Hyperbolske funktioner er en familie af elementære funktioner udtrykt i form af en eksponentiel og tæt forbundet med trigonometriske funktioner .
Hyperbolske funktioner er givet af følgende formler:
(angivet i engelsk litteratur )
(angivet i engelsk litteratur )
(angivet i engelsk litteratur )
(angivet i engelsk litteratur )
Den hyperbolske sekant er nogle gange også betegnet som .
I lyset af sammenhængen giver hyperbolske funktioner en parametrisk repræsentation af hyperbelen ( , ). I dette tilfælde er argumentet , hvor er arealet af den buede trekant , taget med "+" tegnet, hvis sektoren ligger over aksen , og "−" i det modsatte tilfælde. Det er klart, at hyperbolske funktioner også defineres gennem denne parameter, for eksempel de hyperbolske sinusligninger i parametrisk form: , hvor er ordinaten af hyperbelens punkt svarende til arealet . Denne definition er analog med definitionen af trigonometriske funktioner i form af enhedscirklen , som også kan konstrueres på lignende måde.
Hyperbolske funktioner udtrykkes i form af trigonometriske funktioner af det imaginære argument.
.
.
Gudermann-funktionen forbinder trigonometriske funktioner og hyperbolske funktioner uden at involvere komplekse tal .
Fungere | Afledte | Bemærk |
---|---|---|
Bevis
| ||
Bevis
| ||
Bevis
| ||
Bevis
| ||
Bevis
| ||
Bevis
|
For alle kører det:
Her er Bernoulli-numrene og Euler -numrene .
Den hyperbolske sinus og hyperbolske cosinus er analytiske i hele det komplekse plan, bortset fra det i det væsentlige ental punkt ved uendelighed. Den hyperbolske tangens er analytisk overalt, bortset fra polerne i punkterne , hvor er et heltal. Resterne ved alle disse poler er lig med én. Den hyperbolske cotangens er analytisk overalt, bortset fra punkterne , dens rester ved disse poler er også lig med én.
De kaldes ellers arealfunktioner: præfikset "areal-" tilføjes til navnene på de tilsvarende hyperbolske funktioner - fra lat. "område" - "område". Hovedværdierne for områdefunktionerne er defineret af følgende udtryk.
Forholdet mellem nogle inverse hyperbolske og inverse trigonometriske funktioner:
hvor i er den imaginære enhed .
Disse funktioner har følgende serieudvidelse:
I udenlandsk litteratur er inverse hyperbolske funktioner ofte betegnet med et minustegn af første grad: for eksempel skriver de som (og betegner en anden funktion - ) osv.
Historikere opdagede den første optræden af hyperbolske funktioner i den engelske matematiker Abraham de Moivres ( 1707 , 1722 ) skrifter. En moderne definition og en detaljeret undersøgelse af dem blev udført af Vincenzo Riccati i 1757 ("Opusculorum", bind I), han foreslog også deres betegnelser: , . Riccati gik ud fra overvejelserne om en enkelt hyperbel (se figuren i #Definition sektionen ) .
En uafhængig opdagelse og yderligere undersøgelse af hyperbolske funktioners egenskaber blev udført af Johann Lambert ( 1768 ), som etablerede en bred parallelitet mellem formlerne for almindelig og hyperbolsk trigonometri. N. I. Lobachevsky brugte efterfølgende denne parallelisme og forsøgte at bevise konsistensen af ikke-euklidisk geometri , hvor cirkulær trigonometri erstattes af hyperbolsk.
Der er blevet etableret en vis inkonsistens i notationen af hyperbolske funktioner. For eksempel, i Encyclopedia of Brockhaus og Efron , bruges betegnelserne , betegnelserne forankret i russisksproget litteratur og forankret i engelsksproget litteratur .
Hyperbolske funktioner forekommer ofte i beregningen af forskellige integraler . Nogle integraler af rationelle funktioner og af funktioner, der indeholder radikaler, kan beregnes ganske simpelt ved at ændre variable ved hjælp af hyperbolske funktioner.
På samme måde som visningsmatricer beskriver rotationer i todimensionelt euklidisk rum , beskriver matricer rotationer i det enkleste todimensionelle Minkowski-rum . På grund af dette forekommer hyperbolske funktioner ofte i relativitetsteorien .
Et ensartet reb eller kæde, frit ophængt i dets ender, har form af en graf af en funktion (i forbindelse med hvilken den hyperbolske cosinusgraf undertiden kaldes en kædelinje ). Denne omstændighed bruges i design af buer , da formen af buen i form af en omvendt køreledning mest effektivt fordeler belastningen.
Ordbøger og encyklopædier |
|
---|---|
I bibliografiske kataloger |
|