Taylor-serien

Taylor-serien er udvidelsen af en funktion til en uendelig sum af potensfunktioner . Et særligt tilfælde af ekspansion til en Taylor-serie ved nulpunktet kaldes Maclaurin -serien .

Taylor-serien var kendt længe før udgivelserne af Brooke Taylor [1] - den blev brugt allerede i det 14. århundrede i Indien [2] , såvel som i det 17. århundrede af Gregory og Newton .

Taylor-rækker anvendes ved tilnærmelse af en funktion ved hjælp af polynomier . Især lineariseringen af ligninger sker ved at udvide til en Taylor-serie og afskære alle led over den første orden .

En generalisering af forestillingen om en Taylor-serie i funktionel analyse er Fantapie-serien .

Definition

1. Taylor -polynomiet af en funktion af en reel variabel , differentierbare tider i et punkt , er den endelige sum $f(x)$ $x$ $k$ $-en$

f(x)=\sum _{n=0}^{k}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}(xa)^{n}=f (a)+f'(a)(xa)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(xa)^{2}+\ldots +{\frac {f^ { (k)}(a)}{k!}}(xa)^{k}

bruges i omtrentlige beregninger , som en generalisering af konsekvensen af Lagrange-sætningen på middelværdien af en differentierbar funktion:

når sandt .

xa=h\to 0

f(x)=f(a+h)=f(a)+f'(a)\cdot h+O(h^{2})\ca. f(a)+f'(a)\ cdot h=f(a)+f'(a)\cdot(xa)

Når vi skrev summen, brugte vi notationen og konventionen for produktet over det tomme sæt: , . $f^{(0)}(x)=f(x)$ $0!=1$ $(xa)^{0}=1$

2. En Taylor-række i et punkt af en funktion af en reel variabel , der er uendeligt differentierbar i et område af punktet , kaldes en formel potensrække $-en$ $f(x)$ $x$ $-en$

f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}(xa)^{n} = \sum _{n=0}^{+\infty }\varphi _{n}(x;a)

med et fælles medlem afhængigt af parameteren .

\varphi _{n}(x;a)={\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}\cdot (xa)^{n}

-en

Med andre ord er Taylor-rækken af en funktion i et punkt udvidelsesrækken af funktionen i positive potenser af binomialet : $f(x)$ $-en$ $(xa)$

f(x)=f(a)+f'(a)(xa)+{\frac {f''(a)}{2!}}(xa)^{2}+\ldots +{ \frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(xa)^{n}+\ldots \,

. [3]

Som angivet i eksemplerne nedenfor, er det ikke tilstrækkeligt at have en funktion, der er uendeligt differentierbar i et område af et punkt , for at Taylor-serien konvergerer til selve funktionen hvor som helst end ved selve punktet . $f(x)$ $-en$ $-en$

3. En Taylor-række ved et punkt af en funktion af en kompleks variabel , der opfylder Cauchy-Riemann-betingelser i et eller andet område af punktet , kaldes en potensrække $-en$ $f(z)$ $z$ $U\subseteq \mathbb {C}$ $-en$

f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}(za)^{n}

I modsætning til det virkelige tilfælde følger det af betingelserne, at der er en sådan værdi af radius , der konvergerer i en serie til funktionen . $R>0$ $D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}\subseteq U$ $f(z)$

4. Sagsrække $a=0$

f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!)}}x^{n}

kaldes Maclaurin -serien .

Analytisk funktion

1. En funktion af en reel variabel kaldes analytisk i et punkt, hvis der er en sådan radius og sådanne koefficienter , , som kan repræsenteres som en potensrække, der konvergerer på et interval : , dvs. $f(x)$ $x$ $x=a$ $R>0$ $c_{k}=c_{k}(a)=c_{k}(a;f)\,$ $k=0,1,2,\dots \,$ $f(x)$ $(aR;a+R)$ $\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(xa)}^{k}}}\,$ $\forall x\in (aR;a+R)$ $\Højre pil$ $\lim _{n\to +\infty }\,\sum \limits _{k=0}^{n}{{c_{k}}{{(xa)}^{k}}}= f(x)$

En funktion kaldes analytisk på et interval (på et sæt), hvis den er analytisk på hvert punkt i dette interval (sæt).

