilfælde

For nemheds skyld er enhedscirklen brugt som inversionscirklen i eksemplerne. Resultatet af inversionen for andre cirkler kan opnås ved at transformere den oprindelige kurve.

Direkte

Hvis linjen går gennem origo, vil dens ligning i polære koordinater være θ = θ 0 , hvor θ 0 er konstant. Ligningen ændres ikke ved inversion.

Ligning i polære koordinater for en ret linje, der ikke går gennem origo,

r\cos(\theta-\theta_0) = en

og kurveinversionsligningen vil være

r = a\cos(\theta-\theta_0)

som definerer en cirkel, der går gennem oprindelsen. Anvendelse af inversionen allerede på denne cirkel viser, at inversionen af cirklen, der passerer gennem oprindelsen, vil være en lige linje.

Cirkler

I polære koordinater er den generelle ligning for en cirkel, der ikke passerer gennem origo

r^2 - 2r_0 r\cos(\theta-\theta_0) + r_0^2 - a^2 = 0\quad(a,\ r >0,\ a \ne r_0),

hvor a er radius og ( r 0 , θ 0 ) er centrets polære koordinater. Ligningen for den omvendte kurve er

1 - 2r_0 r\cos(\theta-\theta_0) + (r_0^2 - a^2)r^2 = 0,

eller

r^2 - \frac{2r_0}{r_0^2 - a^2} r\cos(\theta-\theta_0) + \frac{1}{r_0^2 - a^2} = 0.

Dette er ligningen af en cirkel med en radius

A = \frac{a}{|r_0^2 - a^2|}

og centret, hvis koordinater

(R_0,\ \Theta_0) = \venstre(\frac{r_0}{r_0^2 - a^2},\ \theta_0\right).

Bemærk at R 0 kan være negativ.

Hvis den oprindelige cirkel skærer med enhedscirklen, danner disse to cirklers centre og skæringspunktet en trekant med siderne 1, a, r0, og denne trekant vil være retvinklet, hvis

r_{0}^{2}=a^{2}+1.

Men af ligningen ovenfor følger det, at den oprindelige cirkel kun falder sammen med dens inversion i det tilfælde, hvor

r_{0}^{2}-a^{2}=1.

Inversionen af cirklen falder således sammen med den oprindelige cirkel, hvis og kun hvis cirklen skærer enhedscirklen i rette vinkler.

Opsummering og generalisering af de to afsnit:

Inversionen af en linje eller en cirkel vil være en linje eller en cirkel.
Hvis den oprindelige kurve er lige, vil dens inversion passere gennem inversionscentret. Hvis den oprindelige kurve passerer gennem midten af inversionen, vil inversionen være en lige linje.
Den omvendte kurve vil falde sammen med originalen nøjagtigt, når kurven skærer enhedscirklen i rette vinkler.

Parabler med centrum for inversion i toppunktet

Ligningen for en parabel, hvis den drejes, så aksen bliver vandret, er x = y 2 . I polære koordinater bliver dette

r=\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta}.

Ligningen for den inverse kurve ville da være

r=\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} = \sin\theta \tan\theta

og dette er Diocles' cissoid .

Keglesnit med centrum af inversion i fokus

Ligningen i polære koordinater for et keglesnit med fokus ved origo er op til lighed,

r={\frac {1}{1+e\cos \theta }}

hvor e er excentriciteten. Det omvendte af denne kurve ville være:

r=1+e\cos \theta

og dette er Pascals snegleligning . Hvis e = 0, er dette inversionscirklen. Hvis 0 < e < 1, er den oprindelige kurve en ellipse, og dens inverse er en lukket kurve med et isoleret punkt ved origo. Hvis e = 1, er den oprindelige kurve en parabel, og dens omvendte er en cardioid spids ved origo. Hvis e > 1, er den oprindelige kurve en hyperbel, og dens inversion danner to sløjfer med skæringspunktet ved origo.

