Konvergens tegn

I matematik er tegnet på konvergensen af en talserie en metode, der giver dig mulighed for at etablere konvergensen eller divergensen af en uendelig række:

a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}+\ldots \quad

Kort indlæg:

\sum _{{n=1}}^{{\infty }}a_{n}

Her er en sekvens af reelle eller komplekse tal ; disse tal kaldes termer i rækken . $a_{1},a_{2},a_{3}\dots$

En nødvendig betingelse for konvergens af serier

Hvis grænsen for et medlem af serien ikke eksisterer eller ikke er lig med nul med vækst, så divergerer serien [1] . $n$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n))$

Derfor er betingelsen nødvendig (men ikke tilstrækkelig) for seriens konvergens. Med andre ord, hvis denne betingelse ikke er opfyldt, så divergerer rækken bestemt, men hvis den er opfyldt, så er der ingen garanti for, at rækken konvergerer - se for eksempel den harmoniske række . $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$

De vigtigste tegn på konvergens

Serier med ikke-negative medlemmer

Serier med ikke-negative medlemmer kaldes også positive [2] eller blot positive [3] .

Konvergenskriterium for serier med positivt fortegn

En fortegn-positiv serie konvergerer , hvis og kun hvis rækkefølgen af dens partielle summer er afgrænset ovenfra [4] . $\sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k}$ ${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k))$

Tegn på sammenligning med majorant

En konklusion om konvergensen eller divergensen af en serie kan laves på grundlag af dens term-for-term sammenligning med en anden serie (" majorant "), hvis adfærd allerede er kendt [4] .

Lad to serier af positive tegn gives: og . Hvis, startende fra et tal ( ), er følgende ulighed sand: , så [5] : $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $n>N$ $0\leqslant a_{n}\leqslant b_{n}$

fra seriens konvergens følger seriens konvergens ; $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$
seriens divergens indebærer også seriens divergens . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$

Følge for serier med termer af et vilkårligt tegn:

Hvis serien konvergerer absolut og starter fra et eller andet tal alt , så konvergerer serien absolut. $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $|a_{n}|\leqslant |b_{n}|$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Eksempel [6] . Lad os bevise konvergensen af rækken af inverse kvadrater :

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots

Til det kan du ved siden af majorant vælge en serie:

1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{4\cdot 5}}+\cdots

Delsummen af denne serie kan repræsenteres som:

S_{n}=1+\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{ 3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \ +\left({\frac {1}{n -1))-{\frac {1}{n}}\right)=2-{1 \over n}

Derfor konvergerer serien, og dens sum er lig med 2. Derfor konvergerer rækken af omvendte kvadrater ifølge sammenligningstesten til et vist tal i intervallet . $(1,2)$

Tegn på Raabe

Dette tegn er stærkere end d'Alemberts tegn og Cauchys radikale tegn [7] .

Hvis der er en grænse for serien : $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

R=\lim _{n\to \infty }n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right),

derefter for , serien konvergerer, og for , den divergerer. Hvis , så tillader denne funktion os ikke at drage en sikker konklusion om konvergensen af serien [8] . $R>1$ $R<1$ $R=1$

Cauchy-Maclaurin integral test

Denne funktion giver dig mulighed for med fuld sikkerhed at bestemme, om serien konvergerer eller divergerer.

Lad funktionen være defineret for , være ikke-negativ, falde monotont , og . $f(x)$ $x\geqslant 1$ ${\displaystyle f(n)=a_{n))$

Så serien og ukorrekt integral: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

\int \limits _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int \limits _{1}^{t}f(x) \,dx

konvergere eller divergere samtidigt [9] .

Eksempel [10] . Lad os finde ud af konvergensen af serien for Riemann zeta-funktionen (i det virkelige tilfælde):

{\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\ frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\dots

Til det har den genererende funktion formen: . Lad os beregne integralet: ${\displaystyle 1/x^{s))$

\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{s))}\,dx={\frac {1}{s-1)),

hvis , eller hvis Konklusion: denne serie konvergerer ved og divergerer ved .

s>1

\infty ,

s\leqslant 1.

s>1

s\leqslant 1

Gaussisk tegn

Lad relationen for en positiv fortegnsserie være repræsenteret som: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ ${\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}$

{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=\lambda +{\frac {\mu }{n}}+{\frac {\theta _{n}}{n ^{2}}},

hvor er konstanter og rækkefølgen er afgrænset. Derefter [11] : $\lambda ,\mu$ $\{\theta _{n}\}$

serien konvergerer, hvis enten $\lambda >1,$ $\lambda =1,\mu >1;$
serien divergerer, hvis enten $\lambda <1,$ $\lambda =1,\mu \leqslant 1.$

Kummer tegn

Kummers test er en ekstrem generel og fleksibel test til konvergens af serier med positive termer. Faktisk er det et skema til at konstruere specifikke funktioner [12] .

