Maksimum modul princippet

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 12. marts 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Ordlyd

Hvis er holomorf i et eller andet domæne , og der eksisterer et punkt , så uligheden gælder i hele domænet , så . $f$ $G\subset {\mathbb C}^{n}$ $z_{0}\i G$ $G$ $|f(z_{0})|\geqslant |f(z)|$ $f(z)\equiv {\mathrm {konst))$

Med andre ord kan modulet for en anden analytisk funktion end en konstant ikke have lokale maksima inde i regionen . $G$

Konsekvenser

Princippet om minimumsmodul. Hvis er analytisk i et eller andet domæne , forsvinder ikke der, og der eksisterer et punkt sådan, at uligheden gælder i hele domænet , så . (Det vil sige, at lokale minima for modulet af en anden analytisk funktion end en konstant kan kun nås på de punkter, hvor den forsvinder.) $f$ $G\subset \mathbb {C} ^{n}$ $z_{0}\i G$ $G$ $|f(z_{0})|\leqslant |f(z)|$ $f(z)\equiv {\mathrm {konst))$
Princippet om maksimale reelle og imaginære dele. Hvis for en analytisk funktion i et punkt nås et lokalt maksimum (minimum) ved dens reelle (eller imaginære) del, så er funktionen en konstant. $f(z)$ $z_{0}\i G$ $f(z)$

(Her bruger vi det sædvanlige maksimale modul-princip for funktionerne og , samt ligheden .) $e^{{f(z)}}$ $e^{{if(z)}}$ $\left|e^{{f(z)}}\right|=e^{({\mathrm {Re}}\,f(z)}}$

Lad være en kompakt delmængde af . For enhver funktion, der er kontinuerlig på og analytisk inde , gælder ligheden: $K\undersæt {\mathbb C}^{n}$ $f$ $K$ $K$

\|f\|_{K}=\|f\|_{{\partial K}}.

Hvis en sekvens af sådanne funktioner konvergerer ensartet på grænsen af kompakten , så konvergerer den ensartet på det hele . $K$ $K$