Projektivt forlænget tallinje

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 18. oktober 2021; checks kræver 2 redigeringer .

En projektivt forlænget reel linje er et sæt af reelle tal , suppleret med et punkt, kaldet uendelig ( projektiv uendelighed , uendelig uden fortegn , tosidet uendelighed , punkt ved uendelig ). $\mathbb {R}$

Et punkt ved uendelighed kan intuitivt forstås som positiv og negativ uendelighed identificeret. Dette kan tydeligt demonstreres ved at afbilde sættet af reelle tal ikke på en lige linje, men på en cirkel med et udstanset punkt. Så vil uendelighed svare til netop dette punkterede punkt.

Den projektivt forlængede tallinje udvider tallinjen på samme måde, som den udvidede komplekse plan udvider den komplekse plan .

På trods af at begrebet udvidet tallinje normalt bruges i forhold til mængden af reelle tal med to fortegnede uendeligheder, bruges det nogle gange også om den projektivt forlængede tallinje. Derfor, for at understrege deres forskel, kaldes en tallinje suppleret med to uendeligheder nogle gange en affint forlænget tallinje .

En projektivt forlænget tallinje er af forskellige forfattere betegnet som [1] , [2] , [3] . I denne artikel vil notationen blive brugt . Projektiv uendelighed betegnes som , . Den første notation bruges også nogle gange til at betegne plus uendelig, men i denne artikel bruges den kun i forhold til projektiv. $\mathbb {R} ^{*}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\infty ))$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\infty$ $\pm \infty$

Bestil

På er der ingen naturlig lineær orden , da der ikke er nogen naturlig måde at bestemme, om uendelighed er større end eller mindre end et tal. Den cykliske rækkefølge er dog ikke defineret . Det kan repræsenteres som bevægelsesretningen i en cirkel fra 0 til ∞, der går gennem 1. Det vil sige, hvis de følger hinanden, når de bevæger sig langs en cirkel i den retning, hvor 0, 1 og ∞ følger hinanden. Når vi bevæger os gennem denne rækkefølge fra 0, går vi således gennem, i stigende rækkefølge, alle positive tal, derefter uendelig, så alle negative og så 0 igen. ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $[a,b,c]$

Formelt er denne rækkefølge bestemt af følgende relationer: [4]

[a,b,c]\Leftrightarrow a<b<c

[\infty ,b,c]\Leftrightarrow b<c

[a,\infty ,c]\Leftrightarrow a>c

[a,b,\infty ]\Leftrightarrow a<b

tilfælde, hvor der er mere end én uendelighed, er altid forkerte

Alt er her . $a,b,c\in \mathbb {R}$

Den cykliske rækkefølge definerer intervaller som sæt af formen (formens intervaller defineres separat ). I konventionel notation kan dette omskrives som følger: [5] ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\{x|[a,x,b]\}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}\backslash \{a\}$

Et interval i ${\widehat {\mathbb {R} }}$ er enten et sæt af formeneller for nogle. $(a;b)$ $(a;+\infty )\cup \{\infty \}\cup (-\infty ;b)$ $a,b\in {\overline {\mathbb {R} }}$

Et segment i ${\widehat {\mathbb {R} }}$ er enten et sæt af formen, eller, eller, eller for nogle. $[a;b]$ $\{\infty \}\cup (-\infty ;b]$ ${\displaystyle [a;+\infty )\cup \{\infty \))$ $[a;+\infty )\cup \{\infty \}\cup (-\infty ;b]$ $a,b\in \mathbb {R}$

Et halvt interval i ${\widehat {\mathbb {R} }}$ er enten et sæt af formen, eller, eller, eller, , eller, eller, eller, ellerfor nogle. $(a;b]$ $[en; b)$ $[a;+\infty )$ $(-\infty ;b]$ ${\displaystyle (a;+\infty )\cup \{\infty \))$ ${\displaystyle (-\infty ;b)\cup \{\infty \))$ $(a;+\infty )\cup \{\infty \}\cup (-\infty ;b]$ $[a;+\infty )\cup \{\infty \}\cup (-\infty ;b)$ $a,b\in \mathbb {R}$

Nogle gange bruges den sædvanlige notation til sådanne huller , forstået i ovenstående betydning. Det vil sige , , , . Med sådanne betegnelser (på venstre side af lighed i den ovenfor definerede betydning, på højre side i sædvanlig betydning) , , . Indgangen er defineret som . $(a,b),[a,b],(a,b]$ ${\displaystyle (a,b)=\{x|[a,x,b]\))$ ${\displaystyle [a,b]=(a,b)\kop \{a,b\))$ ${\displaystyle (a,b]=(a,b)\kop \{b\))$ $[a,b)=(a,b)\kop \{a\}$ $a \neq b$ $(0,1)=(0,1)$ $(1,0)=(1,+\infty )\kop \{\infty \}\kop (-\infty ,0)$ $(a,a)$ ${\widehat {\mathbb {R} }}\backslash \{a\}$

Topologi

Den cykliske orden bestemmer ikke topologien: et åbent sæt er et sæt, der kan repræsenteres som en forening af intervaller (intervaller forstås i den forstand defineret ovenfor). Denne topologi er intet andet end foreningen af åbne sæt med kvarterer i det uendelige. ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\mathbb {R}$

ε-kvarteret til ∞ er sættet. Ethvert kvarter af uendelighed indeholder et eller andet ε-kvarter af uendelighed. $\left({\frac {1}{\varepsilon ));+\infty \right)\cup \{\infty \}\cup \left(-\infty ;-{\frac {1}{\ varepsilon}}\right)$

