Kompleks analyse

Kompleks analyse [1] , teorien om funktioner af en kompleks variabel (eller kompleks variabel ; forkortet TFCF ) er et afsnit af matematisk analyse , hvor funktioner i et komplekst argument betragtes og studeres .

Generelle begreber

Hver kompleks funktion kan betragtes som et par reelle funktioner af to variable: definere dens reelle og imaginære dele, henholdsvis. Funktionerne kaldes komponenterne i en kompleks funktion . $w=f(z)=f(x+iy)$ $f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$ $u, v$ $f(z)$

Yderligere, hvor end vi taler om afgrænsningen af en kompleks funktion, mener vi afgrænsningen af dens modul (hvilket indebærer afgrænsningen i den sædvanlige betydning af begge komponenter).

Begrebet en grænse for en sekvens og en funktion introduceres på samme måde som i det virkelige tilfælde, hvor den absolutte værdi erstattes af et komplekst modul. Hvis , så og Det omvendte er også sandt: eksistensen af grænsen for selve funktionen følger af eksistensen af grænserne for komponenterne, og grænserne for komponenterne vil være grænsens komponenter. Kontinuiteten af en kompleks funktion er også defineret på samme måde som i det virkelige tilfælde, og det svarer til kontinuiteten af begge dens komponenter [2] . $\lim _{{z\to a+bi}}f(z)=A+Bi$ $\lim _{\underset {y\to b}{x\to a}}u(x,y)=A$ $\lim _{\underset {y\to b}{x\to a}}v(x,y)=B.$

Alle de vigtigste sætninger om grænsen og kontinuiteten af reelle funktioner finder også sted i det komplekse tilfælde, hvis denne udvidelse ikke er relateret til sammenligningen af komplekse størrelser med mere eller mindre . For eksempel er der ingen direkte analog til sætningen om mellemværdier af en kontinuerlig funktion.

$\varepsilon$ -nabo af et tal er defineret som et sæt af punkter mindre end : $z_{0}$ $z$ $z_{0}$ $\varepsilon$

|z-z_{0}|<\varepsilon

På det komplekse plan er -kvarteret det indre af en cirkel [2] med radius centreret ved . $\varepsilon$ $\varepsilon$ $z_{0}$

Peg på uendeligt

I kompleks analyse er det ofte nyttigt at overveje det fulde komplekse plan [3] , suppleret i sammenligning med det sædvanlige punkt ved uendelig : Med denne tilgang anses en uendeligt stigende (i absolut værdi) sekvens for at konvergere til punktet ved uendelig . Algebraiske operationer med uendelighed udføres ikke, selvom flere algebraiske relationer gælder: $z=\infty .$

${\frac {z}{\infty }}=0;z+\infty =\infty (z\neq \infty )$
$z\cdot \infty =\infty ;{\frac {z}{0}}=\infty (z\neq 0)$

$\varepsilon$ Et punkts -kvarter ved uendelighed anses for at være det sæt af punkter, hvis modul er større end , det vil sige den ydre del af -kvarteret af oprindelsen. $z$ ${\dfrac {1}{\varepsilon ))$ ${\dfrac {1}{\varepsilon ))$

Differentiering

Definition

Den afledte for en kompleks funktion af et argument er defineret på samme måde som for et reelt [4] : $w=f(z)$

f'(z)={\frac {df}{dz}}=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z +h)-f(z)}{h}}.

Hvis denne grænse eksisterer, siges funktionen at være differentierbar eller holomorf . Hvori

f(z+h)-f(z)={\frac {df}{dz}}\cdot h+o(h),

hvor — " o " er lille .

o

En vigtig egenskab bør tages i betragtning: da den komplekse funktion er givet på flyet, betyder eksistensen af den reducerede grænse, at den er den samme, når man plejer fra enhver retning. Denne kendsgerning pålægger væsentlige begrænsninger på formen af komponentfunktioner og bestemmer deres stive forhold ( Cauchy-Riemann- betingelser, de er også Euler-D'Alembert-betingelser) [4] : $z$ $u,\;v$

{\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y));\qquad {\frac {\partial u}{\partial y))= -{\frac {\partial v}{\partial x)),

eller i kort form,

{\frac {\partial f}{\partial x))={\frac {\partial f}{i\partial y)).

