Fleksibel polyeder

Et bøjeligt polyeder er et polyeder (mere præcist, en polyhedral overflade ), hvis rumlige form kan ændres ved kontinuerlig deformation i tid, hvor hver flade ikke ændrer sin størrelse (det vil sige, den bevæger sig som et fast legeme), og deformation udføres kun på grund af en kontinuerlig ændring i dihedriske vinkler . En sådan deformation kaldes kontinuerlig bøjning af polyederet.

Eksempler

• De første eksempler på fleksible polyedre blev konstrueret af den belgiske ingeniør og matematiker Raoul Bricard i 1897 [1] . De hedder nu Bricard octahedra . De er ikke kun ikke-konvekse, men har også selvkryds, hvilket gør det umuligt at bygge deres bevægelige papmodel.

• I 1976 konstruerede den amerikanske matematiker Robert Connelly første gang et fleksibelt polyeder uden selvskæringer [2] .

• Af alle i øjeblikket kendte bøjelige polyedre uden selvskæringspunkter har polyederet konstrueret af den tyske matematiker Klaus Steffen [3] det mindste antal hjørner ( ni ) . Steffen polyhedron kan nemt skæres ud af papir (se artiklen).

• Der er eksempler på fleksible polyedre, der er realiseringer af en torus [4] eller en Klein-flaske eller generelt en todimensionel overflade af enhver topologisk slægt.

• Bøjelig Bricard-oktaeder af den første type

• Bøjelig Bricard-oktaeder af anden type

• Fleksibel Steffen polyeder

• Udvikling af et fleksibelt Steffen polyeder

Egenskaber

Der er mange smukke og ikke-trivielle udsagn i teorien om fleksible polyedre. Følgende er de vigtigste fakta etableret til dato:

• Ingen konveks polyeder kan være fleksibel. Dette følger umiddelbart af Cauchys sætning om den enestående bestemthed af et konveks polyeder, bevist i 1813 .

• Det følger af Schläfli-formlen , at ethvert bøjeligt polyeder bevarer den såkaldte integrale gennemsnitlige krumning under bøjning, det vil sige et tal, der er lig med , hvor er længden af ​​kanten , er værdien af ​​den indre dihedrale vinkel ved kanten , og summen opregner alle polyederens kanter [5] .

• Sabitovs sætning : ethvert bøjeligt polyeder bevarer sit volumen under bøjning , det vil sige, det vil bøje, selvom det er fyldt med en inkompressibel væske [6] .

• I 2012 beviste A. Gaifullin en multidimensionel analog af Sabitovs sætning - ethvert bøjeligt polyeder i dimension bevarer sit volumen under bøjning. [7]

Variationer og generaliseringer

Alt det ovenstående refererede til polyedre i tredimensionelt euklidisk rum. Ovenstående definition af et fleksibelt polyeder gælder dog for både højdimensionelle rum og ikke-euklidiske rum, såsom sfærisk rum og Lobachevsky-rum . Både ikke-trivielle teoremer og åbne spørgsmål er også kendt for dem. For eksempel:

• Fleksible polyedre findes i alle dimensioner, både i det euklidiske rum og i det sfæriske rum og i Lobachevsky-geometrien. Eksempler på analoger af fleksible Bricard octaedre i den tredimensionelle sfære og i Lobachevsky-rummet blev konstrueret af Stachel. Det første eksempel på et fleksibelt selvskærende firedimensionelt polyeder blev konstrueret af A. Waltz. Endelig blev eksempler på fleksible polyedre i alle dimensioner og i alle tre geometrier (Euklidisk, sfærisk, Lobachevsky) konstrueret af Gaifullin. [8] [9]

• I et sfærisk rum af enhver dimension eksisterer der et fleksibelt polyeder, hvis volumen ikke er konstant under bøjningsprocessen. Et eksempel på en sådan selvskærende polytop i dimension 3 blev konstrueret i 1997 af Aleksandrov [10] , og et eksempel på en ikke-selvskærende polytop i et sfærisk rum af enhver dimension blev konstrueret af A. A. Gaifullin i hans 2015 papir [ 11] . Tværtimod, i det tredimensionelle Lobachevsky-rum, og generelt i Lobachevsky-rummet af enhver ulige dimension, skal volumenet af et fleksibelt polyeder bevares (ligesom i det euklidiske tilfælde). [12] [13] .

Åbne spørgsmål

• Er det rigtigt, at Steffen -polyederet har det mindste antal hjørner blandt alle fleksible polyedere, der ikke har selvskæringer [14] ;

• Er det rigtigt, at hvis et polyeder, der ikke har selvskæringer, opnås fra et andet polyeder, som heller ikke har selvskæringspunkter, ved kontinuerlig bøjning, så er disse polyeder ækvi -sammensat , det vil sige, at den første kan opdeles ind i et begrænset antal tetraedre , hver af disse tetraedre kan flyttes uafhængigt af de andre i rummet og få en opdeling af det andet polyeder [15] .

