Gruppe (matematik)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. maj 2022; checks kræver 5 redigeringer .

En gruppe i matematik er et ikke-tomt sæt , hvorpå en associativ binær operation er defineret , og for denne operation er der et neutralt element (analogt med enhed til multiplikation), og hvert element i mængden har en invers . Den gren af generel algebra , der beskæftiger sig med grupper, kaldes gruppeteori [1] .

Et eksempel på en gruppe er sættet af heltal , udstyret med additionsoperationen : summen af to heltal giver også et heltal, nul spiller rollen som et neutralt element , og et tal med det modsatte fortegn er det omvendte element. Andre eksempler er sættet af reelle tal med additionsoperationen , sættet af planrotationer omkring oprindelsen . Takket være den abstrakte definition af en gruppe gennem et system af aksiomer , der ikke er bundet til de specifikke generatorsæt, har gruppeteori skabt et universelt apparat til at studere en bred klasse af matematiske objekter af den mest forskelligartede oprindelse fra et synspunkt deres strukturs generelle egenskaber . Allestedsnærværelsen af grupper i matematik og videre gør dem til en væsentlig konstruktion i moderne matematik og dens anvendelser.

Gruppen er grundlæggende relateret til begrebet symmetri og er et vigtigt redskab i studiet af alle dens manifestationer. For eksempel afspejler en symmetrigruppe egenskaberne af et geometrisk objekt: den består af et sæt transformationer , der forlader objektet uændret, og operationen med at kombinere to sådanne transformationer, der følger efter hinanden. Symmetrigrupper såsom punktsymmetrigrupper er nyttige til at forstå fænomenet molekylær symmetri i kemi; Poincare-gruppen karakteriserer symmetrien af det fysiske rum-tid , og særlige enhedsgrupper bruges i standardmodellen for elementarpartikelfysik [2] .

Begrebet en gruppe blev introduceret af Evariste Galois , mens han studerede polynomier i 1830'erne [3] .

Moderne gruppeteori er en aktiv gren af matematikken [4] . Et af de mest imponerende resultater blev opnået i klassificeringen af simple finite grupper , som blev afsluttet i 1981 : beviset for sætningen er titusindvis af sider af hundredvis af videnskabelige artikler af mere end hundrede forfattere publiceret siden 1955, men artikler fortsætte med at dukke op på grund af sporbare huller i beviset [5] . Siden midten af 1980'erne har den geometriske teori om grupper , som studerer endeligt genererede grupper som geometriske objekter, fået en betydelig udvikling.

Definition

Et ikke-tomt sæt med en binær operation defineret på det : kaldes en gruppe, hvis følgende aksiomer er sande : $G$ ${*}$ $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $(\mathrm {G} ,*)$

associativitet : ; $\forall (a,b,c\in G)\colon (a*b)*c=a*(b*c)$
tilstedeværelsen af et neutralt element : ; $\exists e\in G\quad \forall a\in G\colon (e*a=a*e=a)$
tilstedeværelsen af et omvendt element : . $\forall a\in G\quad \exists a^{-1}\in G\colon (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)$

De sidste to aksiomer kan erstattes af et aksiom for eksistensen af en invers operation $*$ :

$\forall (a,b\in G)\quad \exists (x,y\in G)\colon (a*x=b)\land (y*a=b)$ .

Desuden er ovenstående aksiomer ikke strengt minimale. For eksistensen af et neutralt og omvendt element er det tilstrækkeligt at have et venstre neutralt element og et venstre omvendt element. Samtidig kan det bevises, at de automatisk vil være almindelige neutrale og omvendte elementer [6] .

