Newton-Leibniz sætning

Newton-Leibniz-formlen eller den grundlæggende analysesætning giver sammenhængen mellem to operationer: at tage Riemann-integralet og beregne antiderivatet .

Ordlyd

Den klassiske formulering af Newton-Leibniz-formlen er som følger.

Hvis en funktion er kontinuert på et segment og er en af dens antiderivater på dette segment, så er ligheden $\tekststil f(x)$ $\venstre[a,b\højre]$ $\textstyle \Phi (x)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)={\Bigg .}\Phi (x){\Bigg |} _{a}^{b}

Bevis

Lad en integrerbar funktion gives på segmentet . $\venstre[a,b\højre]$ $\tekststil f$

Lad os indstille en vilkårlig værdi og definere en ny funktion . Det er defineret for alle værdier af , fordi vi ved, at hvis der er et integral af on , så er der også et integral af on , hvor . Husk på, at vi betragter per definition $\tekststil x\i \venstre[a,b\højre]$ $\textstyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$ $\tekststil x\i \venstre[a,b\højre]$ $\tekststil f$ $\venstre[a,b\højre]$ $\tekststil f$ $\venstre[a,x\højre]$ $a\leqslant x\leqslant b$

$F(a)=\int \grænser _{a}^{a}f(t)\,dt=0$ (en)

Læg mærke til det

$F(b)=\int \grænser _{a}^{b}f(t)\,dt$

Lad os vise, at det er kontinuerligt på segmentet . Sandelig, lad ; derefter $\tekststil F$ $\venstre[a,b\højre]$ $x,x+h\i\venstre[a,b\højre]$

$F(x+h)-F(x)=\int \limits _{a}^{{(x+h)}}f(t)\,dt-\int \limits _{a}^{x} f(t)\,dt=\int \grænser _{x}^{{(x+h)}}f(t)\,dt$

og hvis , så $K=sup|f(t)|,a\leqslant t\leqslant b$

$|F(x+h)-F(x)|\leqslant {\bigg |}\int \limits _{x}^{{(x+h)))f(t)\,dt{\bigg |} \leqslant K|h|\til 0,h\til 0$

Er således kontinuerlig tændt , uanset om den har diskontinuiteter eller ej; det er vigtigt, at det er integrerbart på . $\tekststil F$ $\venstre[a,b\højre]$ $\tekststil f$ $\tekststil f$ $\venstre[a,b\højre]$

Figuren viser en graf . Arealet af det variable tal er . Dens stigning er lig med arealet af figuren , som på grund af begrænsningen af , åbenbart har en tendens til nul ved, uanset om det er et punkt med kontinuitet eller diskontinuitet , for eksempel et punkt .

\tekststil f

\tekststil aABx

\tekststil F(x)

\tekststil F(x+h)-F(x)

\tekststil xBC(x+h)

\tekststil f

h\ til 0

\tekststil x

\tekststil f

\tekststil xd

Lad nu funktionen ikke kun være integrerbar på , men være kontinuerlig på punktet . Lad os bevise, at så har en afledt på dette tidspunkt lig med $\tekststil f$ $\venstre[a,x\højre]$ $x\i\venstre[a,x\højre]$ $\tekststil F$

$\tekststil F'(x)=f(x)$ (2)

Faktisk for det givne punkt $\tekststil x$

${\dfrac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}f(t )\,dt={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}(f(x)+\eta (t))\,dt$ $={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}f(x)\,dt+{\dfrac {1}{h}}\int \limits _{ x}^{{x+h}}\eta (t)\,dt=f(x)+o$ (1), (3) $h\ til 0$

Vi sætter , og da konstanten er i forhold til , så . Yderligere, på grund af kontinuiteten på punktet , for enhver kan specificere sådan , at for . $\tekststil f(t)=f(x)+\eta (t)$ $\tekststil f(x)$ $\tekststil t$ $\textstyle \int \limits _{x}^{{x+h}}f(x)\,dt=f(x)h$ $\tekststil f$ $\tekststil x$ $\tekststil \varepsilon >0$ $\tekststil \delta$ $\tekststil |\eta (t)|<\varepsilon$ $\tekststil |xt|<\delta$

Derfor

$\left|{\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{{x+h}}\eta (t)\,dt\right|\leqslant {\dfrac {1}{| h|}}|h|\varepsilon =\varepsilon ,|h|<\delta$

hvilket beviser, at venstre side af denne ulighed er o(1) for . $\tekststil h\til 0$

Overgang til grænsen i (3) ved viser eksistensen af den afledte af ved punktet og gyldigheden af lighed (2). Her taler vi om henholdsvis højre og venstre derivater. $\tekststil h\til 0$ $\tekststil F$ $\tekststil x$ $\tekststil x=a,b$

Hvis en funktion er kontinuerlig på , så, baseret på det, der blev bevist ovenfor, den tilsvarende funktion $\tekststil f$ $\venstre[a,b\højre]$

$F(x)=\int \grænser _{a}^{x}f(t)\,dt$ (fire)

har en afledt lig med . Derfor er funktionen antiderivativ for on . $\tekststil f(x):F'(x)=f(x),a\leqslant x\leqslant b$ $\tekststil F(x)$ $\tekststil f$ $\venstre[a,b\højre]$

Denne konklusion kaldes nogle gange den variable øvre grænse integralsætning eller Barrows sætning .

