Cissoid af Diocles

Diocles' cissoid er en plan algebraisk kurve af tredje orden. I det kartesiske koordinatsystem , hvor abscisseaksen er rettet langs , og ordinataksen langs , bygges en hjælpecirkel på segmentet , som på diameteren . En tangent tegnes i et punkt . Der tegnes en vilkårlig ret linje fra punktet , som skærer cirklen i punktet og tangenten i punktet . Fra punktet i punktets retning aflægges et stykke , hvis længde er lig med stykkets længde . Når en linje drejer rundt om et punkt , beskriver punktet en linje kaldet $OKSE$ $OY$ $OA=2a$ $EN$ $UV$ $O$ $OF$ $E$ $F$ $F$ $O$ $FM$ $OE$ $OF$ $O$ $M$ Cissoid af Diocles . De to grene af denne linje i fig. 1 er vist i blåt og rødt.

Ligninger

Cissoidligningen i et rektangulært koordinatsystem er skrevet som følger:

y^{2}={\frac {x^{3}}{2a-x}}.\qquad \qquad (1)

Cissoidligningen i polære koordinater er:

\rho ={\frac {2a\sin ^{2}\varphi }{\cos \varphi )).

Nogle gange skrives cissoidligningen i det polære koordinatsystem som følger:

\rho ={\frac {2a\left(1-\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi }}=

=2a\left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\cos \varphi \right)=

=2a\left(\sec \varphi -\cos \varphi \right).

Parametrisk cissoidligning:

x={\frac {2au^{2}}{1+u^{2}}},

y={\frac {2au^{3}}{1+u^{2}}},

hvor

u=\mathrm {tg} \,\varphi

Historie

Cissoiden blev først udforsket af den græske matematiker Diocles i det 2. århundrede f.Kr. e. Diocles byggede kurven sådan: der er et punkt , som er placeret på hjælpecirklen symmetrisk til punktet ; symmetriaksen er diameteren . Fra punktet tegnes en vinkelret på abscisseaksen. Punktet, der tilhører cissoidet, er i skæringspunktet mellem denne perpendikulær og linjen . Ved denne metode konstruerede Diocles kun kurven inde i hjælpecirklen. Hvis denne del af cissoidet ( ) er lukket med en cirkelbue , opnås en figur , der ligner et vedbendblad i sin form . På græsk er vedbend κισσός ("kissos"), hvorfra navnet på kurven - "Cissoid" kom fra. $P$ $E$ $BD$ $P$ $M$ $OE$ $DOB$ $DOB$ $EAD$

I sin moderne form blev cissoiden gengivet af den franske matematiker Gilles Roberval i 1640 . Senere blev cissoiden også udforsket af den hollandske matematiker Sluz .

Egenskaber

Cissoiden er symmetrisk i forhold til abscisseaksen.
Den cissoid skærer hjælpecirklen på punkter og , som hører til diameteren af denne cirkel. $B$ $D$
Cissoiden har en spids og en asymptote , hvis ligning er: , hvor er radius af hjælpecirklen. $UV$ $x=2a$ $-en$
Cissoiden er en involut af en parabel med en spids ved parablens toppunkt. Desuden er parablens retningslinje en asymptote af cissoiden. [en]

Område mellem cissoid og asymptote

Dette område er lig med:

S_{1}=3\pi a^{2}.

Konklusion

Området indesluttet mellem grenene af cissoiden og asymptoten . Øvre gren ligning : $KOL$ $UV$ $S_{1}$ $OL$

y={\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}}}.\qquad \qquad (2)

Halvdelen af arealet indesluttet mellem cissoiden og asymptoten er lig med integralet af ligning (2) i området fra 0 til : $2a$

{\frac {1}{2}}S_{1}=\int \limits _{0}^{2a}{\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}} \,dx.\qquad \qquad(3)

Udskiftning:

u^{2}=2a-x,\qquad x=2a-u^{2},\qquad dx=-2u\,du.

Integrationsgrænser:

x=0\Højrepil u={\sqrt {2a)),\qquad x=2a\Højrepil u=0.

Integral (3) transformeres til formen:

{\frac {1}{2}}S_{1}=-2\int \limits _{\sqrt {2a}}^{0}{\sqrt {(2a-u^{2})^ {3}}}\,du=

=\left.-2\left({\frac {u}{8}}(10a-2u^{2}){\sqrt {2a-u^{2}}}+{\frac {3a ^{2}}{2}}\arcsin {\frac {u}{\sqrt {2a}}}\right)\right|_{\sqrt {2a}}^{0}={\frac {3\ pi a^{2}}{2}}.

Så:

{\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {3\pi a^{2}}{2}}.

S_{1}=3\pi a^{2}.

Volumen af et revolutionslegeme

Volumenet ( ) af legemet dannet af grenens rotation omkring abscisseaksen beregnes som følger: $V_{1}$ $OL$

V_{1}=\pi \int \limits _{0}^{2a}{\frac {x^{3}}{2a-x}}\,dx=

=\pi \int \limits _{0}^{2a}\left(-x^{2}-2ax-4a^{2}+{\frac {8a^{3}}{2a-x }}\right)\,dx=

=\left.-{\frac {44\pi a^{3}}{3}}-8\pi a^{3}(\ln(2a-x))\right|_{0} ^{2a}.

Hvis det altså er . $x\to 2a$ $\ln(2a-x)\to -\infty$ $V_{1}\to \infty$

Noter

↑ Akopyan A.V. Geometri i billeder .

Litteratur

Savelov A.A. Flade kurver. Systematik, egenskaber, anvendelser (Referenceguide). - Moskva: Statens forlag for fysisk og matematisk litteratur, 1960. - 293 s.
Smogorzhevsky A.S., Stolova E.S. Håndbog i teorien om plankurver af tredje orden. - Moskva: Fizmatgiz, 1961. - 263 s.

J. Dennis Lawrence. Et katalog over specielle plankurver. - Dover Publications, 1972. - 53-56 s. - ISBN 0-486-60288-5 .
Brieskorn E., Knörrer H. Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhäuser, 1981. 721 s.

Kurver

Definitioner

Forvandlet

Ikke-plan

Flad
algebraisk

Keglesnit

3. orden ( kubisk )

Elliptisk	Elliptisk kurve Jacobi elliptiske funktioner Elliptisk integral Elliptiske funktioner
Andet	Verziera Agnesi Kartesisk ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strophoid Semikubisk parabel Trident Cissoid af Diocles

4. orden

Lemniscates

Tilnærmelse

Spline
- B-spline
- Kubik
- monospline
- Udglatning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cycloidal

Andet

Krogede Gård

Flad
transcendental

Spiraler	Archimedov Gård Galilæa hyperbolsk "Tryllestav" Gylden clothoid logaritmisk sinusformet
Cycloidal	trochoid Cycloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Rose" quadrifolium Hurtig nedstigning (brachistochrone, cycloid bue)
Andet	Quadratrix cochleoid Jage traktor trochoid kæde linje omvendt buet konstant bredde sinusformet Ribokura Super formel Superellipse Reuleaux trekant polygon Lissajous figurer

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper dragekurve Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologisk	Sierpinski serviet Sierpinski tæppe Svamp Menger cirkulær fraktal Apollonius tæppe