Bilinsky dodekahedron | |||
---|---|---|---|
| |||
Ejendomme | konveks , zonohedron | ||
Kombinatorik | |||
Elementer |
|
||
Facetter | 12 diamanter | ||
Vertex konfiguration |
4+4(4.4.4) 4+2(4.4.4.4) |
||
Klassifikation | |||
Symmetri gruppe | D2h _ | ||
Mediefiler på Wikimedia Commons |
Bilinskys dodekaeder [1] er et polyeder ( zonohedron ) sammensat af 12 identiske gyldne romber .
Det er topologisk isomorf i forhold til det rombiske dodekaeder , men er i modsætning til det ikke isohedralt (selvom alle dets ansigter også er kongruente ) og har en anden symmetrigruppe .
Bilinsky-dodekaederets ansigter er romber med forholdet mellem diagonalerne lig med det gyldne snit; de er noget mere aflange end siderne på det rombedodekaeder, som er romber med forholdet mellem diagonalerne
Rhombisk dodekaederansigt
Bilinsky dodecahedron ansigt
Har 14 toppe. Ved 2 hjørner konvergerer fire flader med deres skarpe hjørner; ved 4 hjørner konvergerer tre flader med stumpe vinkler; i 4 hjørner konvergerer en flade med en spids vinkel og to stumpe; i 4 hjørner konvergerer tre flader med skarpe hjørner og en stump.
Bilinsky dodecahedron har 24 kanter af lige længde. Med 12 kanter (ved siden af hjørnerne markeret med rødt i figuren ) er dihedrale vinkler lig med 8 kanter (mellem grønne og blå hjørner) - med 4 kanter (mellem sorte og grønne spidser) -
Bilinsky-dodekaederet kan placeres i det kartesiske koordinatsystem, så dets toppunkter har koordinater
I dette tilfælde vil polyederens symmetricenter falde sammen med oprindelsen, tre symmetriakser vil falde sammen med akserne Ox, Oy og Oz, og tre symmetriplaner vil falde sammen med planerne xOy, xOz og yOz.
Hvis Bilinsky dodecahedron har en kant af længde , er dens overfladeareal og volumen udtrykt som
For første gang findes dette polyeder under navnet "dodecarombe" i 1752 i en illustration i bogen af den engelske matematiker John Lodge Cowley [2] [3] .
Det blev genopdaget i 1960 af den kroatiske matematiker Stanko Bilinsky [4] , som kaldte det "et rombisk dodekaeder af anden slags" [5] . Bilinskys opdagelse udfyldte et hul, der forblev ubemærket i 75 år i klassificeringen af konvekse polyedre med kongruente rombeansigter, beskrevet af Evgraf Fedorov [6] .
Harold Coxeter i et papir fra 1962 [7] anførte fejlagtigt, at Bilinsky dodecahedron kan opnås ved en affin transformation af den rombiske dodecahedron. Denne udtalelse er falsk [6] .
Bevis Overvej to segmenter i illustrationerne ovenfor: diagonalen af polyederet, der forbinder to blå hjørner og diagonalen af ansigtet, der forbinder det røde hjørne med det grønne I Bilinsky dodecahedron er disse segmenter ikke parallelle, men i det rombiske dodecahedron er segmenterne, der svarer til dem, parallelle. Og da den affine transformation bevarer segmenternes parallelitet, er det umuligt at opnå et polyhedron fra et andet ved hjælp af affine udvidelser og sammentrækninger.