Vi har bevist, at en vilkårlig kontinuert funktion på et interval har en antiderivativ på dette interval, defineret ved lighed (4). Dette beviser eksistensen af et antiderivat for enhver funktion kontinuert på et interval. $\venstre[a,b\højre]$ $\tekststil f$

Lad nu være en vilkårlig antiderivat af en funktion på . Vi ved det , hvor er en konstant. Forudsat i denne lighed og under hensyntagen til det opnår vi . $\tekststil \Phi$ $\tekststil f(x)$ $\venstre[a,b\højre]$ $\tekststil \Phi (x)=F(x)+C$ $\tekststil C$ $\tekststil x=a$ $\tekststil F(a)=0$ $\tekststil \Phi (a)=C$

Således ,. Men $\tekststil F(x)=\Phi (x)-\Phi (a)$

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)$

Derfor

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)=\Phi (x){\bigg |}{\begin{matrix }x=b\\\\x=a\end{matrix}}$

Men faktisk er kravet om integrandens kontinuitet overflødigt. For at opfylde denne formel er det tilstrækkeligt kun eksistensen af venstre og højre del.

Hvis en funktion er integrerbar og har en antiderivativ på segmentet , — enhver af dens antiderivativer på dette segment, så er ligheden $\tekststil f(x)$ $\venstre[a,b\højre]$ $\textstyle \Phi (x)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)={\Bigg .}\Phi (x){\Bigg |} _{a}^{b}

Kontinuitet er en praktisk betingelse i praksis, da den umiddelbart garanterer både integrerbarhed og eksistensen af et antiderivat. I mangel af det, for den korrekte anvendelse, er det nødvendigt at kontrollere begge disse egenskaber, hvilket nogle gange er svært. Der er integrerbare funktioner, der ikke har en antiafledt (enhver funktion med et endeligt antal diskontinuitetspunkter eller en Riemann-funktion ), og ikke-integrerbare, der har en antiafledt (afledet suppleret med nul ved nul, på ethvert segment, der indeholder 0, eller Volterra-funktionen ). ${\displaystyle x^{2}\sin {\frac {1}{x^{2))))$

Formlen kan generaliseres til tilfældet med funktioner med et begrænset antal diskontinuiteter. For at gøre dette er vi nødt til at generalisere begrebet antiderivat. Lad funktionen være defineret på et segment undtagen måske et begrænset antal punkter. En funktion kaldes generaliseret antiderivat , hvis den: $f$ $[a;b]$ $F$ $f$

Kontinuerlig på et segment $[a;b]$
På alle punkter , med mulig undtagelse af et endeligt antal af dem, er differentierbar $[a;b]$
På alle punkter, hvor den er differentierbar, undtagen måske et endeligt antal af dem, er dens afledte . $f$

Denne definition kræver ikke, at den afledte er ens på alle punkter, hvor den er differentierbar. Med dette koncept kan man generalisere Newton-Leibniz formlen endnu stærkere. $F$ $f$ $F$

Lad det være defineret overalt undtagen måske et begrænset antal punkter. Hvis en funktion er integrerbar og har en generaliseret antiderivat på segmentet , — enhver af dens generaliserede antiderivater på dette segment, så er ligheden $f$ $[a;b]$ $\tekststil f(x)$ $\venstre[a,b\højre]$ $F(x)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)={\Bigg .}F(x){\Bigg |}_{a }^{b}

Bevis

Da funktionen er integrerbar, kan man overveje enhver sekvens af skillevægge med markerede punkter, hvis diameter har en tendens til nul. Grænsen for integrale summer over dem vil være lig med integralet. $f$

Overvej en sekvens af partitioner af et segment , således at diameteren af partitionen har en tendens til nul som . Lad os også inkludere i hver af disse partitioner de punkter i segmentet , hvor der ikke er differentiable eller dets afledte er ikke lig med . Med disse yderligere opdelingspunkter skal du angive . $[a;b]$ $\{T_{n}\}$ $n\to +\infty$ $[a;b]$ $F$ $f$ $T_{n}'$

Lad os nu sætte markerede punkter på dem. Vi fikser en specifik partition . Så, ved antagelse, er funktionen kontinuerlig på hvert af segmenterne og differentierbar på intervallerne . Betingelserne for Lagranges sætning er opfyldt, og derfor er der et sådant punkt , at . Vi tager disse punkter som de markerede splitpunkter . Så vil integralsummen over en sådan partition være lig med . $T_{n}=\{a=x_{0},\ldots ,x_{n}=b\}$ $F$ $[x_{i-1};x_{i}]$ $(x_{i-1};x_{i})$ $\xi _{i}\in (x_{i-1};x_{i})$ $f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})=F(x_{i})-F(x_{i-1})$ $\Xi _{n}=(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})$ $T_{n}'$ $:\sigma (f,T_{n}',\Xi _{n})=f(\xi _{1})(x_{1}-x_{0})+f(\xi _{ 2})(x_{2}-x_{1})+\ldots +f(\xi _{n})(x_{n}-x_{n-1})=-F(x_{0})+ F(x_{1})-F(x_{1})+F(x_{2})-\ldots -F(x_{n-1})+F(x_{n})=F(x_{n })-F(x_{0})=F(b)-F(a)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dt=\lim _{n\to +\infty }\sigma (f,T_{n}',Xi_{n}) =F(b)-F(a)