Dette indebærer, at komponenternes differentierbarhed og ikke er tilstrækkelig til differentiabiliteten af selve funktionen. $u$ $v$

Desuden er der følgende egenskaber, der adskiller kompleks analyse fra reel analyse [4] :

Enhver kompleks funktion, der kan differentieres i et eller andet område af et punkt, kan differentieres et ubegrænset antal gange og er analytisk , dvs. dens Taylor-serie konvergerer til en given funktion på alle punkter i dette nabolag (i litteraturen, sammen med udtrykket analytisk funktion , dets synonymer " holomorf funktion ", " regulær funktion " bruges også) ). $z$
( Liouvilles sætning ): Hvis en funktion er differentierbar på hele det komplekse plan og ikke er en konstant, så kan dens modul ikke afgrænses.
Begge komponenter i en differentierbar kompleks funktion er harmoniske funktioner , det vil sige, at de opfylder Laplaces ligning :

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}=0;\qquad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=0.

Enhver harmonisk funktion kan være både en reel og en imaginær komponent af en differentierbar funktion. I dette tilfælde bestemmes den anden komponent entydigt (ud fra Cauchy-Riemann-betingelserne) op til en konstant term.

Enhver differentierbar kompleks funktion er således en funktion af formen , hvor er de indbyrdes forbundne harmoniske funktioner af to argumenter. $u+iv$ $u,\;v$

Andre egenskaber

Lad funktionerne og være differentierbare i domænet Så og er også differentierbare i dette domæne. Hvis det ikke forsvinder i regionen , så vil det være differentierbart i Sammensætningen af funktioner er differentierbar overalt, hvor det er defineret. Hvis den afledede af en funktion i regionen ikke forsvinder, så er der en funktion invers til den, og den vil være differentierbar. $f(z)$ $g(z)$ $G\subseteq \mathbb {C} .$ $f(z)\pm g(z)$ $f(z)\cdot g(z)$ $g(z)$ $G$ ${\frac {f(z)}{g(z)))$ $G.$ $f(g(z))$ $w=f(z)$ $G$ $z=\varphi (w)$

Den afledte for sum, forskel, produkt, kvotient, sammensætning af funktioner og invers funktion beregnes ved hjælp af de samme formler som i reel analyse.

Den geometriske betydning af den afledte

Hver kompleks funktion definerer en vis afbildning af det komplekse plan med koordinater til et andet komplekst plan med koordinater . Samtidig udtrykket $w=f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)$ $(x,\;y)$ $(u,\;v)$

\venstre|{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}\right|=k(h)

når den er lille , kan den geometrisk fortolkes som den skaleringsfaktor, som denne kortlægning udfører, når den bevæger sig fra punkt til punkt . Eksistensen af en grænse , det vil sige modulet af den afledede , betyder, at skaleringsfaktoren er den samme i enhver retning fra punktet , det vil sige ikke afhænger af retningen. Generelt set varierer skaleringsfaktoren fra punkt til punkt [5] . $h$ $z$ $z+h$ $\lim _{h\to 0}k(h)$ $|f^{\primtal}(z)|=k$ $z$

Hvis skaleringsfaktoren , så i nærheden af punktet , øges afstandene mellem punkterne, og skaleringsfaktoren kaldes strækfaktoren . Hvis skaleringsfaktoren , så i nærheden af punktet , falder afstandene mellem punkterne, og skaleringsfaktoren kaldes kompressionsfaktoren . Eksempel på funktionen : i et punkt er den afledede 4, så alle længder firdobles. $k>1$ $z$ $k<1$ $z$ $f(z)=z^{2}+2z-1$ $z=1$

Hvad angår det afledede argument, bestemmer det rotationsvinklen for en glat kurve, der passerer gennem et givet punkt . Alle glatte kurver roteres med samme vinkel i dette display. Kort, der bevarer vinkler, kaldes konforme ; således definerer enhver differentierbar kompleks funktion en konform mapping (i det område, hvor dens afledte ikke forsvinder) [6] . Dette faktum er forbundet med den udbredte brug af komplekse funktioner i kartografi og hydrodynamik [7] . $z$

Integration

Integration af komplekse funktioner

Begrebet en antiderivat kompleks funktion (ubestemt integral) introduceres på samme måde som i det virkelige tilfælde. Der er dog ingen analog til det bestemte integral i intervallet fra til på det komplekse plan, da vejen fra startpunktet til det sidste er tvetydig. Derfor er hovedformen af det komplekse integral det krumlinjede integral , som afhænger af en bestemt sti. Nedenfor vil vi angive de betingelser, hvorunder integralet ikke afhænger af stien, og så kan integralet "fra punkt til punkt" defineres korrekt. $-en$ $b$