Relaterede definitioner

Generelt er gruppen ikke forpligtet til at opfylde kommutativitetsegenskaben .
- Par af elementer , som er ligeværdige , kaldes pendling eller pendling . $a,\;b$ $a*b=b*a$
- Sættet af elementer, der permuterer med alle elementer i gruppen, kaldes gruppens centrum .
- En gruppe, hvor to vilkårlige elementer pendler, kaldes kommutativ eller abelsk .
En undergruppe er en undergruppeaf gruppen, der er en gruppe i forhold til operationen defineret i. $H$ $G$ $G$
Rækkefølgen af gruppen er magten (det vil sige antallet af dens elementer). $(G*)$ $G$
- Hvis mængden er endelig, siges gruppen at være
endelig . $G$

Gruppehomomorfismer er kortlægninger af grupper, der bevarer gruppestrukturen. Det vil sige, at en kortlægning af grupper kaldes en homomorfi , hvis den opfylder betingelsen .

f\colon (G,*)\to (H,\times )

f(a*b)=f(a)\ gange f(b)

To grupper siges at være isomorfe , hvis der eksisterer en gruppehomomorfi og en gruppehomomorfi sådan, at og , hvor og . I dette tilfælde kaldes disse homomorfismer isomorfismer .

f\colon (G,*)\to (H,\times )

g\colon (H,\times )\to (G,*)

f(g(a)) = a

g(f(b))=b

b\i G

i H

For et element er den venstre coset for undergruppe mængden , og den højre coset for subgroup er mængden .

g\in G

H

{\displaystyle gH=\{gh\midt h\in H\))

H

{\displaystyle Hg=\{hg\midt h\in H\))

En normal undergruppe er en undergruppe af en speciel type, hvis venstre og højre sidesæt falder sammen. Forenhver,.

g\in G

gH=Hg

En kvotientgruppe er et sæt medsæt af en gruppe i forhold til dens normale undergruppe, som i sig selv er en gruppe.

Standardnotation

Multiplikativ notation

Normalt kaldes gruppeoperationen (abstrakt) multiplikation ; derefter anvendes den multiplikative notation :

resultatet af operationen kaldes produktet og er skrevet eller ; $a\cdot b$ $ab$
det neutrale element er betegnet med " " eller og kaldes en enhed ; $1$ $e$
det omvendte af elementet skrives som . $a$ $a^{-1}$

Hvis gruppeoperationen kaldes multiplikation , så kaldes en sådan gruppe selv multiplikativ , og med den fulde notation (når de eksplicit vil angive gruppeoperationen), betegnes de som følger :. $\mathrm {G}$ $(\mathrm {G} ,\cdot )$

Flere produkter , , er skrevet som naturlige kræfter , , [7] . For et element er en heltalsgrad korrekt defineret [ 8] , den skrives som følger: , . $aa$ $aaa$ $...$ $a^2$ $a^{3}$ $...$ $-en$ $a^{0}=e$ ${\displaystyle a^{-n}=(a^{-1})^{n))$

Additiv notation

I en kommutativ gruppe ses den definerende operation ofte som (abstrakt) addition og er skrevet additivt :

skriv " " og kald det resulterende element summen af elementerne og ; $a+b$ $a$ $b$
det neutrale element er betegnet som " " og kaldte det nul ; $0$
det omvendte element til betegnes som " " og kaldes dets modsætning til elementet; $a$ $-a$ $a$
posten forkortes således: ; $a+(-b)=ab$
udtryk for formen , , er betegnet med symboler , , . $a+a$ $a+a+a$ $-aa$ $2a$ $3a$ $-2a$

Hvis gruppeoperationen kaldes addition , så kaldes en sådan gruppe selv additiv og med den fulde notation betegnes som følger :. [9] Dette udtryk refererer kun til den måde, hvorpå en operation er skrevet i en gruppe; det er nyttigt, når der er defineret flere operationer på et sæt. For eksempel kan man tale om den additive gruppe af reelle tal eller den multiplikative gruppe af positive reelle tal . Derudover er der tilfælde, hvor en additiv gruppe er isomorf til en multiplikativ (se Rødder fra enhed ). $\mathrm {G}$ $(\mathrm {G} ,+)$

Eksempler

Sættet af heltal udstyret med additionsoperationen er en gruppe.
Mængden af alle rationelle tal undtagen nul, med multiplikation, er en gruppe.