2. En potensserie på en hvilken som helst kompakt delmængde af konvergensdomænet tillader term-for-term differentiering et vilkårligt antal gange. ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(za)}^{k))))$ $K$ ${\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\))$

Hvis vi substituerer i den th afledede af funktionen , får vi . $k$ ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(za)}^{k))))$ $z=a$ ${c_{k}}\cdot k!$

Således, for en funktion analytisk på et punkt, for nogle overalt i , er repræsentationen korrekt . $-en$ $f(z)$ $R>0$ ${\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\))$ ${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!))(za)^{k))$

Følge. En funktion af en reel variabel er analytisk i et punkt, hvis og kun hvis den er lig med dens Taylor-serie med en parameter på et åbent interval, der indeholder punktet . $f(x)$ $x$ $-en$ $-en$ $-en$

3. Spørgsmål: for en vilkårlig funktion af en reel variabel , der er uendeligt differentierbar på et punkt , vil dens Taylor-serie konvergere til overalt på et eller andet interval , det vil sige, er den repræsenteret af denne serie? $-en$ $f(x)$ $x$ $\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(xa)^{k}$ $f(x)$ $(aR;a+R)$ $f(x)$

Svar: nej. Der er uendeligt differentiable funktioner af en reel variabel, hvis Taylor-række konvergerer, men adskiller sig fra funktionen i ethvert nabolag af . $-en$

Eksempler. Funktionerne af en reel variabel , , er uendeligt differentiable ved punktet , og alle disse afledte er lig med nul. $f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2))))},&x\neq 0 \\0,&x=0\end{array}}\right.\,$ $f_{+}(x)=\venstre\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x)))),&x>0\\0,&x \leq 0\end{array}}\right.\,$ $f_{\rm {v}}(x)=\venstre\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{|x|}}}},&x\ neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,$ $x=0$

Derfor er Taylor-rækken af alle disse funktioner med en parameter identisk lig med nul. Men for enhver i nærheden af punktet er der punkter, hvor funktionerne er forskellige fra . Disse funktioner er således ikke analytiske på et tidspunkt. $a=0$ $R>0$ $(-R;+R)$ $a=0$ $0$ $a=0$

Bevis

Vi vil udføre beviset for funktionen foreslået af Augustin-Louis Cauchy . $f(x)=f_{2}(x)=\venstre\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2))))} ,&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,$

Funktionen er en analytisk funktion af en kompleks variabel for alle . $\exp \left(-{\frac {1}{z^{2))}\right)$ $z\in {\overline {\mathbb {C} }}\setminus \{0\}$

For det er åbenlyst . $z \neq 0$ ${\frac {d}{dz}}\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {1}{ z^{2}}}\right)\cdot \left({\frac {2}{z^{3}}}\right)$

Funktionen for er den "korrigerede" funktion , , suppleret med grænser til venstre og højre ved punktet . $f(x)$ $x\in \mathbb {R}$ $\exp \left(-{\frac {1}{x^{2))}\right)$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0\))$ $\lim _{x\to 0,x<0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2))}\right)=0$ $\lim _{x\to 0,x>0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2))}\right)=0$ $x=0$

Lad os finde den afledede af funktionen i punktet . Per definition :. $f(x)$ $x=0$ $f'(0)=\lim _{\Delta x\to 0,\Delta x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(0+\Delta x) -f(0)}{\Delta x}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(h)-0}{ h))={\frac {0}{0}}=\lim _{h\til 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f'(h)} {h'}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3}}}$

Da for er opfyldt , vil vi bevise, at for vilkårlig er sandt . $x\in (0;1)$ ${\displaystyle 0<e^{-{\frac {1}{x^{2))))<e^{-{\frac {1}{x))))$ $\alpha >0$ $\lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x)))){x^{\alpha }}}=0$

Anvendelse af L'Hopitals regel direkte på dele

\lim _{x\to 0,x>0}e^{-{\frac {1}{x))}=\lim _{x\to 0,x>0}x^{\alpha }=0

ikke fører til et resultat.

Lad os ændre variablen : ${\frac {1}{x}}=t$

${\displaystyle \lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x)))){x^{\alpha }}}=\lim _{ t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\lim _{t\to + \infty }{\frac {\alpha t^{\alpha -1}}{e^{t))))$ .

