Et stjerneformet polyeder ( stjernelegeme ) er et ikke-konveks polyeder , hvis ansigter skærer hinanden. Som med ikke-stjerneformede polyedre er flader forbundet parvis ved kanter (i dette tilfælde betragtes interne skæringslinjer ikke som kanter).
Stjerneformen af et polyeder er et polyeder opnået ved at forlænge flader af et givet polyeder gennem kanter indtil deres næste skæring med andre flader langs nye kanter.
Regulære stjernepolyedre er stjernepolyedre, hvis ansigter er identiske ( kongruente ) regulære eller stjernepolygoner . I modsætning til de fem klassiske regulære polyedre ( platoniske faste stoffer ), er disse polyedre ikke konvekse faste stoffer.
I 1811 fastslog Augustin Lou Cauchy , at der kun er 4 regulære stjernelegemer (de kaldes Kepler-Poinsot-legemer ), som ikke er sammensætninger af platoniske og stjernelegemer. Disse omfatter det lille stjernedodekaeder og det store stjernedodekaeder opdaget af Johannes Kepler i 1619 , samt det store dodekaeder og det store ikosaeder opdaget i 1809 af Louis Poinsot . De resterende regulære stjerneformede polyedre er enten forbindelser af de platoniske faste stoffer eller forbindelser af Kepler-Poinsot-faststofferne [1] .
Halvregulære stjernepolyedre er stjernepolyedre, hvis ansigter er regulære eller stjernepolygoner , men ikke nødvendigvis ens. I dette tilfælde skal strukturen af alle hjørner være den samme (homogenitetsbetingelse). G. Coxeter , M. Longuet-Higgins og J. Miller i 1954 listede 53 sådanne organer og fremsatte en hypotese om fuldstændigheden af deres liste [2] . Først meget senere, i 1969 , lykkedes det Sopov S.P. at bevise, at listen over polyeder præsenteret af dem virkelig er komplet.
Mange former for stjerneformede polyedre er foreslået af naturen selv. For eksempel er snefnug flade fremspring af stjerneformede polyedre. Nogle molekyler har de korrekte strukturer af tredimensionelle figurer.
I disse figurer er hvert ansigt malet med sin egen farve for skønhed og klarhed.
Ensartede polyedre - regelmæssige og semi-regulære konvekse polyedre (platoniske og arkimedeiske faste stoffer); regulære og semiregulære stjernepolyedre kaldes tilsammen ensartede polyedre. For disse kroppe er alle flader regelmæssige polygoner (konvekse eller stjerneformede), og alle hjørner er de samme (det vil sige, at der er ortogonale transformationer af et polyeder ind i sig selv, hvilket overfører ethvert hjørne til ethvert andet). Der er præcis 75 ensartede polyedre.
Tetraeder og sekskant ( terning ) har ikke stjerneformer, da deres ansigter ikke længere skærer hinanden, når de strækkes gennem kanter.
Der er kun én stjernestilling af oktaederet . Det stjerneformede oktaeder blev opdaget af Leonardo da Vinci , derefter, næsten 100 år senere, genopdaget af I. Kepler og af ham navngivet Stella octangula - en ottekantet stjerne. Derfor har denne form et andet navn: "Keplers stella octangula"; faktisk er det en forbindelse af to tetraedre.
Dodekaederet har 3 stjernebilleder: lille stjernedodekaeder , stort dodekaeder , stort stjernedodekaeder (stjerneformet stor dodekaeder, endelig form). I modsætning til oktaederet er nogen af stjernebillederne i dodekaederet ikke en sammensætning af de platoniske faste stoffer, men danner et nyt polyeder.
Ansigterne på det store dodekaeder er femkanter, der mødes fem ved hvert toppunkt. De små stjerne- og store stjernedodekaedere har flader - femtakkede stjerner (pentagrammer), som i det første tilfælde konvergerer med 5, og i det andet med 3 flader i et toppunkt.
Toppunkterne i det store stjernedodekaeder falder sammen med toppunkterne i det omskrevne dodekaeder.
Ikosaederet har 59 stjernebilleder, hvoraf 32 har fuldstændig og 27 har ufuldstændig icosahedrisk symmetri, hvilket blev bevist af Coxeter sammen med Duval, Flazer og Petrie ved hjælp af begrænsningsreglerne fastsat af J. Miller. En af disse stjernebilleder (20., model 41 ifølge Wenninger), kaldet det store icosahedron (se figur), er en af de fire regulære Kepler-Poinsot stjernepolyedre . Dens ansigter er regelmæssige trekanter, der konvergerer ved hvert toppunkt fem; denne ejendom deles af det store icosahedron med icosahedron.
Blandt stjerneformerne er der også: en forbindelse af fem oktaedre , en forbindelse af fem tetraedre , en forbindelse af ti tetraedre . Det første stjernebillede er det lille triambiske icosahedron .
Hvis hver af ansigterne fortsættes på ubestemt tid, vil kroppen være omgivet af en lang række rum - dele af rummet afgrænset af ansigternes planer. Alle stjerneformede former af icosahedron kan opnås ved at tilføje sådanne rum til den originale krop. Bortset fra selve icosahedron er udvidelserne af dets ansigter adskilt fra rummet med 20 + 30 + 60 + 20 + 60 + 120 + 12 + 30 + 60 + 60 = 472 rum i ti forskellige former og størrelser. Det store icosahedron består af alle disse stykker undtagen de sidste tres. Den næste stjerneform er den sidste.
Kuboktaederet har 4 stjernebilleder, der opfylder de begrænsninger, som Miller introducerede. Den første af disse er en kombination af en terning og et oktaeder.
Icosidodecahedron har mange stjernebilleder, hvoraf den første er sammensætningen af icosahedron og dodecahedron.
Icosidodecahedron har 32 flader, hvoraf 12 er regulære femkantede flader og de resterende 20 er regulære trekanter.
Stellation refererer til processen med at konstruere et polyeder fra et andet polyeder ved at udvide dets flader. For at gøre dette trækkes planer gennem overfladerne af det originale polyeder, og alle mulige kanter opnået som et resultat af skæringen mellem disse planer overvejes, og passende udvælges [4] .
Terningen og tetraederet tillader ikke stjernedannelse. Oktaederet har en enkelt struktur - det stjerneformede oktaeder . Dodekaederet giver tre stjerneformer.
| Stjerneformer af icosahedron | |
|---|---|
| |