I matematik er tegnet på konvergensen af en talserie en metode, der giver dig mulighed for at etablere konvergensen eller divergensen af en uendelig række:
Kort indlæg:Her er en sekvens af reelle eller komplekse tal ; disse tal kaldes termer i rækken .
Hvis grænsen for et medlem af serien ikke eksisterer eller ikke er lig med nul med vækst, så divergerer serien [1] . |
Derfor er betingelsen nødvendig (men ikke tilstrækkelig) for seriens konvergens. Med andre ord, hvis denne betingelse ikke er opfyldt, så divergerer rækken bestemt, men hvis den er opfyldt, så er der ingen garanti for, at rækken konvergerer - se for eksempel den harmoniske række .
Serier med ikke-negative medlemmer kaldes også positive [2] eller blot positive [3] .
Konvergenskriterium for serier med positivt fortegn
En fortegn-positiv serie konvergerer , hvis og kun hvis rækkefølgen af dens partielle summer er afgrænset ovenfra [4] . |
En konklusion om konvergensen eller divergensen af en serie kan laves på grundlag af dens term-for-term sammenligning med en anden serie (" majorant "), hvis adfærd allerede er kendt [4] .
Lad to serier af positive tegn gives: og . Hvis, startende fra et tal ( ), er følgende ulighed sand: , så [5] :
|
Følge for serier med termer af et vilkårligt tegn:
Hvis serien konvergerer absolut og starter fra et eller andet tal alt , så konvergerer serien absolut. |
Eksempel [6] . Lad os bevise konvergensen af rækken af inverse kvadrater :
Til det kan du ved siden af majorant vælge en serie:
Delsummen af denne serie kan repræsenteres som:
Derfor konvergerer serien, og dens sum er lig med 2. Derfor konvergerer rækken af omvendte kvadrater ifølge sammenligningstesten til et vist tal i intervallet .
Tegn på RaabeDette tegn er stærkere end d'Alemberts tegn og Cauchys radikale tegn [7] .
Hvis der er en grænse for serien : derefter for , serien konvergerer, og for , den divergerer. Hvis , så tillader denne funktion os ikke at drage en sikker konklusion om konvergensen af serien [8] . |
Denne funktion giver dig mulighed for med fuld sikkerhed at bestemme, om serien konvergerer eller divergerer.
Lad funktionen være defineret for , være ikke-negativ, falde monotont , og . Så serien og ukorrekt integral: konvergere eller divergere samtidigt [9] . |
Eksempel [10] . Lad os finde ud af konvergensen af serien for Riemann zeta-funktionen (i det virkelige tilfælde):
Til det har den genererende funktion formen: . Lad os beregne integralet:
hvis , eller hvis Konklusion: denne serie konvergerer ved og divergerer ved . Gaussisk tegn
Lad relationen for en positiv fortegnsserie være repræsenteret som: hvor er konstanter og rækkefølgen er afgrænset. Derefter [11] :
|
Kummers test er en ekstrem generel og fleksibel test til konvergens af serier med positive termer. Faktisk er det et skema til at konstruere specifikke funktioner [12] .
Lad en positiv-tegn-række og en sekvens af positive tal være givet sådan, at rækken divergerer. Hvis, med udgangspunkt i et tal, gælder følgende ulighed: hvor . er en positiv konstant, så konvergerer rækken . Hvis man starter med et tal, så divergerer rækken. |
Oftere i praksis bruges den begrænsende form af Kummers test: så finder vi i tilfælde af, at rækken konvergerer, og hvornår den divergerer.
En række andre tegn er hentet fra Kummers tegn:
Tegnvariable serier er serier, hvis medlemmer kan være både positive og negative.
Tegn på d'AlembertDenne funktion er også kendt som d'Alemberts kriterium . Den er enklere end Cauchy-testen, men svagere - hvis d'Alembert-testen virker, så virker Cauchy-testen altid, men der er serier, som Cauchy-testen er anvendelig til, og d'Alembert-testen giver ikke resultater [13 ] .
Hvis det findes, så:
|
Eksempel [14] . Undersøg konvergensen af serien , hvor Beregn grænsen:
Følgelig konvergerer rækken ved og divergerer ved Sagen bør behandles separat; verifikation viser, at så falder seriens vilkår ikke ( , derfor ), så serien i dette tilfælde divergerer.
Cauchys radikale tegn
Hvis det findes, så: |
Cauchy-testen er mere kompliceret, men stærkere end d'Alembert-testen: hvis d'Alembert-testen bekræfter seriens konvergens eller divergens, så gør Cauchy-testen det samme, men det modsatte er ikke sandt [16] .
Eksempel [17] . Lad os undersøge serien , hvor er en sekvens af positive tal, og
Ifølge Cauchys test er tre tilfælde mulige.
Denne funktion kaldes også Leibniz-kriteriet .
Lad os for en skiftende serie : , hvor ,følgende betingelser er opfyldt:
Så konvergerer sådan en serie [18] . |
Nummerrækken konvergerer, hvis følgende betingelser er opfyldt [19] :
|
Lad følgende betingelser være opfyldt:
Så konvergerer serien . |
Leibniz- og Abel-testene beskrevet ovenfor følger af Dirichlet-testen og er derfor svagere end sidstnævnte [19] .
Tegn på Bertrand
Hvis der er en grænse for serien : derefter for , serien konvergerer, og for , den divergerer. Hvis , så tillader denne funktion os ikke at drage en sikker konklusion om konvergensen af serien [11] . |
Mens de fleste funktioner omhandler konvergensen af uendelige serier, kan de ofte bruges til at vise konvergensen eller divergensen af uendelige produkter . Dette kan opnås ved hjælp af følgende teorem:
Sætning . Lad være en sekvens af positive tal. Så konvergerer det uendelige produkt, hvis og kun hvis rækken konvergerer .
På samme måde, hvis , så har en ikke-nul grænse, hvis og kun hvis serien konvergerer. Dette kan bevises ved at tage logaritmen af produktet [20] .
Tegn på konvergens af serier | ||
---|---|---|
For alle rækker | ||
For tegn-positive serier | ||
Til skiftende serier | Leibniz tegn | |
For rækker af formularen | ||
Til funktionelle serier | ||
Til Fourier-serien |
|