Ensartet konvergens

Lade være et vilkårligt sæt , være et metrisk rum , og være en sekvens af funktioner. En sekvens siges at konvergere ensartet [1] til en funktion, hvis der for nogen eksisterer et tal , således at uligheden for alle tal og alle punkter $x$ $Y=(Y,d)$ $f_{n}\colon X\to Y,\ n=1,2,\dots$ $f_n$ $f\kolon X\til Y$ $\varepsilon >0$ $N_\varepsilon$ $n>N_{\varepsilon }$ $x\i X$

\venstre|f_{n}(x)-f(x)\højre|<\varepsilon

Normalt betegnet . $f_{n}\højrepile f$

Denne betingelse svarer til

\lim _{{n\to \infty }}\sup _{{x\in X}}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=0.

Egenskaber

Hvis er et lineært normeret rum og sekvenserne af afbildninger og konvergerer ensartet på mængden , så konvergerer sekvenserne og for enhver også ensartet på . $Y$ $f_{n}\kolon X\til Y$ $g_{n}\kolon X\til Y$ $n=1,2,\prikker$ $x$ $\{f_{n}+g_{n}\}$ $\{\alpha f_{n}\}$ $\alpha \in \mathbb{R}$ $x$

For funktioner med reel værdi (eller mere generelt, hvis det er en lineær normeret ring ), konvergerer sekvensen af afbildninger ensartet på mængden og den afgrænsede afbildning, så konvergerer sekvensen også ensartet på . $Y$ $f_{n}\colon X\to \mathbb{R}$ $x$ $g\colon X\til \mathbb{R}$ $\{gf_{n}\}$ $x$

Hvis er et topologisk rum , er et metrisk rum, og en sekvens af afbildninger kontinuert i et punkt konvergerer ensartet på mængden til en afbildning , så er denne afbildning også kontinuert i et punkt . $x$ $Y$ $x_{0}\i X$ $f_{n}\kolon X\til Y$ $x$ $f\kolon X\til Y$ $x_{0}$

Hvis en sekvens af Riemann ( Lebesgue ) integrerbare funktioner konvergerer ensartet på et interval til en funktion , så er denne funktion også Riemann (henholdsvis Lebesgue) integrerbar, og lighed gælder for enhver og konvergensen af en sekvens af funktioner på et interval til en funktionen er ensartet. $f_{n}\colon [a,b]\to \mathbb{R}$ $[a,b]$ $f\kolon [a,b]\til \mathbb{R}$ $x\i[a,b]$
     $\lim _{{n\to \infty }}\int \limits _{a}^{x}f_{n}(t)dt=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$

     $x\mapsto \int \limits _{a}^{x}f_{n}(t)dt$
$[a,b]$
     $x\mapsto \int \limits _{a}^{x}f(t)dt$

Hvis en sekvens af kontinuerligt differentierbare funktioner på et segment , konvergerer på et tidspunkt , og en sekvens af deres derivater konvergerer ensartet på , så konvergerer sekvensen også ensartet på , og dens grænse er en funktion, der kontinuerligt kan differentieres på dette segment. $[a,b]$ $f_{n}\colon [a,b]\to \mathbb{R}$ $x_{0}$ $[a,b]$ $\{f_{n}\}$ $[a,b]$

Noter

↑ Kudryavtsev L. D. Ensartet konvergens // Mathematical Encyclopedia : [i 5 bind] / Kap. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1984. - T. 4: Ok - Slo. - S. 787-789. - 1216 stb. : syg. — 150.000 eksemplarer.

Litteratur

Aleksandrov P. S. Introduktion til mængdeteori og generel topologi, M., 1977.
Kolmogorov A. N., Fomin S. B. Elementer i funktionsteori og funktionsanalyse. 5. udgave, M., 1981.
Kelly J. L. Generel topologi. 2. udgave, M., 1951.
Medvedev F. A. Om historien om begrebet ensartet konvergens af serier. // Historisk og matematisk forskning . - M . : Nauka , 1974. - Nr. 19 . - S. 75-93 .