Lad . Ved at anvende L'Hopitals regeltider får vi i tælleren enten (for ) en konstant eller (for ) en infinitesimal : $k=\lceil \alpha \rceil$ $k$ $\alpha =k$ $k!$ $\alpha <k$ ${\displaystyle \alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k))$

\lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\ ldots =\lim _{t\to +\infty }{\frac {\alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k)){e^{t} }}=0

På denne måde

f'(0)=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3 }}}=0

Find (for ) flere begyndelsesafledninger af funktionen : $x\neq 0$ $f(x)$

{\displaystyle f'(x)={\frac {2f(x)}{x^{3))))

f''(x)=\left({\frac {2f(x)}{x^{3}}}\right)'=2\left({f'(x){\frac {1 }{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\right)'}\right)=2\venstre({{\frac {2f (x)}{x^{3))}{\frac {1}{x^{3}}}+f(x)\venstre({\frac {1}{x^{3}}}\højre )'}\right)=2f(x)\left({{\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4}}}}\right)

f'''(x)=\left({2f(x)\left(({\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4} }}}\right)}\right)'=4f(x)\left({{\frac {2}{x^{9}}}-{\frac {3}{x^{7}}}+ {\frac {6}{x^{5}}}-{\frac {6}{x^{7}}}}\right)

Og så videre. I alle tilfælde er resultatet naturligvis et produkt med summen af negative heltalspotenser . En endelig sum af infinitesimaler er infinitesimal. Således ,. $f(x)$ $x$ $\lim _{x\to 0,x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}f^{(k)}(x)=0$

Ved at beregne sekventielt per definition (som ovenfor) de afledte i punktet , finder vi, at alle afledte i punktet er lig med nul. $f(x)$ $x=0$ $x=0$

Konvergensdomæne for Taylor-serien

Taylor-serien, som er en potensrække, har som konvergensområde en cirkel (centreret i punktet ) for en kompleks variabel og et interval (centreret i punktet ) for en reel variabel. $-en$ $-en$

1. For eksempel kan en funktion udvides i en Taylor-række som følger: (dette er den velkendte formel for summen af en uendelig aftagende geometrisk progression). Men hvis funktionen er defineret for alle reelle tal undtagen punktet , så konvergerer rækken kun under betingelsen . $f(x)={\frac {1}{1-x))$ ${\frac {1}{1-x}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}$ ${\frac {1}{1-x}}$ $x=1$ $\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}$ $|x|<1$

2. Taylor-seriens konvergensradius kan f.eks. bestemmes ved hjælp af d'Alembert-formlen:

R=\lim _{k\to \infty }\left|{\dfrac {\dfrac {{f^{(k)))(a)}{k!)}{\dfrac {{f^ {(k+1)}}(a)}{(k+1)!}}}\right|=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {{f^{(k) )}}(a)}{{f^{(k+1)}}(a)}}(k+1)}\right|

3. Overvej for eksempel eksponentialfunktionen . Da enhver afledt af en eksponentiel funktion er lig med selve funktionen på ethvert punkt, er konvergensradius for den eksponentielle funktion . Det betyder, at Taylor-rækken af eksponentialfunktionen konvergerer på hele aksen for en hvilken som helst parameter . ${\displaystyle e^{x))$ $R=\lim _{k\to \infty }\left|({\frac {e^{a}}{e^{a}}}(k+1)}\right|=\lim _ {k\to \infty }(k+1)=\infty$ $x$ $-en$

4. Området for dets konvergens afhænger af parameteren, ekspansionspunktet for Taylor-serien. $-en$

Lad os f.eks. udvide funktionen : i det generelle tilfælde (for en vilkårlig ) i en Taylor-serie . $-en$ $f(x)={\frac {1}{1-x))$ $f(x)={\frac {1}{1-x}}={\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{ \left({\frac {xa}{1-a}}\right)}^{k}}$

Det kan bevises ved hjælp af formlen for summen af en geometrisk progression, at den givne serie, som funktion af argumentet , har samme form for alle værdier (undtagen ). $x$ $-en$ $a=1$

Virkelig,

{\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\left({\frac {xa}{1-a}}\right) }^{k))={\frac {1}{1-a}}\cdot {\frac {1}{1-\venstre({\dfrac {xa}{1-a}}\right))) ={\frac {1}{1-x}}

Seriens konvergensrække kan gives af uligheden . Og nu afhænger dette område af . For eksempel konvergerer serien for . For serien konvergerer kl . $\left|{\frac {xa}{1-a}}\right|<1$ $-en$ $a=0$ $x\in (-1;1)$ $a=0{,}5$ $x\in (0;1)$

Taylor formel

Antag, at funktionen har alle afledede op til -. orden inklusive i et eller andet interval, der indeholder punktet . Find højst et polynomium af grad , hvis værdi i et punkt er lig med værdien af funktionen på dette tidspunkt, og værdierne af dens afledte op til -te orden inklusive ved punktet er lig med værdierne af de tilsvarende afledte af funktionen på dette tidspunkt. $f(x)$ $n+1$ $x=a$ ${P_{n}}(x)$ $n$ $x=a$ $f(x)$ $n$ $x=a$ $f(x)$