Lad ligningen, hvor parameteren t er rettet fra en eller anden begyndelsesværdi a til slutværdien b , definere en stykkevis jævn kurve i det komplekse plan, udstyret med en retning, og funktionen defineres ved punkterne i denne kurve. Retningen, hvori parameteren bevæger sig, bestemmer den specifikke traversering af kurven: det er ligegyldigt, hvad der er større - b eller a . [8] Opdel parametreringssegmentet i lige store dele $z=z(t),$ $\gamma$ $f(z)$ $n$ $t_{0},t_{1}\cdots t_{n-1},t_{n}\colon$

$a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b,$ hvis a < b ;
eller hvis a > b , $a=t_{0}>\ldots >t_{n}=b,$

og overvej integralsummen:

\sum _{k=1}^{n}f{\big (}z(t_{k}){\big )}\cdot {\big (}z(t_{k})-z( t_{k-1}){\big )}.

Grænsen for denne sum, når den stiger uden bundet , kaldes det (komplekse) integral over den (rettede) kurve for den givne funktion ; det er betegnet: $n$ $\gamma$ $f(z)$

\int _{\gamma }f(z)dz.

For enhver funktion, der fortsætter langs , eksisterer dette integral og kan beregnes gennem det sædvanlige reelle integral over parameteren: $f(z)$ $\gamma$

\int _{\gamma }f(z)dz=\int _{a}^{b}f(z(t))z'(t)dt=\int _{\gamma }(u~ dx-v~dy)+i\int _{\gamma }(v~dx+u~dy).

Her er komponenterne . Fra denne repræsentation kan det ses, at egenskaberne af det komplekse integral svarer til egenskaberne for det reelle krumlinjede integral af den anden slags. $u,\;v$ $f(z)$

Konturintegral

Af særlig praktisk interesse er integraler langs en (lukket) kontur , det vil sige langs en stykkevis jævn kurve uden selvskæringspunkter , hvor startpunktet falder sammen med slutpunktet. Konturen kan omgås i to retninger; positiv er retningen, i hvilken området afgrænset af konturen er placeret til venstre i kørselsretningen.

Hvis kurven danner en lukket kontur, bruges en speciel notation for integralet: $\gamma$

\oint _{\gamma }f(z)dz.

Nogle gange angiver pilen på cirklen retningen: med uret eller mod uret.

Der er en vigtig Cauchy-integralsætning : for enhver funktion , der er analytisk i et simpelt forbundet domæne og for enhver lukket sløjfe , er integralet over det lig nul: $f(z)$ $A\subseteq \mathbb {C} ,$ $\gamma \subseteq A$

{\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)dz=0{.))

Konsekvens: lad funktionen være analytisk i et simpelt forbundet domæne , og punkterne fra domænet er forbundet med en eller anden kurve . Så afhænger integralet kun af punkterne , men ikke af valget af den kurve, der forbinder dem , så det kan betegnes $f(z)$ $A\subseteq \mathbb {C} ,$ $z_{1},z_{2}$ $EN$ $\gamma$ $\textstyle \int _{\gamma }f(z)dz$ $z_{1},z_{2}$ $\gamma$ $\textstyle \int \limits _{z_{1}}^{z_{2}}f(z)dz.$

Hvis betingelserne for Cauchy-sætningen er opfyldt, så kan vi introducere begrebet et ubestemt integral for . For at gøre dette retter vi et bestemt punkt inde i regionen og overvejer integralen: $f(z)$ $z_{0}$

F(z)=\int _{z_{0}}^{z}{f(w)dw}.

Afledten er derfor antiderivatet for Familien af antiderivater, der adskiller sig i en konstant (afhængigt af valget af ) danner et ubestemt integral. Newton-Leibniz-sætningen [9] siger : $F'(z)$ $f(z)$ $F(z)$ $f(z).$ $z_{0}$

\int _{z_{1}}^{z_{2}}{f(z)\,dz}=F(z_{2})-F(z_{1}).

