Epicykloid

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 8. marts 2020; checks kræver 9 redigeringer .

Epicykloid (fra andet græsk ὲπί - på, over, ved og κύκλος - cirkel, cirkel) - en flad kurve dannet af et fast punkt i en cirkel, der ruller langs ydersiden af en anden cirkel uden at glide. Ifølge Leibniz gjorde Ole Römer tidligere i 1676 en praktisk vigtig opdagelse, at epicykloidtænder i et tandhjul producerer mindst friktion.

Ligninger

Hvis midten af en fast cirkel er ved oprindelsen af koordinater, dens radius er , radius af cirklen, der ruller langs den er , så beskrives epicykloiden ved parametriske ligninger med hensyn til : $R$ $r$ $\varphi$

{\begin{cases}x=(R+r)\cos \varphi -r\cos(\alpha +{\frac {R+r}{r))\varphi )\\y=(R+r)\ sin \varphi -r\sin(\alpha +{\frac {R+r}{r}}\varphi )\end{cases}}

hvor er rotationsvinklen for det punkt, der beskriver epicykloiden i forhold til midten af den bevægelige cirkel i det øjeblik, hvor bevægelsen starter (mod uret fra x-aksen), er en parameter, men faktisk er dette hældningsvinklen på segmentet mellem centrene til aksen . $\alfa$ $\varphi$ $OKSE$

Du kan indtaste værdien , så vil ligningerne vises i formularen $\textstyle k={\frac {R}{r}}$

{\begin{cases}x=r(k+1)\left(\cos \varphi -{\frac {\cos((k+1)\varphi)}{k+1}}\right)\\y =r(k+1)\venstre(\sin \varphi -{\frac {\sin((k+1)\varphi)}{k+1}}\right)\end{cases}}

Værdien bestemmer epicykloidens form. Når en epicykloid danner en cardioid , og når den danner en nefroid . Hvis er en irreducerbar brøkdel af formen ( ), så er antallet af spidser af den givne epicykloid, og er antallet af komplette rotationer af den rullende cirkel. Hvis irrationelt tal , så er kurven ikke lukket og har et uendeligt antal uoverensstemmende spidser. $k$ $k=1$ $k=2$ $k$ ${\frac {m}{n}}$ $m,n\in \mathbb {N}$ $m$ $n$ $k$

Epicykloider for forskellige værdier af parameteren k:
$k=1$ ( cardioid )
$k=2$ ( nefroid )
$k = 3$
$k={\frac {3}{4}}$
$k={\frac {1}{3}}$
$k=0.5={\frac {1}{2))$
$k=2.1={\frac {21}{10}}$
$k=3,8={\frac {19}{5}}$
$k=5,5={\frac {11}{2}}$
$k=7.2={\frac {36}{5}}$

Henter

Lad - det ønskede punkt, - afvigelsesvinklen for punktet fra kontaktpunktet for to cirkler, - afvigelsesvinklen mellem disse cirklers centre.

P

\alfa

P

\theta

Da cirklen ruller uden at glide, altså

\ell _{R}=\ell _{r}

Ved definition af længden af en cirkelbue :

\ell _{R}=\theta R\land \ell _{r}=\alpha r

Det følger af disse to udtalelser

\theta R=\alpha r

Vi får forholdstallene for :

\alfa

\alpha ={\frac {R}{r}}\theta

Lad midten af den faste cirkel , midten af den anden cirkel . Det er indlysende

EN

B

{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BP}}={\overrightarrow {AP}}

Lad os omskrive i koordinater :

{\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {(\left(R+r\right)\cos \theta ;\left(R+r\right)\sin \theta )))+{\overrightarrow {(r\cos \left(\pi +\theta +\alpha \right);r\sin \left(\pi +\theta +\alpha \right))))={\overrightarrow {(\left(R +r\højre)\cos \theta -r\cos \venstre(\theta +\alpha \right);\venstre(R+r\højre)\sin \theta -r\sin \venstre(\theta +\alpha \ret))}}

Derfor er punktets position : $s$

x=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\cos \theta -r\ cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)

y=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\sin \theta -r\ sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)

Se også

Kurver

Definitioner

Forvandlet

Ikke-plan

Flad
algebraisk

Keglesnit

3. orden ( kubisk )

Elliptisk	Elliptisk kurve Jacobi elliptiske funktioner Elliptisk integral Elliptiske funktioner
Andet	Verziera Agnesi Kartesisk ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Semikubisk parabel Trident Cissoid af Diocles

4. orden

Lemniscates

Tilnærmelse

Spline
- B-spline
- Kubik
- monospline
- Udglatning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cycloidal

Andet

Krogede Gård

Flad
transcendental

Spiraler	Archimedov Gård Galilæa hyperbolsk "Tryllestav" Gylden clothoid logaritmisk sinusformet
Cycloidal	trochoid Cycloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Rose" quadrifolium Hurtig nedstigning (brachistochrone, cycloid bue)
Andet	Quadratrix cochleoid Jage traktor trochoid kæde linje omvendt buet konstant bredde sinusformet Ribokura Super formel Superellipse Reuleaux trekant polygon Lissajous figurer

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper dragekurve Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologisk	Sierpinski serviet Sierpinski tæppe Svamp Menger cirkulær fraktal Apollonius tæppe