Det er ret let at bevise, at et sådant polynomium har formen , det vil sige, at det er den -. partielle sum af Taylor-rækken af funktionen . Forskellen mellem en funktion og et polynomium kaldes restleddet og betegnes . Formlen kaldes Taylor-formlen [4] . Det resterende udtryk er differentierbare tider i det betragtede område af punktet . Taylors formel bruges til at bevise et stort antal sætninger i differentialregning . Sagt løst viser Taylor-formlen adfærden af en funktion i nærheden af et bestemt punkt. ${P_{n}}(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{{\frac {{f^{(k)))(a)}{k!)} } {{(xa)}^{k}}}$ $n$ $f(x)$ $f(x)$ ${P_{n}}(x)$ ${R_{n}}(x)=f(x)-{P_{n}}(x)$ $f(x)={P_{n}}(x)+{R_{n}}(x)$ $n+1$ $-en$

Sætning:

Hvis en funktion har en afledt på et segment med ender og , så er der for et vilkårligt positivt tal et punkt mellem og , sådan at $f(x)$ $n+1$ $-en$ $x$ $s$ $\xi$ $-en$ $x$

f(x)=\sum _{k=0}^{n}{f^{(k)}(a) \over k!}(xa)^{k}+\venstre({xa \ over x-\xi }\right)^{p}{(x-\xi )^{n+1} \over n!p}f^{(n+1)}(\xi).

Dette er Taylor-formlen med en restbetegnelse i generel form ( Schlömilch - Roche -formen ).

Forskellige former for resten

I Lagrange- formen :

R_{n}(x)={(xa)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)}[a+\theta (xa)]\qquad p =n+1;\qquad 0<\theta <1

Konklusion Differentier med hensyn til begge sider af Taylor-formlen gange:

x

n

{\begin{array}{l}1)f(x)'=f(a)'+\sum \limits _{k=2}^{n}{{\frac {{f^{( k)}}(a)}{(k-1)!}}{{(xa)}^{k-1}}}+{R_{n}}(x)'\\2)f(x) ''=f(a)''+\sum \limits _{k=3}^{n}{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{(k-2)!} }{{(xa)}^{k-2}}}+{R_{n}}(x)''\\...\\n-1)f{(x)^{(n-1) }}=f{(a)^{(n-1)}}+{f^{(n)}}(a)(xa)+{R_{n}}{(x)^{(n-1 )}}\\n)f{(x)^{(n)}}={f^{(n)}}(a)+{R_{n}}{(x)^{(n)}} \end{array}}

(Herfra, især, er det klart, at det er en egenskab af den resterende term i enhver form.)

{R_{n}}(a)={R_{n}}(a)'={R_{n}}(a)''=...={R_{n}}{(a) ^{(n)}}=0

Ifølge Lagranges sætning (fordi den svarer til sætningens betingelser) er der sådan et punkt mellem og (det vil sige, det er ikke lig med enten , eller ) at . Herfra . Lad os differentiere den sidste identitet igen med hensyn til og få .

f(x)

\xi

x

-en

\xi

x

-en

f{(x)^{(n)}}-{f^{(n)}}(a)=f{(\xi )^{(n+1)}}(xa)

{R_{n}}{(x)^{(n)}}=f{(\xi )^{(n+1)))(xa)

x

{R_{n}}{(x)^{(n+1)}}=f{(\xi )^{(n+1)))

Lad det resterende led være angivet i skemaet . Så for det første er det og alle dets afledte lig med nul i punktet , og for det andet . Til sidst kan du også lave en variabel substitution: . Formlen er blevet frigivet.

{R_{n}}(x)={\frac {f{{(\xi )}^{(n+1)}}{{(xa)}^{n+1}}}{( n+1)!}}

x=a

{R_{n}}{(x)^{(n+1)}}=f{(\xi )^{(n+1)))

\xi =a+\theta (xa),\qquad 0<\theta <1

I Cauchy form :

R_{n}(x)={(xa)^{n+1}(1-\theta )^{n} \over n!}f^{(n+1)}[a+\theta ( xa)]\qquad p=1;\qquad 0<\theta <1

I integreret form:

R_{n}(x)={1 \over n!}\int \limits _{a}^{x}(xt)^{n}f^{(n+1)}(t)\ ,dt

Konklusion Ved hjælp af integration by parts-metoden opnår vi

{\begin{array}{l}{R_{n}}(x)={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(xt )}^{n}}{f^{(n+1)}}(t)dt}={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{ (xt)}^{n}}d{f^{(n)}}(t)}={\frac {1}{n!}}\left.{\left({{{(xt)}^ {n}}{f^{(n)}}(t)}\right)}\right|_{a}^{x}-{\frac {1}{n!)}}\int \limits _ { a}^{x}{{f^{(n)}}(t)d}{(xt)^{n}}=\\={\frac {1}{(n-1)!}} \ int \limits _{a}^{x}{{{(xt)}^{n-1}}{f^{(n)}}(t)d}t-{\frac {{{(xa ) }^{n}}{f^{(n)}}(a)}{n!}}=...=\int \limits _{a}^{x}{f'(t)d} t -\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(xa)}^{k}}}{k!}}= f (x)-\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(xa)}^{k}}}{k! } }\end{array}}

hvor

f(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)))(a){{(xa)}^{k))} {k!}}+{R_{n}}(x)

Lad os slække på antagelserne:

Lad funktionen have en afledt i et eller andet område af punktet og den th afledede i selve punktet , så: $f(x)$ $n-1$ $-en$ $n$ $-en$

I asymptotisk form ( Peano- form , lokal form):

R_{n}(x)=o[(xa)^{n}]

Konklusion Siden , så kan grænsen for forholdet som tendens til findes af L'Hopitals regel:

{R_{n}}(a)={R_{n}}(a)'={R_{n}}(a)''=...={R_{n}}{(a) ^{(n)}}=0

{\frac {{R_{n}}(x)}{{(xa)}^{n}}}

x

-en

\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)}{{(xa)}^{n}}}=\lim _{x\to a}{\ frac {{R_{n}}(x)'}{\left({{(xa)}^{n}}\right)'}}=\lim _{x\to a}{\frac {{R_ {n}}(x)''}{\left({{(xa)}^{n}}\right)''}}=...=\lim _{x\to a}{\frac { {R_{n}}{{(x)}^{(n)}}}{{\left({{(xa)}^{n}}\right)}^{(n)}}}=\ lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}{{(x)}^{(n)}}}{n!)}}=0

Da grænsen er nul, betyder det, at det resterende led er en infinitesimal funktion af en højere orden end , for . Og dette er definitionen af o-small.

R_{n}(x)

{\displaystyle (xa)^{n))

x\to a

Kriterium for en funktions analyticitet

Antag, at en eller anden funktion skal udvides i en Taylor-serie på et tidspunkt . For at gøre dette skal du først sikre dig, at funktionen er analytisk (det vil sige bogstaveligt talt nedbrydelig) på dette tidspunkt. Ellers bliver det ikke udvidelsen af funktionen til en Taylor-serie, men blot en Taylor-serie, der ikke er lig med dens funktion. Desuden, som det kan ses fra eksemplet med Cauchy-funktionen, kan funktionen være differentierbar på punktet vilkårligt , og dens Taylor-serie med en parameter kan være konvergent, men Taylor-serien er muligvis ikke lig med dens funktion. $f(x)$ $x=a$ $-en$ $-en$

For det første er en nødvendig betingelse for analyticiteten af en funktion konvergensen af Taylor-serien i et eller andet kontinuert område. Faktisk, hvis Taylor-serien konvergerer på kun ét punkt, så er dette pointen , fordi Taylor-serien altid konvergerer på det. Men så er Taylor-serien kun lig med funktionen på dette enkelte punkt, hvilket betyder, at denne funktion ikke vil være analytisk. $x=a$ $f(x)$

For det andet, ifølge Taylor-formlen, kan enhver (ikke kun analytisk) funktion, der er uendeligt differentierbar i et kvarter, der indeholder punktet, udvides til en Taylor-serie med et restled . Lad Taylor-serien med parameteren for en sådan funktion konvergere i dette kvarter. Hvis der er en grænse for hver af to sekvenser, så er grænsen for summen af disse sekvenser lig med summen af deres grænser. Så for alle fra nabolaget , ved hjælp af Taylor-formlen, kan vi skrive , hvor er Taylor-serien. $-en$ $-en$ $x$ $-en$ $\lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }(f(x)-P_{n}(x))=f(x) -\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)$ $\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)$

Det er indlysende, at en funktion er analytisk på et punkt, hvis og kun hvis der i det specificerede område af punktet er et kontinuert område , således at resten af dens ekspansion i henhold til Taylor-formlen har en tendens til nul med stigende : . $f(x)$ $-en$ $-en$ $x$ $x\i X$ $n$ $\lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=0$

Lad os tage en eksponentiel funktion som eksempel . Dens Taylor-serie konvergerer på hele aksen for alle parametre . Lad os nu bevise, at denne funktion er analytisk på alle punkter . ${\displaystyle e^{x))$ $x$ $-en$ $-en$