Der er en generalisering af Cauchys integralsætning for et multipliceret forbundne område: hvis en funktion er analytisk i et lukket multipliceret forbundne område , så er dens integral over den ydre kontur af regionen lig med summen af integraler over alle indre konturer (i samme retning som langs den ydre) [10] . Denne generalisering er praktisk at anvende, hvis domænet indeholder et entalspunkt for en funktion (definition af et entalspunkt nedenfor ), hvor funktionen ikke er analytisk eller ikke defineret.

Andre kraftfulde værktøjer til at udforske komplekse og virkelige integraler:

Cauchys integralformel og dens konsekvenser: det maksimale modulprincip , middelværdisætninger ;
den fundamentale restsætning .

Unikitetsteoremer og analytisk fortsættelse

En funktions nul er det punkt , hvor funktionen forsvinder: . $f(z)$ $z_{0}$ $f(z_{0})=0$

Sætning om nuller i en analytisk funktion . Hvis nullerne i en funktion , som er analytisk i domænet , har et grænsepunkt inde , så forsvinder funktionen overalt i . $f(z)$ $D$ $D$ $f(z)$ $D$

Følge: hvis en funktion er analytisk i et domæne og ikke er identisk nul i det, så kan den i ethvert afgrænset lukket underdomæne kun have et endeligt antal nuller. $f(z)$ $D$ $C\subseteq D$

Unikitetssætningen for en analytisk funktion. Lad være en uendelig konvergent sekvens af forskellige punkter i domænet Hvis to analytiske funktioner falder sammen på alle punkter i denne sekvens, så er de identisk lige i $\{z_n\}$ $D.$ $f(z),g(z)$ $D.$

Især hvis to analytiske funktioner falder sammen på en stykkevis jævn kurve i , så falder de sammen overalt i . Dette betyder, at værdierne af en analytisk funktion, selv i et lille område af domænet, fuldstændig bestemmer funktions adfærd i hele domænet af dens definition. Efter at have givet en analytisk funktion på en kurve (for eksempel på den reelle akse), bestemmer vi entydigt dens forlængelse (hvis muligt) til et bredere område, hvilket kaldes den analytiske fortsættelse af den oprindelige funktion. $D$ $D$

Alle standardanalysefunktioner - polynomium , lineær brøkfunktion , potensfunktion , eksponentielle , trigonometriske funktioner , inverse trigonometriske funktioner , logaritme - tillader analytisk fortsættelse til det komplekse plan. Samtidig vil de samme algebraiske, differentielle og andre identiteter være gældende for deres analytiske fortsættelse som for den virkelige original, for eksempel:

\sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1;\qquad e^{u}\cdot e^{v}=e^{u+v}.

Serieudvidelse

Power-serien

Definitionen af summen af en talserie og tegnene på konvergens i kompleks analyse er praktisk talt den samme som i reel analyse, med den absolutte værdi erstattet af et komplekst modul; undtagelsen er tegnene på konvergens, hvor der er en sammenligning for mere eller mindre end elementerne i serien selv, og ikke deres moduler.

Enhver funktion, der kan differentieres i et punkt, udvides i kvarteret til dette punkt i en Taylor potensrække : $z_{0}$

f(z)=\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}

Seriens koefficienter beregnes ved hjælp af de sædvanlige formler. Denne serie konvergerer til en funktion i en eller anden cirkel med radius centreret ved punktet , som tjener som en analog af konvergensintervallet for den virkelige serie. Serien konvergerer absolut i denne cirkel og divergerer uden for den. I dette tilfælde er 3 tilfælde mulige. $f(z)$ $R$ $z_{0}$

Serien konvergerer i en cirkel med en endelig radius og en radius der ikke er nul.
Serien konvergerer i hele det komplekse plan, det vil sige . Sådanne funktioner kaldes heltal . $R=\infty$
Serien konvergerer kun på punktet . Eksempel: . Sådanne punkter kaldes ental for funktionen Ikke-entalspunkter kaldes regulære . Det indre af konvergenscirklen består af regulære punkter. $z_{0}$ $\sum _{{n=0}}^{\infty }n!(z-z_{0})^{n}$ $z_{0}$ $f(z).$

Grænsen for konvergenscirklen indeholder mindst ét ental punkt. Det følger heraf, at radius af konvergenscirklen i et punkt er lig med afstanden fra til det entalspunkt, der er nærmest. $z_{0}$ $z_{0}$

Abels sætning : hvis er radius af konvergenscirklen for en potensrække, så konvergerer rækken ensartet i enhver cirkel med samme centrum, men med en mindre radius . $R$

