Kuppel (geometri)
| Femkantet kuppel (eksempel) | |
|---|---|
| Type | Mange kupler |
| Schläfli symbol | { n } || t{ n } |
| ansigter | n trekanter , n kvadrater , 1 n - gon , 1 2 n - gon |
| ribben | 5n _ |
| Toppe | 3n _ |
| Symmetri gruppe | C n v , [1, n ], (* nn ), rækkefølge 2n |
| Rotationsgruppe | C n , [1, n ] + , ( nn ), rækkefølge n |
| Dobbelt polyeder | ? |
| Ejendomme | konveks |
En kuppel er en krop dannet ved at forbinde to polygoner , hvor den ene (basen) har dobbelt så mange sider som den anden (overfladen). Polygoner er forbundet med ligebenede trekanter og rektangler . Hvis trekanterne er regulære og rektanglerne er kvadrater , mens bunden og toppunktet er regulære polygoner , er kuplen et Johnson-polyhedron . Disse kupler, tre-skråninger , fire-skråninger og fem -skråninger , kan opnås ved at tage sektioner af henholdsvis cuboctahedron , rhombicuboctahedron og rhombicosidodecahedron .
Kuppelen kan ses som et prisme , hvor en af polygonerne er halvt sammentrukket ved at samle hjørnerne i par.
Kuppelen kan tildeles det udvidede Schläfli-symbol { n } || t{ n } repræsenterer en regulær polygon {n} forbundet med dens parallelle trunkerede kopi, t{n} eller {2n}.
Domer er en underklasse af prismatoider .
Eksempler
Familie af konvekse kupler| n | 2 | 3 | fire | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| Navn | {2} || t{2} | {3} || t{3} | {4} || t{4} | {5} || t{5} | {6} || t{6} |
| Kuppel | Diagonal kuppel |
Tri-slope kuppel |
Fire-pitched kuppel |
fem skråninger kuppel |
Sekskantet kuppel (flad) |
| Beslægtede ensartede polyedre |
trekantet prisme   
|
Cuboctahedron
|
Rhombicubo- oktaeder 
|
Rhombicos dodecahedron 
|
Rhombotry - sekskantet mosaik 
|
De tre polyedre nævnt ovenfor er ikke-trivielle konvekse kupler med regelmæssige ansigter. En " sekskantet kuppel" er en flad figur, og et trekantet prisme kan betragtes som en "kuppel" af grad 2 (kuplen af et segment og en firkant). Dog kan kupler med mange polygonsider kun bygges med uregelmæssige trekantede og rektangulære flader.
Vertex koordinater
Definitionen af en kuppel kræver ikke korrektheden af basis- og topfladen, men det er praktisk at overveje tilfælde, hvor kupler har maksimal symmetri, C n v . I dette tilfælde er topfladen en regulær n - gon, mens basen er en regulær 2n - gon, eller en 2n -gon med to forskellige sidelængder (gennem én) og de samme vinkler som en regulær 2n - gon . Det er praktisk at placere kuplen i koordinatsystemet, så dens base ligger i xy -planet med topfladen parallel med dette plan. Z - aksen er en symmetriakse af orden n , spejlplanerne passerer gennem denne akse og halverer basens sider. De skærer også siderne eller hjørnerne af den øverste flade, eller begge dele. (Hvis n er lige, halverer halvdelen af spejlene siderne og halvdelen af hjørnerne. Hvis n er ulige, halverer hvert spejl den ene side og et hjørne af den øvre flade.) Vi nummererer bundens hjørner med tal fra V 1 til V 2 n , og hjørnerne af de øverste flade - tal fra V 2 n +1 til V 3 n . Toppunktets koordinater kan så skrives som følger:
- V 2 j −1 : ( r b cos[2π( j − 1) / n + α], r b sin[2π( j − 1) / n + α], 0)
- V 2 j : ( r b cos(2π j / n − α), r b sin(2π j / n − α), 0)
- V 2 n + j : ( r t cos(π j / n ), r t sin(π j / n ), h ),
hvor j = 1, 2, …, n .
Da polygonerne V 1 V 2 V 2 n +2 V 2 n +1 osv. er rektangler, er der begrænsninger på værdierne af r b , r t og α. Afstand V 1 V 2 er
r b {[cos(2π / n − α) − cos α] 2 + [sin(2π / n − α) − sin α] 2 } 1 ⁄ 2 = r b {[cos 2 (2π / n − α) − 2cos(2π / n − α)cos α + cos 2 α] + [sin 2 (2π / n − α) − 2sin(2π / n − α) sin α + sin 2 α]} 1 ⁄ 2 = r b {2[1 − cos(2π / n − α)cos α − sin(2π / n − α)sin α]} 1 ⁄ 2 = r b {2[1 − cos(2π / n − 2α)]} 1 ⁄ 2og afstanden V2n + 1V2n + 2 er _ _
r t {[cos(π / n ) − 1] 2 + sin 2 (π / n )} 1 ⁄ 2 = r t {[cos 2 (π / n ) − 2cos(π / n ) + 1] + sin 2 (π / n )} 1 ⁄ 2 = r t {2[1 − cos(π / n )]} 1 ⁄ 2 .De skal være ens, så hvis denne fælles kant har længden s ,
r b = s / {2[1 − cos(2π / n − 2α)]} 1 ⁄ 2 r t = s / {2[1 − cos(π / n )]} 1 ⁄ 2Og disse værdier skal erstattes af toppunkterne i ovenstående formler.