Et punkteret ε-kvarter af ∞ er et sæt. $\left({\frac {1}{\varepsilon ));+\infty \right)\cup \left(-\infty ;-{\frac {1}{\varepsilon }}\right)$

Uden definitionen af intervaller kunne topologien på introduceres som følger. Lad os definere et punkteret kvarter af uendelighed som et åbent sæt, der indeholder et eller andet ε-kvarter af uendelighed. Så er et uendeligt kvarter et punkteret kvarter af uendelighed med uendelighed tilføjet. Så er topologien foreningen af topologien med mængden af kvarterer i uendeligheden. ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\mathbb {R}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\mathbb {R}$

Den projektivt forlængede reelle linje er et kompakt Hausdorff-rum , homøomorft til en cirkel. Det er en et-punkts komprimering af den rigtige linje og er dens Alexandrov komprimering .

På sædvanlig måde kan en grænse defineres, da argumentet har en tendens til at være uendeligt . Desuden får pladen sin sædvanlige betydning i topologi. ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\lim _{x\to \infty }f(x)$ $\lim _{\mathfrak {B}}f(x)=\infty$

I der er nogle grænser, der ikke eksisterer i og endda i . Grænsen eksisterer således ikke ved og ved , men eksisterer ved og er lig med . Til gengæld, hvis grænsen eksisterer i , så eksisterer den også i . Desuden, hvis grænsen i er endelig, så er den lig med den samme værdi, og hvis den er uendelig, så er den lig med . ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\mathbb {R}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$ $\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}$ $\mathbb {R}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\infty$ ${\overline {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\infty$

Aritmetiske operationer

Standarddriften i udvides til ved kontinuitet. I mange tilfælde er en sådan udbredelse ikke mulig, så operationerne bliver delvist definerede. [en] $\mathbb {R}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$

a+\infty =\infty +a=\infty ,\quad a\neq \infty

\infty +\infty

- udefineret

a-\infty =\infty -a=\infty ,\quad a\neq \infty

\infty -\infty

- udefineret

a\cdot \infty =\infty \cdot a=\infty ,\quad a\neq 0

0\cdot \infty ,\infty \cdot 0

- udefineret

{\frac {\infty }{a))=\infty ,\quad a\neq \infty

{\frac {a}{\infty }}=0,\quad a\neq \infty

{\frac {\infty }{\infty ))

- udefineret

{\frac {a}{0}}=\infty ,\quad a\neq 0

{\frac {0}{0}}

- udefineret

${\widehat {\mathbb {R} }}$ en af de få strukturer, der tillader division med 0 .

Algebraiske egenskaber

Følgende ligheder betyder: de venstre dele er enten begge udefinerede eller lige.

{\begin{aligned}(a+b)+c&=a+(b+c)\\a+b&=b+a\\(a\cdot b)\cdot c&=a\cdot (b\ cdot c)\\a\cdot b&=b\cdot a\\a\cdot \infty &={\frac {a}{0}}\\\end{aligned}}

Følgende ligheder er sande, hvis deres højre side er defineret.

{\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\a=\left({\frac {a}{b))\right)\cdot b&=\,\,{\frac {(a\cdot b)}{b}}\\a=(a+b)-b&=\,\,(ab)+b\end{aligned}}

Projektive egenskaber

En projektivt forlænget tallinje er en projektiv linje opnået fra en affin linje ved at tilføje et punkt ved uendelig. De projektive transformationer af denne linje har formen $\mathbb {R}$

f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d)),&x\neq \infty \\\displaystyle {\frac {a}{c)) ,&x=\infty \end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\quad \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\ højre|\neq 0

Sådanne transformationer kaldes Möbius-transformationer . Deres egenskaber ligner på mange måder egenskaberne hos deres komplekse modparter: [2]

Sættet af Möbius-transformationer med kompositionsoperationen danner en gruppe.
For alle to tripler , hvor punkterne er parvis forskellige, er der en unik Möbius-transformation, der oversættes til . $x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3}\in {\widehat {\mathbb {R} ))$ $x_{1},x_{2},x_{3}$ ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3))$
En funktion er en Möbius-transformation, hvis og kun hvis den bevarer det anharmoniske forhold .
En funktion er en Möbius-transformation, hvis og kun hvis den kan repræsenteres som en sammensætning af refleksioner og inversioner

Se også

Affint forlænget tallinje

Noter

↑ 12 Wolfram . _
↑ 12 Lee , 2020 , s. 75.
↑ Emanuello, Nolder, 2015 , s. 12.
↑ nLab .
↑ Tucker, 2011 , s. 32.

Litteratur

Cantrell DW projektivt udvidede reelle tal . Wolfram Math World . Weisstein EW. Dato for adgang: 18. april 2021.
Nam Hoon Lee. Geometri : fra isometrier til speciel relativitet . - Springer International Publishing, 2020. - 258 s. - (Undergraduate tekster i matematik). — ISBN 9783030421014 .
Emanuello JA, Nolder CA Projective Compactification of and Its Möbius Geometry $\mathbb {R} ^{1,1}$ (engelsk) // Daniel Alpay Complex Analysis and Operator Theory: Journal. - Orange, CA USA, 2015. - 1. februar ( nr. 9 ). — S. 329–354 . — ISSN 1661-8262 . - doi : 10.1007/s11785-014-0363-5 .
Udvidede reelle tal (engelsk) . nLab .
Warwick Tucker. Valideret numerik: En kort introduktion til strenge beregninger . — Princeton University Press, 2011. — 152 s. — ISBN 9781400838974 .