Laurent-serien

Det er af stor praktisk interesse at studere adfærden af en funktion nær et isoleret singulær punkt , det vil sige et punkt i nærheden af hvilket funktionen er analytisk, men på selve punktet er enten ikke analytisk eller ikke defineret. Power-serien er ubrugelig her, så den mere generelle Laurent-serie introduceres :

\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}c_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum _{{n=0}}^{{\ infty }}c_{n}(z-z_{0})^{n}+\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {c_{{-n}}}{ (z-z_{0})^{n}}}

Hvis konvergensområdet for Laurent-serien ikke er tomt, er det en cirkulær ring : . $r<|z-z_{0}|<R$

Hovedsætning : hvis en funktion er analytisk i en cirkulær ring, så kan den repræsenteres i denne ring af en konvergent Laurent-række og entydigt. $f(z)$

Hvad angår en potensrække, er grænserne for konvergensringen bestemt af fordelingen af entalspunkter for funktionen. Ud fra Laurent-seriens form kan vi drage nogle konklusioner om funktionsmåden nær punktet . $z_{0}$

Aftagelig singular spids : hvis Laurent-serien ikke indeholder elementer med negativ styrke . Så er dette bare en potensrække, der definerer en funktion i en eller anden cirkel omkring . Summen af rækken i denne cirkel er endelig og kan afvige fra kun ved punktet , så det er nok at omdefinere , så funktionen bliver analytisk i hele cirklen. Følgende kriterium gælder: hvis en funktion nær er analytisk og afgrænset, så er det et flytbart entalspunkt. ${\displaystyle z-z_{0))$ $z_{0}$ $f(z)$ $z_{0}$ $f(z_{0})$ $z_{0}$ $z_{0}$
Pol : hvis Laurent-serien indeholder et begrænset antal elementer med negativ potens . I dette tilfælde er funktionen ved punktet uendelig (modulo). ${\displaystyle z-z_{0))$ $z_{0}$
Essential singular pointe : hvis Laurent-serien indeholder et uendeligt antal elementer med negativ potens . I dette tilfælde kan funktionen på punktet ikke korrekt defineres til at være kontinuerlig. ${\displaystyle z-z_{0))$ $z_{0}$

Applikationer i reel analyse

Ved hjælp af teorien om rester , som er en del af TFKP, beregnes mange komplekse integraler over lukkede konturer.

Midlerne til kompleks analyse forklarer nogle punkter, der ikke let kan fortolkes i form af materialeanalyse. Lad os tage et klassisk eksempel: funktionen

f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}

er kontinuerlig og uendeligt differentierbar på hele den reelle linje. Overvej dens Taylor-serie

{\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots

Denne serie konvergerer kun i intervallet , selvom punkterne ikke er specielle for . $(-1;\;1)$ $\pm 1$ $f(x)$

Situationen bliver klarere, når man går over til funktionen af en kompleks variabel , som har to entalspunkter: . Følgelig kan denne funktion kun udvides til en Taylor-serie i cirklen . $f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}$ $\pm i$ $\Delta =\{z\kolon |z|<1\}$

Historie

Grundlæggende arbejde i kompleks analyse er forbundet med navnene på Euler , Riemann , Cauchy , Weierstrass og mange andre berømte matematikere. Teorien om konforme kortlægninger begyndte at udvikle sig hurtigt på grund af de eksisterende applikationer inden for teknik, metoderne og resultaterne af kompleks analyse bruges i analytisk talteori . En ny bølge af interesse for kompleks analyse er forbundet med kompleks dynamik og teorien om fraktaler .

Se også

Analytisk funktion
Deduktion (kompleks analyse)
Holomorf funktion
Kvaternion Analyse
Komplekse tal
Multivariat kompleks analyse
monogen funktion
Den projektivt forlængede reelle linje er en endimensionel analog af det komplekse plan, suppleret med et usigneret punkt ved uendelig .

