Liouvilles sætning om afgrænsede hele analytiske funktioner

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. september 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Liouvilles sætning om afgrænsede hele analytiske funktioner: hvis en hel funktion af komplekse variable er afgrænset, dvs. $f(z)$ $z=(z_{1},\dots ,z_{n})$

|f(z)|\leqslant M<\infty ,

altså en konstant. $f(z)$

Generaliseringer

If er en hel funktion i , og for nogle $f(z)$ ${\mathbb C}^{n}$ $r\in \mathbb {R}$

|f(z)|\leqslant C(1+|z|^{r}),

det vil sige et polynomium i variabler af højst grad .

f(z)

(z_{1},\dots,z_{n})

r

Hvis er en reel harmonisk funktion i hele talrummet , $u(x)$ $\mathbb {R} ^{n}$

u(x)<C(1+|x|^{r}),

altså et harmonisk polynomium i variablerne.

u(x)

Historie

Dette forslag, en af de grundlæggende i teorien om analytiske funktioner , blev tilsyneladende først offentliggjort i 1844 af Cauchy for sagen . Liouville forklarede det i forelæsninger i 1847 , deraf navnet. $n=1$

Bevis (for sagen ) ${\mathbb C}^{1}$

Lad være afgrænset på det komplekse plan , dvs. $f(z)$

\exists M\,\forall z\,|f(z)|\leqslant M.

Vi bruger Cauchy-integralformlen for derivatet : $f(z)$

f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C_{R}}{\frac {f(\xi)}{(\xi -z) ^{2}}}\,d\xi ,

hvor er en cirkel med radius , der indeholder punktet , eller . $C_{R}$ $R$ $z$ $|\xi -z|=R$

Vi har

|f'(z)|\leqslant {\frac {1}{2\pi }}{\frac {M}{R^{2}}}2\pi R={\frac {M}{ R}}.

Derfor, på grund af det faktum, at Cauchy-integralformlen er gyldig for enhver kontur, har vi , og derfor og derfor er en konstant. Sætningen er blevet bevist. $\lim _{R\to \infty }{\frac {M}{R}}=0$ $f'(z)=0$ $f(z)$