Mellemværdisætning

Mellemværdisætningen (eller Bolzano-Cauchy-sætningen ) siger, at hvis en kontinuert funktion defineret på et reelt interval tager to værdier, så antager den en hvilken som helst værdi mellem dem.

Ordlyd

Lad en kontinuert funktion være givet på et segment Lad også antage uden tab af generalitet, at Så for enhver eksisterer der sådan, at . $f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr )}.$ $f(a)\neq f(b),$ $f(a)=A<B=f(b).$ $C\i [A,B]$ $c\in[a,b]$ $f(c)=C$

Bevis

Lad os betragte funktionen Den er kontinuerlig .iogsegmentetpå $g(x)=f(x)-C.$ $[a,b]$ $g(a)<0$ $g(b)>0.$ $c\in[a,b]$ $g(c)=0.$ $[a,b]$ $x_{0}$ $g(x_{0})=0$ ${\displaystyle c=x_{0))$ $g(x_{0})\neq 0$ $g(x)$

Ved at betegne det resulterende segment deler vi det igen i to lige lange segmenter osv. Så når vi enten efter et begrænset antal trin til det ønskede punkt , eller vi opnår en sekvens af indlejrede segmenter, der har en tendens til nul i længden og sådan, at $[a_{1},b_{1}]$ $c$ $[a_{n},b_{n}]$

$g(a_{n})<0<g(b_{n}).$

Lad - et fælles punkt for alle segmenter (ifølge Cantors princip eksisterer det og er unikt) , Så og på grund af kontinuiteten i funktionen $c$ $[a_{n},b_{n}]$ $n=1,2,...$ $c=\lim a_{n}=\lim b_{n},$ $g(x):$

$g(c)=\lim g(a_{n})=\lim g(b_{n}).$

Fordi

$\lim g(a_{n})\leq 0\leq \lim g(b_{n}),$

det får vi $g(c)=0.$

Konsekvenser

(Sætningen om nulpunktet af en kontinuert funktion.) Hvis en funktion er kontinuert på et bestemt segment og får modsatte fortegn i enderne af dette segment, så er der et punkt, hvor den er lig med nul . Formelt: lad og Så sådan at $f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr )},$ $\operatørnavn {sgn} (f(a))\neq \operatørnavn {sgn} (f(b)).$ $\exists c\in [a,b]$ $f(c)=0.$
Især har ethvert polynomium af ulige grader mindst ét nul.

Bemærk

Nogle gange (i træningsforløb) kaldes sætningen for nul den første Bolzano - Cauchy-sætning , og den generelle sætning kaldes den anden sætning [1] . Faktisk er de ækvivalente. [2]

Generalisering

Bolzano-Cauchy-sætningen kan generaliseres til mere generelle topologiske rum . Enhver kontinuert funktion defineret på et forbundet topologisk rum, der tager to vilkårlige værdier, tager også enhver værdi mellem dem. Formel notation: lad et forbundet topologisk rum og en funktion gives Lad og derefter $f\kolon X\til \mathbb{R}$ $(X,{\mathcal {T}}),$ $f\in C(X).$ $x_{1},x_{2}\in X,\;f(x_{1})=y_{1},\;f(x_{2})=y_{2},$ $y_{1}<y_{2}.$

\foral y\in [y_{1},y_{2}]\;\eksisterer x\i X\;f(x)=y.

I denne formulering er sætningen et specialtilfælde af sætningen, at billedet af et forbundet mængde under en kontinuerlig mapping er forbundet.

Historie

Sætningen blev formuleret uafhængigt af Bolzano i 1817 og af Cauchy i 1821.

Se også

Noter

↑ Matematisk analyse: Kontinuerlige funktioner . Dato for adgang: 24. januar 2010. Arkiveret fra originalen 24. november 2010. (ubestemt)
↑ Shilov, 1969 , s. 163.

Litteratur

Shilov G.E. Matematisk analyse (funktioner af en variabel). - M. : Nauka, 1969. - 528 s.