Selvberøringspunkt

I klassisk geometri er et selvkontaktpunkt ( engelsk tacnode ) eller en dobbeltspids [1]  en slags entalspunkt [2] . Defineret som det punkt, hvor to (eller flere) sammenhængende buede cirkler rører ved det punkt . Det betyder, at to grene af kurven har samme tangent i dobbeltpunktet [1] .  

Det kanoniske eksempel er kurven

Et andet eksempel på et selvberøringspunkt er kurven vist på figuren, som har ligningen

Nogle generaliseringer

Overvej en jævn funktion med reel værdi af to variable, f.eks. f ( x ,  y ), hvor x og y  er reelle tal . Så f kortlægger flyet til en linje. Gruppen af ​​plane diffeomorfismer og linjediffeomorfismer virker på rummet af alle sådanne glatte funktioner, det vil sige, diffeomorfismer ændrer koordinater både i definitionsdomænet og i værdidomænet . Denne handling opdeler hele rummet af funktioner i ækvivalensklasser , det vil sige gruppehandlingens kredsløb .

En sådan familie af ækvivalensklasser er betegnet A k ± , hvor k  er et ikke-negativt heltal. Betegnelsen blev indført af V. I. Arnold [3] . En funktion f siges at have en singularitet af typen A k ± , hvis den ligger på kredsløbet x 2  ±  y k +1 , det vil sige, at der er en diffeomorf koordinattransformation i definitionsdomænet og i området for værdier, der tager f ind i en af ​​disse former. Disse simple former x 2  ±  y k +1 siges at definere normale former for singulariteter af typen A k ± .

En kurve med ligningen f = 0 vil have et selvkontaktpunkt ved origo, hvis og kun hvis f har en singularitet af typen A 3 − ved origo.

Bemærk, at kurvens selvskæringspunkt ( x 2  −  y 2 = 0) svarer til A 1 − -singulariteten. Selvkontaktpunktet svarer til A 3 − -singulariteten. Faktisk svarer enhver singularitet af typen A 2 n +1 − , hvor n ≥ 0 er et heltal, til en selvskærende kurve. Efterhånden som værdien stiger, stiger rækkefølgen af ​​selvskæring – tværsnit, simpel tangens og så videre.

Singulariteter af type A 2 n +1 + for reelle tal er uden interesse - de svarer alle til isolerede punkter. I komplekse tal er singulariteterne A 2 n +1 + og A 2 n +1 − ækvivalente — ( x , y ) → ( x , iy ) giver den nødvendige diffeomorfi af normale former.

Se også

Noter

  1. ↑ 12 Steven Schwartzman . The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English . - Mathematical Association of America , 1994. - S. 217 . — ISBN 9780883855119 .
  2. ↑ Shikin, Frank-Kamentsky, 1997 .
  3. ↑ V. I. Arnold, A. N. Varchenko, S. M. Gusein-Zade. Singulariteter af differentierbare kortlægninger. - M . : Nauka, 1982. - S. 143-144.

Litteratur

Links