Paraboloid

Paraboloid er en type andenordens overflade i det tredimensionelle euklidiske rum .

En paraboloid kan karakteriseres som en ikke-lukket ikke-central (det vil sige uden symmetricenter ) andenordens overflade.

Kanoniske ligninger for en paraboloid i kartesiske koordinater :

z=tx^{2}+uy^{2},

hvor og er reelle tal , der ikke er lig med nul på samme tid.

t

u

Hvori:

hvis og af samme fortegn, så kaldes paraboloiden elliptisk , et specialtilfælde af en elliptisk paraboloid i dette tilfælde kaldes overfladen normalt en omdrejningsparaboloid ; $t$ $u$ $t=u,$
hvis og af et andet tegn, så kaldes paraboloidet hyperbolsk ; $t$ $u$
hvis en af koefficienterne er nul, så kaldes paraboloiden en parabolcylinder .

Udsnit af en paraboloid efter lodrette (parallelle med aksen ) planer af vilkårlige positioner - parabler . $z$

Udsnit af en paraboloid af vandrette planer parallelt med planet for en elliptisk paraboloid er ellipser , for en paraboloid af omdrejning er disse skæringspunkter cirkler, når et sådant skæringspunkt eksisterer. $x,\ y$

Skæringspunkter for en hyperbolsk paraboloid er hyperbler .

I særlige tilfælde af skæring kan sektionen vise sig at være en linje eller et par linjer (for en hyperbolsk paraboloid eller et par parallelle linjer for en parabolsk cylinder) eller degenerere til et punkt (for en elliptisk paraboloid).

Elliptisk paraboloid

En elliptisk paraboloid er en overflade defineret af en funktion af formen:

z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.

En elliptisk paraboloid kan beskrives som en familie af parallelle paraboler med opadgående grene, hvis toppunkter beskriver en parabel, med grene også opadgående (se figur).

Hvis , så er den elliptiske paraboloid en omdrejningsflade dannet af parablens rotation omkring dens symmetriakse. $a=b$

Hyperbolsk paraboloid

Hyperbolsk paraboloid (kaldet "gipar" i konstruktionen) - sadeloverflade , beskrevet i et rektangulært koordinatsystem ved en ligning af formen

z = \frac {x^2}{a^2} - \frac {y^2}{b^2}

eller

z={\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}.

Også en hyperbolsk paraboloid kan dannes ved at flytte en parabel, hvis grene er rettet nedad langs en parabel, hvis grene er rettet opad (se figur).

En hyperbolsk paraboloid er en regeret overflade .

Overfladen genereret ved bilineær interpolation af en funktion over 4 punkter er en hyperbolsk paraboloid.

Interessante fakta

Overfladen af en væske i en ensartet roterende beholder er en omdrejningsparaboloid (hvilket ikke er den direkte årsag til dens navn).
Egenskaben af en omdrejningsparaboloid bruges ofte til at samle en stråle af stråler parallelt med hovedaksen på et punkt - fokus , eller omvendt til at danne en parallel stråle af stråling fra en kilde i fokus. Betjening af parabolantenner , reflekterende teleskoper med et parabolsk spejl, spotlights , billygter osv. er baseret på dette princip . For flere detaljer, se reflektor (spejl) .

Se også

En hyperboloid er en anden slags andenordens overflade.
Overflader af anden orden .
Firkantet form .

Litteratur

Delaunay B. N., Raikov D. A. Analytisk geometri, i to bind. — M., L.: Gostekhizdat , 1948, 1949.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analytisk geometri. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 240 s.
Kanatnikov A. N., Krishchenko A. P. Analytisk geometri. - M . : Forlag af MSTU im. N. E. Bauman, 2002. - 388 s. — ISBN 5-7038-1671-8 .