Grupper bruges inden for forskellige områder af matematik. For eksempel i topologi , ved at introducere begrebet en fundamental gruppe [10] . Ud over den teoretiske anvendelse af grupper er der mange måder at anvende grupper på i praksis. For eksempel bruges de i kryptografi , som er afhængig af beregningsgruppeteori og viden om algoritmer .

Anvendelsen af gruppeteori er ikke begrænset til matematik, den er meget udbredt i videnskaber som fysik , kemi og datalogi .

Heltal modulo $n$ - resultatet af modulo-addition er resten af summen, når det divideres med . Sættet af heltal fra til danner en gruppe med denne operation. Det neutrale element er , det omvendte element af k er tallet . Et godt eksempel på sådan en gruppe $n$ $n$ $0$ $n-1$ $0$ $a\neq 0$ $na\equiv -a{\pmod {n}}$

der kan være et ur med urskive [11] .

Heltal med additionsoperation. er en kommutativ gruppe med et neutralt element. Heltal med en multiplikationsoperation vil ikke danne en gruppe. Lukning, associativitet og eksistensen af et neutralt element vil finde sted, men aksiomet om eksistensen af et omvendt element vil ikke holde. For eksempel,såer det. Det inverse element er ikke et heltal [12] . $(\mathbb{Z},+)$ $0$ $a=2$ $a\cdot b=1$ $b = 1/2$
Positive rationelle tal med multiplikationsoperation. Produktet af rationelle tal er igen et rationelt tal, det reciproke element til et rationelt tal er repræsenteret ved et reciprokt, der er associativitet, og det neutrale element er en [12] .
En fri gruppe med to generatorer () består af det tomme ord (gruppeenhed) og alle endelige ord på fire tegn,,ogdem,der ikke vises ved siden afogikke vises ved siden af. Operationen med at multiplicere sådanne ord er simpelthen en kombination af to ord til ét efterfulgt af reduktion af parrene,,og [13] . $F_{2}$ $a$ $a^{{-1}}$ $b$ $b^{{-1}}$ $a$ $a^{{-1}}$ $b$ $b^{{-1}}$ $aa^{-1}$ $a^{-1}a$ $bb^{-1}$ $b^{{-1}}b$
Symmetrisk gruppe . Mængden af alle bijektioner af en endelig mængde ind i sig selv med kompositionsoperationen eren endelig gruppe, som kaldes den symmetriske gruppe eller permutationsgruppen . Kardinalitet af en endelig symmetrisk gruppefor et sæt afelementer er. Fordenne gruppe er ikke abelsk [14] . Enhver endelig gruppe er en undergruppe af en eller anden symmetrisk gruppe ( Cayleys sætning ) [12] [15] . $S_{n}$ $n$ $n!$ $n\geq 3$

Cykliske grupper er opbygget af potenser afet element. Et grundstofkaldes en generator af en cyklisk gruppe. Cykliske grupper er altid kommutative. Et eksempel på en sådan gruppe er de allerede nævnte additionsheltal. Cyklisk vil være en gruppe bestående af komplekse rødder af enhed , det vil sige en gruppe af komplekse tal , der opfylder betingelsenog operationen ved at multiplicere komplekse tal [16] . En multiplikativ finit gruppeer også cyklisk. For eksempeler et genererende element i gruppen,når: ${\displaystyle \langle a\rangle =\{a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \))$ $a$ $a$ $n$ $z$ $z^{n}=1$ $(\mathrm {G} ,\cdot )$ $3$ $\mathrm {G}$ $n=5$

\begin{align} 3^1 &\equiv 3 \pmod 5\\ 3^2 &\equiv 4 \pmod 5\\ 3^3 &\equiv 2 \pmod 5\\ 3^4 &\equiv 1 \pmod 5\, \end{align}