Lad en positiv-tegn-række og en sekvens af positive tal være givet sådan, at rækken divergerer. $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\{c_{n}\}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$

Hvis, med udgangspunkt i et tal, gælder følgende ulighed:

K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}\geqslant \delta ,

hvor . er en positiv konstant, så konvergerer rækken . $\delta$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Hvis man starter med et tal, så divergerer rækken. $K_{n}\leqslant 0,$

Oftere i praksis bruges den begrænsende form af Kummers test: så finder vi i tilfælde af, at rækken konvergerer, og hvornår den divergerer. $K=\lim _{n\to \infty }K_{n},$ $K>0$ $K<0$

En række andre tegn er hentet fra Kummers tegn:

Hvornår - et tegn på d'Alembert ; $c_{n}=1$
Når - et tegn på Raabe ; $c_{n}=n$
Hvornår er et tegn på Bertrand . $c_{n}=n\,{\mathrm {ln))\,n$

Skiftende serie

Tegnvariable serier er serier, hvis medlemmer kan være både positive og negative.

Tegn på d'Alembert

Denne funktion er også kendt som d'Alemberts kriterium . Den er enklere end Cauchy-testen, men svagere - hvis d'Alembert-testen virker, så virker Cauchy-testen altid, men der er serier, som Cauchy-testen er anvendelig til, og d'Alembert-testen giver ikke resultater [13 ] .

Hvis det findes, så: $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r,$

hvis så rækken konvergerer absolut ; $r<1,$
hvis så rækken divergerer; $r>1,$
hvis , så tillader denne funktion os ikke at drage en sikker konklusion om seriens konvergens. $r=1$

Eksempel [14] . Undersøg konvergensen af serien , hvor Beregn grænsen: $\sum _{n=1}^{\infty }n!\left({\frac {x}{n}}\right)^{n},$ $x>0.$

r=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty } {\frac {n^{n}x}{(n+1)^{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x}{(1+1/n)^{ n}}}={\frac {x}{e}}

Følgelig konvergerer rækken ved og divergerer ved Sagen bør behandles separat; verifikation viser, at så falder seriens vilkår ikke ( , derfor ), så serien i dette tilfælde divergerer. $x<e$ $x>e.$ $x=e$ $(1+1/n)^{n}<e$ ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}>1,$

Cauchys radikale tegn

Hvis det findes, så: $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}}|}}=r,$

hvis så rækken konvergerer, og absolut ; $r<1,$
hvis så rækken divergerer; $r>1,$
hvis , så tillader denne funktion ikke at drage en sikker konklusion om konvergensen af serien [15] . $r=1$

Cauchy-testen er mere kompliceret, men stærkere end d'Alembert-testen: hvis d'Alembert-testen bekræfter seriens konvergens eller divergens, så gør Cauchy-testen det samme, men det modsatte er ikke sandt [16] .

Eksempel [17] . Lad os undersøge serien , hvor er en sekvens af positive tal, og $\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {C}{a_{n))}\right)^{n},$ $C>0,\{a_{n}\}$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A.$

r=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\left({\frac {C}{a_{n))}\right)^{n))}= \lim _{n\to \infty }{\frac {C}{a_{n}}}={\frac {C}{A}}.

Ifølge Cauchys test er tre tilfælde mulige.

Hvis derefter ved , serien konvergerer, at - divergerer, kan en bestemt konklusion ikke drages. $0<A<+\infty ,$ $C<A$ $C>A$ $C=A$
Hvis så rækken divergerer. $A=0,$
Hvis serien konvergerer. $A=+\infty ,$

Leibniz-testen for alternerende serier

Denne funktion kaldes også Leibniz-kriteriet .

Lad os for en skiftende serie :

{\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n))

, hvor ,

a_{n}\geqslant 0

følgende betingelser er opfyldt:

rækkefølgen, der starter fra et eller andet tal ( ) falder monotont: ; $\{a_{n}\},$ $n>N$ ${\displaystyle a_{n+1}\leqslant a_{n))$
$\lim _{n\to \infty }a_{n}=0.$

Så konvergerer sådan en serie [18] .

