Rhombotrunkeret icosidodecahedron

Rhombisk trunkeret icosidodecahedron [1] eller trunkeret icosidodecahedron [2] [3] er et semi-regulært polyeder (arkimedisk krop) med 62 flader, sammensat af 30 firkanter , 20 regulære sekskanter og 12 regulære dekagoner .

I hver af dens 120 identiske hjørner konvergerer en firkantet flade, en sekskantet og en dekagonal flade. Rumvinklen ved toppunktet er nøjagtig ${\frac {3}{2}}\pi .$

Den har 180 ribber af lige længde. Ved 60 kanter (mellem kvadratiske og sekskantede flader) er dihedriske vinkler ens ved 60 kanter (mellem kvadratiske og dekagonale flader) ved 60 kanter (mellem sekskantede og dekagonale flader) $\arccos \left(-{\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}}{6}}\right)\ca. 159{,}09^{\circ },$ $\arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}\right)\ca. 148{,}28^{\circ },$ $\arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)\ca. 142{,}62^{\circ }.$

Navnet "trunkeret icosidodecahedron", som oprindeligt blev givet til dette polyeder af Kepler , kan være misvisende. Faktum er, at som et resultat af trunkeringsoperationen , "afskære" 30 firkantede pyramider fra icosidodecahedron , kan du kun få en lidt anderledes polyhedron, hvis firkantede flader er gyldne rektangler , ikke firkanter. Det resulterende polyeder er ikke semiregulært; dog er den isomorf til en ægte rombisk afkortet icosidodecahedron og kan laves om til en med en lille deformation.

I koordinater

Det rombisk trunkerede icosidodecahedron kan arrangeres i det kartesiske koordinatsystem, således at koordinaterne af dets hjørner alle er mulige cykliske permutationer af talsæt

$(\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi +3)),$
$(\pm (2\Phi -2);\;\pm \Phi ;\;\pm (2\Phi +1)),$
$(\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi +1);\;\pm (3\Phi -1)),$
$(\pm (2\Phi -1);\;\pm 2;\;\pm (\Phi +2)),$
$(\pm \Phi ;\;\pm 3;\;\pm 2\Phi ),$

hvor er forholdet mellem det gyldne snit . $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

I dette tilfælde vil oprindelsen af koordinater være polyhedronets symmetricenter, såvel som midten af dets omskrevne og semi-indskrevne sfærer . $(0;0;0)$

Metriske karakteristika

Hvis det afkortede icosidodecahedron har en længdekant , er dets overfladeareal og volumen udtrykt som $-en$

S=30\left(1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 174{,}2920303a ^{2},

V=(95+50{\sqrt {5}})a^{3}\approx 206{,}8033989a^{3}.

Radius af den omskrevne kugle (passer gennem alle hjørnerne af polyederet) vil da være lig med

R={\frac {1}{2}}{\sqrt {31+12{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}8023945a;

radius af en halvindskrevet kugle (berører alle kanter ved deres midtpunkter) -

\rho ={\sqrt {{\frac {15}{2}}+3{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}7693771a.

Det er umuligt at passe en kugle ind i et afkortet icosidodecahedron , så det rører alle ansigterne. Radius af den største kugle, der kan placeres inde i en rhomboid afkortet icosidodecahedron med en kant (den vil kun røre alle dekagonale flader i deres centre) er $-en$

r_{10}={\frac {1}{2}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}4409548a.

Afstandene fra polyederens centrum til de sekskantede og firkantede flader er henholdsvis større end og lig med ${\displaystyle r_{10))$

r_{6}={\frac {1}{2}}{\sqrt {27+12{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}6685425a,

r_{4}={\frac {1}{2}}{\sqrt {29+12{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}7360680a.

Bemærkelsesværdige egenskaber

Blandt alle platoniske faste stoffer , arkimedeiske faste stoffer og Johnson-faste stoffer med en given kantlængde har det rombiske afkortede icosidodecahedron det største volumen, største overfladeareal og største diameter.

Blandt alle platoniske faste stoffer, arkimediske faste stoffer og Johnson-faste stoffer har det rombiske afkortede icosidodecahedron det største antal hjørner og det største antal kanter (men ikke det største antal flader - her indtager den snub-dodecahedron førstepladsen ).

Noter

↑ Wenninger 1974 , s. 20, 40.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1963 , s. 437, 434.
↑ Lyusternik, 1956 , s. 184.

Litteratur

M. Wenninger . polyedre modeller. - Verden , 1974.
Polygoner og polyedre // Encyclopedia of elementary mathematics. Bog fire. Geometri / Udg. P.S. Aleksandrov , A.I. Markushevich , A. Ya. Khinchin . - M .: Statens forlag for fysisk og matematisk litteratur , 1963. - S. 382-447.
L. A. Lyusternik . Konvekse figurer og polyeder. - M .: Statens forlag for teknisk og teoretisk litteratur , 1956.

Polyeder

Korrekt

Tredimensionelle (platoniske faste stoffer)	almindelig tetraeder terning Oktaeder Dodekaeder icosahedron
4D	Fem-celler tesseract Hexadecimal celle fireogtyve celler 120 celler Seks hundrede celler
Større dimension (angivet i parentes)	Almindelig simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hyperoktaeder

Regelmæssig
ikke-konveks

Tredimensionel ved antallet af
ansigter (angivet i parentes)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraeder (4)
Pentahedron (5)
Hexahedron (6)
Heptahedron (7)
Oktaeder (8)
Enneahedron (9)
Dekaeder (10)
Endecahedron (11)
Dodekaeder (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadekaeder (15)
Hexadekaeder (16)
Heptadekaeder (17)
Octadecahedron (18)
Enneadekaeder (19)
Icosahedron (20)
Icosotetrahedron (24)
Triacontahedron (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konveks

Arkimediske faste stoffer

catalanske kroppe

Prismer
trekantet prisme firkantet prisme Femkantet prisme Sekskantet prisme Heptagonal prisme Ottekantet prisme Ni-vinklet prisme Tikantet prisme Ellevvinklet prisme Todekagonalt prisme

Johnson polyeder

Formler ,
teoremer ,
teorier