Noter

↑
Dobbeltspændingen er givet i henhold til følgende kilder:
- Great Soviet Encyclopedia , 3. udg. (1973), bind 12, s. 588, artikel Komplekse tal .
- Soviet Encyclopedic Dictionary (1982), s. 613, artikel Kompleks nummer .
- Den seneste udgave af "Ordbog over det russiske sprogs vanskeligheder" (Rosenthal D. E., Telenkova M. A., Iris-press, 2005, s. 273) angiver begge muligheder: "komplekse (komplekse) tal."
- I Great Russian Encyclopedia (bind 14, 2010) tilbydes belastninger samtidigt: Kompleks tal (s. 691), men kompleks analyse (s. 695).
- Spelling Dictionary of the Russian Language (6. udgave, 2010), Grammar Dictionary of the Russian Language, Russian Spelling Dictionary of the Russian Academy of Sciences , red. V. V. Lopatina og en række andre ordbøger angiver mulighederne: " kompleks " og " kompleks (matematik.)".
↑ 1 2 Smirnov V.I., 2010 , s. 7-15..
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teori om funktioner af en kompleks variabel. Dekret. op., s. 20-21.
↑ 1 2 3 Smirnov V.I., 2010 , s. 15-22..
↑ Smirnov V.I., 2010 , s. 22-23.
↑ Smirnov V.I., 2010 , s. 24-25.
↑ Lavrentiev M. A., Shabat B. V. Problemer med hydrodynamik og deres matematiske modeller . - M . : Nauka, 1973. (utilgængeligt link)
↑ Fikhtengolts, Grigory Mikhailovich . Forløb for differential- og integralregning, kapitel 9, stk. 2. . Hentet 8. juni 2021. Arkiveret fra originalen 19. juli 2020. (ubestemt)
↑ Matematik, dens indhold, metoder og betydning (i tre bind). - Videnskabsakademiet i USSR, 1956. - T. 2. - S. 204-205. — 397 s.
↑ Smirnov V.I., 2010 , s. 33.

Litteratur

Evgrafov M. A. Analytiske funktioner. - 2. udg., revideret. og yderligere — M .: Nauka , 1968. — 472 s.
Matematik i det 18. århundrede // Matematikkens historie / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Funktioner af en kompleks variabel. operationel beregning. Teori om stabilitet. — M .: Nauka , 1981. — 304 s.
Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Metoder til teorien om funktioner af en kompleks variabel. - 4. udg. — M .: Nauka , 1972 .
Sveshnikov A. G. , Tikhonov A. N. Teori om funktioner af en kompleks variabel. — M .: Nauka, 1967. — 304 s.
Smirnov V. I. Et kursus i højere matematik i tre bind. - Ed. 10. - Sankt Petersborg. : BHV-Petersburg, 2010. - V. 3, del 2. — 816 s. - ISBN 978-5-9775-0087-6 .
Titchmarsh E. Funktionsteori: Pr. fra engelsk. - 2. udg., revideret. — M .: Nauka , 1980. — 464 s.
Fikhtengol'ts G. M. Forløb af differential- og integralregning, i tre bind. - M. : Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0155-2 .
Shabat BV Introduktion til kompleks analyse. — M .: Nauka , 1969. — 577 s.

Grene af matematik

Portal "Science"

Grundlaget for matematik mængdeteori matematisk logik logikkens algebra

Talteori ( aritmetik )

Algebra
Elementær algebra	Ligningsløsning
Lineær algebra	Vektorregning matricer Tensorregning Multilineær algebra
Generel algebra	Kommutativ algebra Repræsentationsteori Differentiel algebra Homologisk algebra Universal Algebra Kategori teori

Analyse
Klassisk analyse	Differentialregning Integralregning
Funktionsteori	Harmonisk analyse Kvaternion Analyse Kompleks analyse måle teori Teori om funktioner af en reel variabel funktionel analyse Variationsberegning
Differential- og integralligninger	Dynamiske systemer og ergodisk teori Differentialligninger almindelig i partielle derivater Integralligninger
Vektoranalyse Global Analyse Katastrofe teori Tilpasset analyse Glat infinitesimal analyse

Geometri og topologi
Geometri	Algebraisk geometri Analytisk geometri Euklidisk geometri Ikke-euklidisk geometri Planimetri Stereometri
Topologi	Generel topologi Algebraisk topologi Differentialgeometri og topologi

Diskret matematik
Kombinatorik grafteori

Anvendt matematik
Matematisk fysik Matematisk kemi matematisk biologi Matematik statistik Matematisk modellering Teori om algoritmer Numeriske metoder matematisk økonomi finansiel matematik Sandsynlighedsteori Operationsforskning Spilteori

Portal "Matematik"
Kategori "Matematik"

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Stor russer jorden rundt Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	GND : 4018935-1 J9U : 987007553156205171 LCCN : sh85052356 NKC : ph135388