Fundamental restsætning

Basic Residue Theorem er et kraftfuldt værktøj til at beregne integralet af en meromorf funktion over en lukket kontur. Det bruges også ofte til at beregne reelle integraler. Det er en generalisering af Cauchy-integralsætningen og Cauchy- integralformlen .

Udsagn: Hvis en funktion er analytisk i et lukket , simpelt forbundet domæne , bortset fra et endeligt antal entalspunkter , hvoraf ingen hører til grænsekonturen , så er følgende formel gyldig: $f$ $\overline G\subset {\mathbb C}$ $a_{1},a_{2},\dots,a_{n}$ $\delvis G$

~\int \limits _{\partial G}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\mathop {\mathrm {res}} _{z =a_{k}}f(z),

hvor er resten af funktionen i punktet . ${\mathop {{\mathrm {res}}}}_{{z=a_{k}}}f$ $f$ $a_{k}$

Løkken føres mod uret. For at bruge sætningen i beregningen af reelle integraler er det nødvendigt analytisk at udvide den integrerbare reelle funktion til det komplekse plan og finde dets rester, hvilket normalt er ret simpelt at gøre. Derefter er det nødvendigt at lukke integrationskonturen ved at tilføje til det reelle segment en halvcirkel, der ligger i det øvre eller nedre komplekse halvplan. Derefter kan integralet over denne kontur beregnes ved hjælp af hovedrestsætningen. Ofte kan integralet over en halvcirkel tendere til 0 ved at vælge det på den rigtige måde, hvorefter konturintegralet bliver lig med det rigtige. $\delvis G$

Eksempel

Integral

~\int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx

opstår i sandsynlighedsteorien ved beregning af den karakteristiske funktion af Cauchy-fordelingen og kan ikke beregnes med konventionelle metoder. Lad os beregne det gennem integralet over konturen vist på figuren ( ). Integralet er $C$ $a>1$

~\int \limits _{C}{f(z)}\,dz=\int \limits _{C}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz.

Da det er en hel funktion (der er ingen singulariteter på det komplekse plan), har funktionen kun singulariteter på punkter, hvor . Da dette kun er muligt med eller . Kun et af disse punkter ligger inden for konturen. $e^{{itz}}$ $z^{2}+1=0$ $z^{2}+1=(z+i)(zi)$ $z=i$ $z=-i$

${\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}$	${}={\frac {e^{itz}}{2i}}\left({\frac {1}{zi}}-{\frac {1}{z+i}}\right)$
	${}={\frac {e^{itz}}{2i(zi)))-{\frac {e^{itz}}{2i(z+i))),$