Den resterende del af udvidelsen af denne funktion i Lagrange-formen har formen , hvor er et tal indesluttet mellem og (ikke vilkårligt, men ikke kendt). Så åbenbart ${R_{n}}(x)={\frac {{(xa)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}$ $\xi _{n}$ $x$ $-en$

\lim _{n\to \infty }{R_{n}}(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {{(xa)}^{n+1}}{ (n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}\leq M\cdot \lim _{n\to \infty }{\frac {{(xa)}^{n+1} }{(n+1)!}}=0

Det bruges her, at eksponenten på et fast interval er begrænset til et eller andet antal $M$

Desuden, som det kan ses, er grænsen for den resterende periode lig med nul for enhver og . $x$ $-en$

Maclaurin-serien af nogle funktioner

Udstiller : $\displaystyle {\mathrm {e}}^{{x}}=1+{\dfrac {x}{1!}}+{\dfrac {x^{2}}{2!}}+{\dfrac { x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}{\dfrac {x^{n}}{n!}}, x\in {\mathbb {C}}$
Naturlig logaritme (" Mercator-serien "): for alle $\displaystyle \ln(1+x)=x-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{3}}{3}}-\cdots =\sum \limits _ {{n=0}}^{{\infty }}{\dfrac {(-1)^{n}x^{{n+1}}}{(n+1)}}=\sum \limits _ {{n=1}}^{{\infty }}{\dfrac {(-1)^{{n-1}}x^{n}}{n}},$ $-1< x\le 1$
Binomial udvidelse : for alle og alle komplekse hvor $\displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\sum \limits _{{n=1}}^({\infty }}{\binom \alpha n}x^{n},$ $\venstre| x\right| < 1$ $\alfa,$ $\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\dfrac {\alpha -k+1}{k}}={\dfrac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!)}}$
- Kvadratrod : for alle $\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\dfrac {x}{2}}-{\dfrac {x^{2}}{8}}+{\dfrac {x^{ 3}}{16}}-{\dfrac {5x^{4}}{128}}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^ {n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n},$ $|x|\leq 1$
- ${\dfrac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots =1+\sum \limits _{n=1}^{\ infty }x^{n},$ for alle $|x| < 1$
- Endelig geometrisk serie: for alle $\displaystyle {\dfrac {1-x^{{m+1}}}{1-x}}=\sum \limits _{{n=0}}^{{m}}x^{n},$ ${\displaystyle x\not =1,\ m\in \mathbb {N} _{0))$
Trigonometriske funktioner :
- Bihule: $\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7} }{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n }x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$
- Cosinus: $\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\sum _{ n=0}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},x\in \mathbb {C}$
- Tangent: for alle hvor er Bernoulli tal $\displaystyle \operatorname {tg}\ x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots =\sum _{{n =1}}^{{\infty }}{\frac {B_{{2n}}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{{ 2n-1}},$ $\venstre|x\højre|<{\dfrac {\pi }{2)),$ $B_{2n}$
- Sekant: for alle hvor er Euler-tallene $\displaystyle \sec x=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{n}E_{{2n}}}{(2n)!}}x ^{{2n}}$ $\venstre|x\højre|<{\dfrac {\pi }{2))$ $E_{2n}$
- Arcsine: for alle [6] $\displaystyle \arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots \ =\sum _{{n=0} }^{{\infty }}{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)))x^{{2n+1}}$ $\venstre|x\højre|\leq 1$
- Arccosine: for alle $\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{{n=0}}^({\infty }}{\frac {(2n) !}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{{2n+1}}$ $\venstre|x\højre|\leq 1$
- Arctangent: for alle $\displaystyle \operatørnavn {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\ sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}$ $\left|x\right|\leq 1$
Hyperbolske funktioner :
- $\operatorname {sh} x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =\sum _{ n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1},x\in \mathbb {C}$
- $\operatorname {ch} x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =\sum _ {n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n},x\in \mathbb {C}$
- $\operatorname {th} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-\cdots =\sum _{n =1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}$ for alle $\venstre|x\højre|<{\dfrac {\pi }{2))$
- $\operatorname {arsh} x=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots \ =\sum _{ n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)))x^{ 2n+1}$ for alle $\venstre| x\right| < 1$
- $\operatorname {arth} x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots =\sum _{n= 0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}$ for alle $\venstre| x\right| < 1$

Taylors formel for en funktion af to variable

Lad funktionen have kontinuerte afledede op til th orden inklusive i et eller andet område af punktet . Vi introducerer differentialoperatoren $f(x,y)$ $(n+1)$ $(x_0, y_0)$

\mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac {\partial} {\partial x}+(y-y_0)\dfrac {\partial} {\partial y}

Så vil udvidelsen (Taylor-formlen) af funktionen i potenser for i et område af punktet have formen $f(x,y)$ ${\displaystyle (x-x_{0})^{p}(y-y_{0})^{q))$ $p+q\leq n$ $(x_0, y_0)$

f(x,y)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac {\mathrm{T}^kf(x_0,y_0)} {k!} + R_n(x,y),

hvor er det resterende led i Lagrange-formen: $R_n(x,y)$

R_n(x,y)=\dfrac {\mathrm{T}^{(n+1)} f(\xi,\zeta)} {(n+1)!},\ \xi \in [x_0,x ],\ \zeta \in [y_0,y]

Bemærk, at operatorerne og kun virker på funktionen , ikke på og/eller . ${\dfrac {\partial }{\partial x))$ ${\dfrac {\partial }{\partial y))$ ${\displaystyle \mathrm {T} ^{k))$ $f(x,y)$ $(x-x_0)$ $(y-y_{0})$

På samme måde er formlen bygget til funktioner af et vilkårligt antal variable, kun antallet af led i operatoren ændres . $\mathrm{T}$

I tilfælde af en funktion af en variabel . $\mathrm {T} =(x-x_{0}){\dfrac {d}{dx}}\,$

Taylor-formel for mange variabler

For at opnå Taylor-formlen for en funktion af variable , som i nogle områder af punktet har kontinuerte afledede op til -. orden inklusive, introducerer vi differentialoperatoren $n$ $f(x_1, x_2, ... x_n)$ $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ $(m+1)$

\mathrm {T} =(x_{1}-a_{1}){\dfrac {\partial }{\partial x_{1))}+(x_{2}-a_{2}){\ dfrac {\partial }{\partial x_{2}}}+...+(x_{n}-a_{n}){\dfrac {\partial }{\partial x_{n}}}.

Så har udvidelsen (Taylor-formlen) af funktionen i potenser i et område af punktet formen $(x_{i}-a_{i})^{k_{i))$ $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$

f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{m}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k }f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{k!}}+R_{m}(x_{1},x_{2},...x_{n }),

hvor er resten af ordren . $R_m(x_1, x_2, ... x_n)$ $(m+1)$

For en funktion af variable, der er uendeligt differentierbar i et eller andet område af punktet , har Taylor-serien formen $n$ $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$

f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k_{1}=0}^{\infty }\sum \limits _{k_{ 2}=0}^{\infty }...\sum \limits _{k_{n}=0}^{\infty }C_{k_{1},k_{2},...k_{n} }(x_{1}-a_{1})^{k_{1}}(x_{2}-a_{2})^{k_{2}}...(x_{n}-a_{n} )^{k_{n}}

hvor

C_{k_{1},k_{2},...k_{n))={\dfrac {1}{k_{1}!k_{2}!...k_{n}!} }{\dfrac {\partial ^{k_{1}+k_{2}+...+k_{n))}{\partial x_{1}^{k_{1))\partial x_{2}^ {k_{2}}...\partial x_{n}^{k_{n}}}}f(x_{1},x_{2},...x_{n})|_{x_{1 }=a_{1},x_{2}=a_{2},...,x_{n}=a_{n}}

Et eksempel på Maclaurins serieudvidelse af en funktion af tre variable

Lad os finde et udtryk for Taylor-seriens udvidelse af funktionen af tre variable , og i nærheden af punktet op til anden orden af lillehed. Operatøren vil se ud $x$ $y$ $z$ $(0,0,0)$ $\mathrm{T}$

\mathrm{T}= x \dfrac {\partial} {\partial x}+ y \dfrac {\partial} {\partial y}+ z \dfrac {\partial} {\partial z}.

Udvidelsen i en Taylor-serie kan skrives som

f(x,y,z)=\sum \limits _{k=0}^{2}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f_{0}}{k!)}} + R_{2}(x,y,z)=

=\left(1+T+{\frac {T^{2}}{2}}\right)f_{0}+R_{2}(x,y,z);

I betragtning af det

T^2 = x^2 \dfrac {\partial^2} {\partial x^2}+ y^2 \dfrac {\partial^2} {\partial y^2}+ z^2 \dfrac {\partial ^2} {\partial z^2} + 2xy \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial y} + 2xz \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial z}+ 2yz \dfrac {\partial^2} {\partial y \partial z},

vi får

f(x,y,z)=f_{0}+x{\dfrac {\partial f_{0}}{\partial x}}+y{\dfrac {\partial f_{0}}{\ partial y))+z{\dfrac {\partial f_{0)){\partial z))+{\frac {x^{2)){2)){\dfrac {\partial ^{2}f_{ 0}}{\partial x^{2}}}+{\frac {y^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial y^{2 ))}+{\frac {z^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial z^{2}}}+

+xy{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x\partial y}}+xz{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x \partial z}}+yz{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial y\partial z}}+R_{2}(x,y,z).