• I dimensioner startende fra 4 vides det ikke, om der eksisterer fleksible ikke-selvskærende polyedre. [12]

• Det vides ikke, om bælgsætningen holder (om volumen skal bevares under bøjning) i Lobachevsky-rum af jævn dimension (4, 6,...). [12]

Populær litteratur

• V. A. Aleksandrov, Fleksible polyhedriske overflader  (utilgængeligt link) , Soros Educational Journal . 1997 nr. 5. S. 112-117. Den samme artikel blev genudgivet i en bog redigeret af V. N. Soifer og Yu. P. Solovyov: Modern natural science . Encyklopædi . Vol. 3: Matematik og mekanik M.: Nauka , M.: Flinta, 2000. ISBN 5-02-004299-4 .
• M. Berger , Geometri . M.: Mir, 1984. T. 1. S. 516-517.
• VA Zalgaller , Kontinuerligt fleksibel polyeder , Kvant . 1978 nr. 9. S. 13-19.
• A. I. Medyanik, The Connelly polyhedron model , Kvant . 1979 nr. 7. S. 39. (Bemærk, at udviklingen af ​​Connelly polyhedron er angivet i samme nummer af magasinet på bagsiden . )
• DEM. Sabitov,. Mængder af polyedre . — M.: MTsNMO , 2002. — 32 s.
• David A. Klarner . Matematisk blomsterhave. Samling af artikler og opgaver = Den matematiske Gardner / Pr. fra engelsk. Yu. A. Danilova ; red., med forord. og app. I. M. Yagloma . - M .: Mir, 1983. - S. 105-117. — 494 s.
• Foredrag 25 i Tabachnikov S.L.Fuks D.B. Matematisk Divertissement . - MTSNMO, 2011. - 512 s. - 2000 eksemplarer.  - ISBN 978-5-94057-731-7 .
• Film " Fleksible polyedre ", site Matematiske Etuder
• Faktisk matematik: Flexible Polyhedra på YouTube

Videnskabelig litteratur

• V. A. Aleksandrov, Et nyt eksempel på et fleksibelt polyhedron , Sibirsk. måtte. magasin 1995. V. 36, nr. 6. S. 1215-1224.
• N. H. Kuiper , Flexible polyhedral spheres , efter Robert Connelly , i Vol. udg. A. N. Kolmogorova og S. P. Novikova : Studier i den metriske teori om overflader. M.: Mir. 1980. S. 210-227.
• P. Connelly , Om en tilgang til problemet med ufleksibilitet . Der. s. 164-209.
• R. Connelly , Nogle antagelser og uløste spørgsmål i teorien om bøjninger . Der. s. 228-238.
• I. G. Maksimov, Ufleksible polyedre med et lille antal hjørner , Fundam. appl. matematik. 2006. bind 12, nr. 1. S. 143-165.
• S. N. Mikhalev, Nogle nødvendige metriske betingelser for bøjning af suspensioner , Vestnik MGU, Ser. I, 2001, nej. 3, 15-21.
• I. Kh. Sabitov , Volumenet af et polyeder som funktion af dets metriske , Fundam. appl. matematik. 1996. bind 2, nr. 4. S. 1235-1246.
• I. Kh. Sabitov , Den generaliserede Heron-Tartaglia-formel og nogle af dens konsekvenser , Mat. Lør. 1998. bind 189, nr. 10. S. 105-134.

Noter

1. ↑ R. Bricard. Arkiveret fra originalen den 17. juli 2011, på nuværende tidspunkt, Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé . J Math. Pures Appl. 1897. 3 . S. 113-150 (se også engelsk oversættelse ).
2. ↑ R. Connelly, The rigidity of polyhedral surfaces , Math. Mag. 52 (1979), nr. 5, 275-283.
3. ↑ M. Berger , Geometri . M.: Mir, 1984. T. 1. S. 516-517.
4. ↑ V. A. Aleksandrov, Et nyt eksempel på et fleksibelt polyeder , Sib. måtte. magasin 1995. V. 36, nr. 6. S. 1215-1224.
5. ↑ R. Alexander, Lipschitziske kortlægninger og total middelkrumning af polyedriske overflader. I , Trans. amer. Matematik. soc. 1985 bind. 288, nr. 2, 661-678.
6. ↑ I. Kh. Sabitov , Volumenet af et polyeder som funktion af længden af ​​dets kanter , Fundam. appl. matematik. 1996. V. 2, nr. 1. S. 305-307.
7. ↑ A. Gaifullin. Generalisering af Sabitovs teorem til vilkårlige dimensioner (2012). (ubestemt)
8. ↑ H. Stachel , Fleksible oktaedre i det hyperbolske rum , i bogudg. A. Prekopa: Ikke-euklidiske geometrier. Janos Bolyai mindesmærke bind. Paper fra den internationale konference om hyperbolsk geometri, Budapest, Ungarn, 6.-12. juli 2002 . New York, NY: Springer. Mathematics and its Applications 581 , 209-225 (2006).
9. ↑ A. A. Gaifullin , Fleksible krydspolytoper i rum med konstant krumning, Tr. MIAN , 286 (2014), 88-128.
10. ↑ V. Alexandrov, Et eksempel på et fleksibelt polyeder med ikke-konstant volumen i det sfæriske rum, Beitr. Algebra Geom. 38 , nr. 1, 11-18 (1997). ISSN 0138-4821.
11. ↑ A. A. Gaifullin, Indlejrede fleksible sfæriske tværpolytoper med ikke-konstante volumener , Tr. MIAN, 288 (2015), 67-94.
12. ↑ 1 2 3 "Fleksible polyedre", Mathematical studies, http://www.etudes.ru/ru/etudes/sabitov/
13. ↑ A. A. Gaifullin, Analytisk fortsættelse af volumen og bælghypotesen i Lobachevsky-rum , Mat. Lør. , 206 :11 (2015), 61-112
14. ↑ I. G. Maksimov, Ufleksible polyedre med et lille antal hjørner , Fundam. appl. matematik. 2006. bind 12, nr. 1. S. 143-165.
15. ↑ Se s. 231 i bogen, red. AN Kolmogorova og SP Novikova : Studier i den metriske teori om overflader . M.: Mir. 1980. Denne formodning blev først offentliggjort på engelsk i R. Connelly, The rigidity of polyhedral surfaces , Math. Mag. 1979 bind. 52. s. 275-283.