Abels tegn

Nummerrækken konvergerer, hvis følgende betingelser er opfyldt [19] : $\sum _{{n=1}}^{\infty }{a_{n}}{b_{n}}$

Sekvensen er monoton og afgrænset. $\{a_{n}\}$
Serien konvergerer. $\sum _{{n=1}}^{\infty }{b_{n}}$

Tegn på Dirichlet

Lad følgende betingelser være opfyldt:

rækkefølgen af delsummer er begrænset; $B_{n}=\sum _{{k=1}}^{n}b_{k}$
rækkefølgen , startende fra et eller andet tal, falder monotont: ; $a_n$ $a_{n}\geqslant a_{n+1}$
$\lim _{{n\to \infty }}a_{n}=0$ .

Så konvergerer serien . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}b_{n}$

Leibniz- og Abel-testene beskrevet ovenfor følger af Dirichlet-testen og er derfor svagere end sidstnævnte [19] .

Tegn på Bertrand

Hvis der er en grænse for serien : $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

B=\lim _{n\to \infty }\ln n\cdot \left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right) -1\højre),

derefter for , serien konvergerer, og for , den divergerer. Hvis , så tillader denne funktion os ikke at drage en sikker konklusion om konvergensen af serien [11] . $B>1$ $B<1$ $B=1$

Variationer og generaliseringer

Mens de fleste funktioner omhandler konvergensen af uendelige serier, kan de ofte bruges til at vise konvergensen eller divergensen af uendelige produkter . Dette kan opnås ved hjælp af følgende teorem:

Sætning . Lad være en sekvens af positive tal. Så konvergerer det uendelige produkt, hvis og kun hvis rækken konvergerer . ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty ))$ $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

På samme måde, hvis , så har en ikke-nul grænse, hvis og kun hvis serien konvergerer. Dette kan bevises ved at tage logaritmen af produktet [20] . $0<a_{n}<1$ $\prod _{n=1}^{\infty }(1-a_{n})$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Noter

↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 293-294.
↑ Matveeva og andre .
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 262.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , s. 264-266.
↑ Vorobyov, 1979 , s. 51-52.
↑ Vorobyov, 1979 , s. 52.
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics (for videnskabsmænd og ingeniører). - 2. udg. - M. : Nauka, 1970. - S. 137. - 720 s.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 273-274.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 282-285.
↑ Vorobyov, 1979 , s. 61.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , s. 279.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 277-279.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 271-272, 275.
↑ Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Matematikhåndbog for ingeniører og studerende ved højere uddannelsesinstitutioner . - udg. 13. - M. : Nauka, 1985. - S. 274. - 544 s.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 270-271.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 272, 275 (eksempler 3, 4).
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 274 (eksempel 1).
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 302-303.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , s. 307-308.
↑ Belk. Konvergens af uendelige produkter (26. januar 2008). Hentet 21. september 2020. Arkiveret fra originalen 31. januar 2017. (ubestemt)

Litteratur

Vorobyov N. N. Serie teori. - 4. udg. — M .: Nauka, 1979. — 408 s. - (Udvalgte kapitler i højere matematik for ingeniører og studerende fra videregående uddannelsesinstitutioner).
Fikhtengol'ts G. M. Forløb af differential- og integralregning. - Ed. 6. - M. : Nauka, 1966. - T. 2. - 800 s.

Links

Matveeva T. A., Svetlichnaya V. B., Korotkova N. N. Numerisk serie . Dato for adgang: 22. september 2020. (ubestemt)
Tegn på konvergens af en serie . Dato for adgang: 22. september 2020. (ubestemt)

Tegn på konvergens af serier
For alle rækker	Nødvendig tilstand Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
For tegn-positive serier	Hovedkriterium Sammenligningstegn Kummer tegn Gauss tegn Cauchys radikale tegn Integreret funktion Tegn af D'Alembert magt tegn logaritmisk tegn Tegn af Raabe Bertrand tegn Tegn på Jamet Tegn på Schlömilch Ermakovs tegn Lobachevskys tegn teleskopskilt Tegn på Sapogov
Til skiftende serier	Leibniz tegn
For rækker af formularen $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tegn Tegn på Dedekind Dubois-Reymond skilt Dirichlet tegn
Til funktionelle serier	Weierstrass skilt
Til Fourier-serien	Dini tegn Tegn på de la Vallée Poussin Jordan tegn Jung tegn Salem tegn Lebesgue tegn Lebesgue-Gergen tegn Tegn af Martsinkevich