For eksempel kl . $f(x,y,z)=e^{x+y+z}$

f(x,y,z)=1+x+y+z+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {y^{2}}{2}}+{ \frac {z^{2}}{2}}+xy+xz+yz+R_{2}(x,y,z).

Noter

↑ Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), side 21-23 (Proposition VII, sætning 3, konsekvens 2). Oversat til engelsk i DJ Struik, A Source Book in Mathematics 1200-1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), side 329-332.
↑ Gupta RC Madhava-Gregory-serien, Math. Uddannelse 7 (1973), B67-B70.
↑ Zaporozhets G. I. "Guide til løsning af problemer i matematisk analyse" - S. 371
↑ N.S. Piskunov. Differential- og integralregning. - Mithril, 1996. - S. Bind 1, kapitel 4, afsnit 6.
↑ N.S. Piskunov. Differential- og integralregning for tekniske gymnasier. - trettende. - MOSKVA "NAUKA", 1985. - S. Bind 2, kapitel 16, afsnit 16.
↑ Med en værdi på x tæt på 1 giver denne beregningsformel en stor fejl. Derfor kan du bruge formlen hvor $\arcsin x = \arccos \sqrt{1-x^2},$ $\arccos x = {\pi\over 2}-\arcsin x$

Litteratur

Ilyin V. A., Sadovnichiy V. A., Sendov B. Kh. Matematisk analyse, del 1, udg. 3, udg. A. N. Tikhonov. M.: Prospekt, 2004.
Kamynin L. I. Matematisk analyse. T. 1, 2. - 2001.
Kiselev V. Yu., Pyartli A. S., Kalugina T. F. Højere matematik. Første semester, interaktiv computer lærebog.
Markushevich AI teori om analytiske funktioner. I 2 bind - Udg. 2. — M .: Nauka , 1967 . - Vol. 1: Teoriens begyndelse. — 486 s.
Narasimhan R. Analyse af reelle og komplekse manifolder. - pr. fra engelsk. E. M. Chirki. — M .: Mir , 1971 . — 232 s.
Petrova S. S., Romanovska D. A. Om historien om opdagelsen af Taylor-serien. // Historisk og matematisk forskning . - M . : Nauka , 1980. - Nr. 25 . - S. 10-24 .
Piskunov N. S. Differential- og integralregning for tekniske gymnasier. I 2 bind - Udg. 13. - M .: Nauka, Hovedudgave af fysisk og matematisk litteratur , 1985 . - T. 1. - 432 s.
Piskunov N. S. Differential- og integralregning for tekniske gymnasier. I 2 bind - Udg. 13. - M .: Nauka, Hovedudgave af fysisk og matematisk litteratur , 1985 . - T. 2. - 560 s.
Fikhtengol'ts G. M. Forløb af differential- og integralregning. I 3 bind - Udg. 8. — M .: FIZMATLIT , 2003 . - T. I. - 680 s. — ISBN ISBN 5-9221-0156-0 .

Sekvenser og rækker
Sekvenser	Numerisk rækkefølge Grundlæggende rækkefølge Lineær tilbagevendende sekvens Fibonacci-tal krøllede tal Faktoriel Barker-sekvens de bruijn rækkefølge
Rækker, grundlæggende	Rækkesum Resten af rækken Betinget konvergens Skiftende serie Række multisektion
Talserier ( operationer med talserier )	harmoniske serier Leibniz-serien En række omvendte firkanter En række gensidige primtal Dirichlet række Mercator serien Række Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionelle rækker	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serien Trigonometrisk Fourier-serie trigonometriske serier Wiener-serien
Andre rækketyper	Neumann-serien Puiseux række

Differentialregning

Hoved

private udsigter

Differentialoperatorer
( i forskellige koordinater )

Første ordre	Nabla operatør Gradient Divergens Rotor Helmholtzian
anden orden	Elliptisk operatør Laplace operatør Laplace vektor operatør D'Alembert operatør Laplace-Beltrami operatør
højere ordrer	Hypoelliptisk operatør

relaterede emner