Bilinsky dodekahedron

Bilinsky dodekahedron

( roterende model )
Ejendomme konveks , zonohedron
Kombinatorik
Elementer
12 flader
24 kanter
14 spidser
X  = 2
Facetter 12 diamanter
Vertex konfiguration 4+4(4.4.4)
4+2(4.4.4.4)
Klassifikation
Symmetri gruppe D2h _
 Mediefiler på Wikimedia Commons

Bilinskys dodekaeder [1] er et polyeder ( zonohedron ) sammensat af 12 identiske gyldne romber .

Det er topologisk isomorf i forhold til det rombiske dodekaeder , men er i modsætning til det ikke isohedralt (selvom alle dets ansigter også er kongruente ) og har en anden symmetrigruppe .

Bilinsky-dodekaederets ansigter er romber med forholdet mellem diagonalerne lig med det gyldne snit; de er noget mere aflange end siderne på det rombedodekaeder, som er romber med forholdet mellem diagonalerne

Har 14 toppe. Ved 2 hjørner konvergerer fire flader med deres skarpe hjørner; ved 4 hjørner konvergerer tre flader med stumpe vinkler; i 4 hjørner konvergerer en flade med en spids vinkel og to stumpe; i 4 hjørner konvergerer tre flader med skarpe hjørner og en stump.

Bilinsky dodecahedron har 24 kanter af lige længde. Med 12 kanter (ved siden af ​​hjørnerne markeret med rødt i figuren ) er dihedrale vinkler lig med 8 kanter (mellem grønne og blå hjørner) - med 4 kanter (mellem sorte og grønne spidser) -

I koordinater

Bilinsky-dodekaederet kan placeres i det kartesiske koordinatsystem, så dets toppunkter har koordinater

I dette tilfælde vil polyederens symmetricenter falde sammen med oprindelsen, tre symmetriakser vil falde sammen med akserne Ox, Oy og Oz, og tre symmetriplaner vil falde sammen med planerne xOy, xOz og yOz.

Metriske karakteristika

Hvis Bilinsky dodecahedron har en kant af længde , er dens overfladeareal og volumen udtrykt som

Historie

For første gang findes dette polyeder under navnet "dodecarombe" i 1752 i en illustration i bogen af ​​den engelske matematiker John Lodge Cowley [2] [3] .

Det blev genopdaget i 1960 af den kroatiske matematiker Stanko Bilinsky [4] , som kaldte det "et rombisk dodekaeder af anden slags" [5] . Bilinskys opdagelse udfyldte et hul, der forblev ubemærket i 75 år i klassificeringen af ​​konvekse polyedre med kongruente rombeansigter, beskrevet af Evgraf Fedorov [6] .

Harold Coxeter i et papir fra 1962 [7] anførte fejlagtigt, at Bilinsky dodecahedron kan opnås ved en affin transformation af den rombiske dodecahedron. Denne udtalelse er falsk [6] .

Bevis Overvej to segmenter i illustrationerne ovenfor: diagonalen af ​​polyederet, der forbinder to blå hjørner og diagonalen af ​​ansigtet, der forbinder det røde hjørne med det grønne I Bilinsky dodecahedron er disse segmenter ikke parallelle, men i det rombiske dodecahedron er segmenterne, der svarer til dem, parallelle. Og da den affine transformation bevarer segmenternes parallelitet, er det umuligt at opnå et polyhedron fra et andet ved hjælp af affine udvidelser og sammentrækninger.

Noter

  1. W. Ball, G. Coxeter . Matematiske essays og underholdning. — M.: Mir, 1986. — P. 157.
  2. John Lodge Cowley. Geometri gjort let; Eller en ny og metodisk forklaring af geometriens elementer. - London, 1752. - Tavle 5, Fig. 16.
  3. Hart, George W. (2000), A color-matching dissection of the rhombic enneacontahedron , Symmetry: Culture and Science bind 11 (1–4): 183–199 , < http://www.georgehart.com/dissect -re/dissect-re.htm >  . ( Arkiveret 1. oktober 2015 på Wayback Machine )
  4. Bilinski, S. (1960), Uber die Rhombenisoeder, Glasnik Mat. Fiz. Astr. T. 15: 251-263  .
  5. Cromwell, Peter R. (1997), Polyhedra: Et af de mest charmerende kapitler inden for geometri , Cambridge: Cambridge University Press , s. 156, ISBN 0-521-55432-2 , < https://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&pg=PA156 >  .
  6. 1 2 Grünbaum, Branko (2010), The Bilinski dodecahedron and assorted parallelohedra, zonohedra, monohedra, isozonohedra, and otherhedra , The Mathematical Intelligencer bind 32 (4): 5–15 , DOI 10.102891-8.10289-8  .
  7. Coxeter, HSM (1962), Klassificeringen af ​​zonoedre ved hjælp af projektive diagrammer, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées bind 41: 137–156  .

Links