Ellipser og hyperbler med inversionscentre ved hjørnerne

Den generelle ligning for en ellipse eller hyperbel er:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1

At transformere ligningen, så oprindelsen bliver toppunktet:

\frac{(xa)^2}{a^2}\pm\frac{y^2}{b^2}=1

og efter transformation:

\frac{x^2}{2a}\pm\frac{ay^2}{2b^2}=x

eller ved at ændre konstanterne:

cx^{2}+dy^{2}=x

Bemærk, at parablen diskuteret ovenfor nu falder ind i dette skema ved at sætte c = 0 og d = 1. Ligningen for den inverse kurve er:

\frac{cx^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{dy^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{x}{x^ 2+y^2}

eller

{\displaystyle x(x^{2}+y^{2})=cx^{2}+dy^{2))

Denne ligning beskriver en familie af kurver kaldet Sluze conchoids . Denne familie omfatter, udover Diocles-cissoidet beskrevet ovenfor, Maclaurin-trisektoren ( d = − c /3) og den højre strophoid ( d = − c ).

Ellipser og hyperbler med inversionscentre i midten

Ellipse- eller hyperbelligning:

cx^{2}+dy^{2}=1

efter inverteringsoperationen:

{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=cx^{2}+dy^{2))

og dette er Booths lemniscat . Hvis d = − c , er dette Bernoullis lemniscat .

Keglesnit med et vilkårligt inversionspunkt

En inversion af et keglesnit (bortset fra en cirkel) er en tredjeordens cirkulær kurve, hvis centrum af inversionen ligger på kurven, og en fjerdeordens bicirkulær kurve ellers. Keglesnit er rationelle, så omvendte kurver er også rationelle. Omvendt er enhver rationel tredjeordens cirkulær kurve eller rationel fjerdeordens bicirkulær kurve en inversion af et keglesnit. Faktisk skal enhver af disse kurver have en singularitet, og hvis vi tager dette punkt som centrum for inversion, vil den omvendte kurve være et keglesnit. [1] [2]

Anallagmatiske kurver

En anallagmatisk kurve er en kurve, der bliver til sig selv ved inversion. Disse omfatter cirklen , Cassini-ovalen og Maclaurin-trisektoren .

Se også

Invers geometri
Inversion (geometri)

Noter

↑ "Cubique Circulaire Rationnelle" på Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables . Hentet 9. november 2014. Arkiveret fra originalen 12. juni 2021. (ubestemt)
↑ "Quartique Bicirculaire Rationnelle" på Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables . Hentet 9. november 2014. Arkiveret fra originalen 12. juni 2021. (ubestemt)

Links

JW Stubbs. Om anvendelsen af en ny metode til geometrien af kurver og kurveoverflader // Philosophical Magazine Series 3. - 1843. - Vol . 23 . — S. 338–347 .
J. Dennis Lawrence. Et katalog over specielle plankurver . - Dover Publications, 1972. - S. 43-46,121 . - ISBN 0-486-60288-5 .
Weisstein, Eric W. Inverse Curve (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Weisstein, Eric W. Anallagmatic Curve (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
"Inversion" på webstedet Visual Dictionary Of Special Plane Curves
"Inverse d'une Courbe par Rapport à un Point" på Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
Definition på MacTutor-stedet "Famous Curves" . Dette websted indeholder også eksempler på inverse kurver og en Java-applet til at se inverse kurver fra en liste.

Kurver

Definitioner

Forvandlet

Ikke-plan

Flad
algebraisk

Keglesnit

3. orden ( kubisk )

Elliptisk	Elliptisk kurve Jacobi elliptiske funktioner Elliptisk integral Elliptiske funktioner
Andet	Verziera Agnesi Kartesisk ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Semikubisk parabel Trident Cissoid af Diocles

4. orden

Lemniscates

Tilnærmelse

Spline
- B-spline
- Kubik
- monospline
- Udglatning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cycloidal

Andet

Krogede Gård

Flad
transcendental

Spiraler	Archimedov Gård Galilæa hyperbolsk "Tryllestav" Gylden clothoid logaritmisk sinusformet
Cycloidal	trochoid Cycloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Rose" quadrifolium Hurtig nedstigning (brachistochrone, cycloid bue)
Andet	Quadratrix cochleoid Jage traktor trochoid kæde linje omvendt buet konstant bredde sinusformet Ribokura Super formel Superellipse Reuleaux trekant polygon Lissajous figurer

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper dragekurve Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologisk	Sierpinski serviet Sierpinski tæppe Svamp Menger cirkulær fraktal Apollonius tæppe