Ovenstående bevis er interessant, idet det ikke brugte nogen af integralets egenskaber, bortset fra dets direkte definition. Det giver dog ikke et bevis for Newton-Leibniz-formlen i den klassiske formulering: for dette er det nødvendigt yderligere at bevise, at enhver kontinuert funktion er integrerbar og har et antiderivat.

Bemærkning . Tankeløst at anvende en formel på funktioner, der ikke er kontinuerte, kan føre til en fejl. Et eksempel på en forkert beregning:

\int \limits _{-1}^{1}{\frac {dx}{x^{2}}}=-{\frac {1}{x}}{\bigg |}_{- 1}^{1}=-1-1=-2,

selvom integralet af en positiv funktion ikke kan være negativt.

Årsag til fejlen: Funktionen er ikke antiderivativ (selv generaliseret) for en funktion på et segment , simpelthen fordi den ikke er defineret ved nul. Funktionen har ingen antiderivativ overhovedet på dette segment. Desuden er denne funktion heller ikke afgrænset i nærheden af nul, og er derfor ikke Riemann-integrerbar. $-{\frac {1}{x}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x^{2))))$ $[-1;1]$

Historie

Allerede før fremkomsten af matematisk analyse var denne teorem (i en geometrisk eller mekanisk formulering) kendt af Gregory og Barrow . For eksempel beskrev Barrow denne kendsgerning i 1670 som et forhold mellem kvadrat- og tangentopgaver .

Newton formulerede sætningen verbalt som følger: "For at opnå den korrekte værdi af området, der støder op til en del af abscissen , skal dette område altid tages lig med forskellen i værdierne af z [antiafledt] svarende til delene af abscissen afgrænset af begyndelsen og slutningen af området."

Leibniz har heller ikke en optegnelse over denne formel i sin moderne form, eftersom notationen af et bestemt integral dukkede op meget senere, i Fourier i begyndelsen af det 19. århundrede.

Den moderne formulering blev givet af Lacroix i begyndelsen af det 19. århundrede.

Betydning

Den grundlæggende analysesætning etablerer en sammenhæng mellem differential- og integralregning . Begrebet en antiafledt (og dermed begrebet et ubestemt integral) defineres gennem begrebet en afledt og hører dermed til differentialregningen. På den anden side er begrebet et bestemt Riemann-integral formaliseret som en grænse, hvortil den såkaldte integral sum konvergerer. Den er uafhængig af begrebet en afledt og tilhører en anden analysegren - integralregning. Newton-Leibniz formlen giver os mulighed for at udtrykke et bestemt integral i form af antiderivatet.

Lebesgue integral

Funktionen er et ubestemt integral af den summerbare funktion . Funktionen er absolut kontinuerlig . $F(x):=C+\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$ $f(x)$ $F(x)$

Sætning ( Lebesgue ): er absolut kontinuert på et interval, hvis og kun hvis der findes en integrerbar på en funktion sådan, at for enhver værdi af x fra a til b . $f(x)$ $[a,b]$ $[a,b]$ $g$ $f(x)=f(a)+\int \limits _{a}^{x}g(t)dt$

Det følger af denne teorem, at hvis en funktion er absolut kontinuert på , så eksisterer dens afledte næsten overalt , er integrerbar og opfylder ligheden [1] : $f$ $[a,b]$

f(x)=f(a)+\int \limits _{a}^{x}f'(t)dt

, hvor .

x\i[a,b]

Nogle konsekvenser

Som følge af denne sætning kan man nævne formlen for ændringen af variable, samt Lebesgues ekspansionssætning for monotone funktioner [1] .

Integration efter dele

Lad og være absolut kontinuerlige funktioner på segmentet . Derefter: $f$ $g$ $[a,b]$

\int \limits _{a}^{b}f'(x)g(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int \limits _{ a}^{b}f(x)g'(x)dx

Formlen følger umiddelbart af analysens hovedsætning og Leibniz-reglen [1] .

Variationer og generaliseringer

Se også

Noter

↑ 1 2 3 Bogachev V. I. , Smolyanov O. G. Virkelig og funktionel analyse: universitetskursus. - M.-Izhevsk: Forskningscenter "Regular and Chaotic Dynamics", Institute of Computer Research, 2009. - S. 188-197. — 724 s. - ISBN 978-5-93972-742-6 .

Litteratur

Demidovich B. P. Afdeling 3. Newton-Leibniz-formlen // Samling af problemer og øvelser i matematisk analyse. - 1990. - (Kursus i højere matematik og matematisk fysik).
Kamynin L. I. Matematisk analyse. T. 1, 2. - 2001.
Nikiforovsky V. A. Vejen til integralet. — M .: Nauka, 1985.