Monogen funktion

En funktion siges at være monogen (eller differentierbar i betydningen kompleks analyse ) på et punkt, hvis grænsen $f\colon {\mathbb {C}}\to {\mathbb {C}}$ $z_{0}\in {\mathbb {C}}$

\lim _{{z\to z_{0}}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}

eksisterer og er den samme for at nærme sig et punkt langs en vilkårlig vej. Nøglerollen i dette spilles af den såkaldte Cauchy-Riemann-tilstand . En funktion, der er monogen i et område af et punkt , kaldes holomorf på det punkt. En funktion, der er monogen på alle punkter i et åbent domæne , siges at være holomorf i dette domæne. $z$ $z_{0}$ $z_{0}\in {\mathbb {C}}$ $D\subseteq \mathbb {C}$

En funktion kaldes polygen , hvis en sådan grænse afhænger af stien og har uendeligt mange værdier. Det kan påvises, at en funktion med kompleks værdi kan være enten monogen eller polygen, og tilfældet med eksistensen af et begrænset antal forskellige værdier af denne grænse er udelukket.

Eksempel. Funktionen er monogen ved nul: $f(z)=z$

\lim _{{z\to 0}}{\frac {z-0}{z-0}}=1,

og funktionen er polygen: $f(z)=\overline z$

\lim _{z\to 0}{\frac ({\overline {z))-0}{z-0))=\lim _{z\to 0}{\frac {|z|e ^{-i\phi }}{|z|e^{i\phi }}}=e^{-2i\phi },

eller

\lim _{z\to 0}{\frac {{\overline {z}}-0}{z-0}}=\operatørnavn {sgn} ^{-2}z,

hvor φ er argumentet for tallet z − 0, og sgn er den komplekse fortegnsfunktion af , som tager en værdi, hvis modul altid er enhed.

Se også

Litteratur

Bitsadze A.V. Fundamentals af teorien om analytiske funktioner af en kompleks variabel - M., Nauka, 1969.
Shabat B.V., Introduktion til kompleks analyse - M., Nauka, 1969.