Stjernekupler
Familie af stjernekupler| n / d | fire | 5 | 7 | otte |
|---|---|---|---|---|
| 3 | {4/3} |
{5/3} |
{7/3} |
{8/3} |
| 5 | — | — | {7/5} |
{8/5} |
| n / d | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|
| 2 | Krydset trekantet kuppel |
pentagram kuppel |
Heptagram kuppel |
| fire | — | Krydset pentagram kuppel |
Krydset heptagram kuppel |
Stjernekupler findes for alle baser { n / d } hvor 6 / 5 < n / d < 6 og d er ulige. Ved grænserne bliver kupler til flade figurer. Hvis d er lige, bliver den nederste base {2 n / d } degenereret - vi kan danne en kuppel eller halvkuppel ved at fjerne denne degenererede flade og lade trekanter og firkanter forbindes med hinanden. Især tetrahemihexahedron kan betragtes som en {3/2}-kuppel. Alle kupler er orienterede , mens alle kupler er uorienterede. Hvis n / d > 2 for en kuppel, dækker trekanter og firkanter ikke hele basen, og der er en lille membran tilbage på basen, der lige dækker hullet. Således har {5/2}- og {7/2}-kuplerne i figuren ovenfor membraner (ikke fyldt), mens {5/4}- og {7/4}-domerne ikke har.
Højden h af kuplen { n / d } eller kuplen er givet af formlen . Især h = 0 ved grænserne n / d = 6 og n / d = 6/5, og h er maksimum ved n / d = 2 (et trekantet prisme, hvor trekanterne er lodrette) [1] [2] .
På billederne ovenfor er stjernekuplerne vist i farver for at understrege deres ansigter - n / d - gon-fladen er vist i rødt, 2 n / d - gon-fladen er vist med gul, firkanterne er vist med blå, og trekanterne er grønne. Domer har røde n / d -kantede flader, gule firkantede flader og trekantede flader malet blå, mens den anden base er blevet fjernet.
Hyperdomes
Hyperdome eller polyedriske kupler er en familie af konvekse ikke-ensartede firedimensionelle polyedre, der ligner kupler. Basen af hvert sådant polyeder er et regulært polyeder (tredimensionelt) og dets forlængelse [3] .
Tabellen bruger konceptet Segmentochora - en figur, der opfylder følgende egenskaber:
1. alle toppunkter er på den samme hypersfære 2. alle toppunkter er på to parallelle hyperplaner 3. alle kanter har længde 1Der er to segmentogoner (segmentogoner) i planet - en regulær trekant og en firkant.
I 3-dimensionelle rum omfatter de pyramider, prismer, antiprismer, kupler.
| Navn | Tetraedrisk kuppel | Cubic Dome | Oktaedrisk kuppel | Decahedral kuppel | Sekskantet mosaikkuppel | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Schläfli symbol | {3,3} ∨ rr{3,3} | {4,3} ∨ rr{4,3} | {3,4} ∨ rr{3,4} | {5,3} ∨ rr{5,3} | {6,3} ∨ rr{6,3} | |||||
Segmenteret ansigtsindeks [ 3] |
K4.23 | K4,71 | K4.107 | K4.152 | ||||||
| Radius af den omskrevne cirkel |
en | sqrt((3+sqrt(2))/2) = 1,485634 |
sqrt(2+sqrt(2)) = 1,847759 |
3+sqrt(5) = 5,236068 |
||||||
| Billede | ||||||||||
| Hovedceller | ||||||||||
| Toppe | 16 | 32 | tredive | 80 | ∞ | |||||
| ribben | 42 | 84 | 84 | 210 | ∞ | |||||
| ansigter | 42 | 24 {3} + 18 {4} | 80 | 32 {3} + 48 {4} | 82 | 40 {3} + 42 {4} | 194 | 80 {3} + 90 {4} + 24 {5} | ∞ | |
| celler | 16 | 1 tetraeder 4 trekantede prismer 6 trekantede prismer 4 trekantede prismer 1 cuboctahedron |
28 | 1 terning 6 kvadratiske prismer 12 trekantede prismer 8 trekantede pyramider 1 rhombicuboctahedron |
28 | 1 oktaeder 8 trekantede prismer 12 trekantede prismer 6 firkantede pyramider 1 rhombicuboctahedron |
64 | 1 dodekaeder 12 femkantede prismer 30 trekantede prismer 20 trekantede pyramider 1 rhombicosidodecahedron |
∞ | 1 sekskantet flisebelægning ∞ sekskantede prismer ∞ trekantede prismer ∞ trekantede pyramider 1 rombiske tresekskantede fliser |
| Beslægtet uniform 4- polyeder |
Rangeret 5-celle
|
Rangeret Tesseract
|
Rangeret 24-celler
|
Rangeret 120 celle
|
Rangeret Hexagonal Mosaic Honeycomb
| |||||
Noter
- ↑ kupler . Hentet 18. november 2015. Arkiveret fra originalen 3. juni 2021.
- ↑ semikupoler . Hentet 18. november 2015. Arkiveret fra originalen 13. april 2021.
- ↑ 12 Klitzing, 2000 , s. 139-181.
Litteratur
- NW Johnson . Konvekse polyeder med regulære ansigter // Canada. J Math. - 1966 .. - Udgave. 18 . — S. 169–200 .
- Dr. Richard Klitzing. Konveks Segmentochora. — Symmetri: Kultur og videnskab. - 2000. - T. 11. - S. 139-181.
Links
- Weisstein, Eric W. Cupola (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
- Segmentotoper