Rubiks terninggruppen er en undergruppe af den symmetriske gruppe,hvis elementer svarer til transformationer af Rubiks terning . Sammensætningen af to transformationer er igen en transformation, for hver transformation er der et omvendt element, der er en associativitet og et neutralt element [17] . $S_{{48}}$
Galois grupper . De blev indført i matematik til løsning af polynomialligninger i en variabel i radikaler . For eksempel giver løsningen af en andengradsligning rødder:lignende formler for ligninger af tredje og fjerde grad, men de findes ikke for ligninger af gradog højere [18] . $ax^{2}+bx+c=0$ $x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.$ $5$

De enkleste egenskaber

For hvert element er det omvendte element unikt. $-en$ $a^{{-1}}$
Det neutrale element er unikt: Hvis er neutrale, så . ${\displaystyle e_{1},e_{2))$ ${\displaystyle e_{1}\cdot e_{2}=e_{1}=e_{2}\cdot e_{1}=e_{2}=e_{1))$
$(a^{m})^{n}=a^{mn}$ .
$(a^{-1})^{-1}=a$ .
${\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n))$ .
$e^{n}=e$ , for enhver [9] . $n\in \mathbb {Z}$
$(ab)^{{-1}}=b^{{-1}}a^{{-1}}$ .
Reduktionens love er korrekte : $c\cdot a=c\cdot b\venstrehøjrepil a=b$ , $a\cdot c=b\cdot c\Leftrightarrow a=b$ .
Det omvendte element til det neutrale er selve det neutrale element [19] .
Gruppen indeholder en unik løsning til enhver ligning eller ; det vil sige, at i en gruppe er unikt definerede højre og venstre "divisioner" mulige [1] . $x$ $x\cdot c=b$ $c\cdot x=b$
Skæringspunktet mellem to undergrupper af en gruppe er en undergruppe af gruppen [20] . $\mathrm {G}$ $\mathrm {G}$
Lagranges sætning : hvis er en gruppe af endelig rækkefølge , så er rækkefølgen af enhver af dens undergrupper en divisor af rækkefølgen af gruppen. Det følger heraf, at rækkefølgen af ethvert element også deler rækkefølgen af gruppen [21] . $\mathrm {G}$ $g$ $g_{1}$ $\mathrm {G_{1}}$
Lagranges sætning og Sylows sætninger bruges til at bestemme antallet af undergrupper i en gruppe .

Måder at oprette en gruppe på

Gruppen kan indstilles:

Ved hjælp af et generatorsæt [22] og et sæt af relationer mellem dets elementer;
Faktorgruppe , hvor er en eller anden gruppe og er dens normale undergruppe [23] ; $G/H$ $G$ $H$
Det halvdirekte produkt af to grupper og især
- Et direkte produkt af to grupper og , det vil sige et sæt af par udstyret med operationen af komponentvis multiplikation: [24] ; $(G,\cdot )$ $(H,\cdot )$ $G\ gange H$ $(g_{1},h_{1})\cdot (g_{2},h_{2})=(g_{1}\cdot g_{2},h_{1}\cdot h_{2} )$
Et frit produkt af to grupper: et frit produkt af grupper er en gruppe, hvis system af generatorer [25] er foreningen af systemerne af generatorer og , og systemet af relationer [26] er foreningen af systemerne af relationer og [ 27] . $G$ $H$ $G$ $H$ $G$ $H$

Historie

Det moderne koncept for en gruppe blev dannet ud fra flere områder af matematikken. Den oprindelige drivkraft bag gruppeteori var søgen efter løsninger på algebraiske ligninger med grader større end fire. Den franske matematiker Évariste Galois fra det 19. århundrede gav efter at have forfinet undersøgelserne af Ruffini og Lagrange et kriterium for løseligheden af en bestemt algebraisk ligning i forhold til dens løsningers symmetrigruppe . Elementerne i en sådan Galois-gruppe svarer til visse permutationer af rødderne . Galois' ideer blev afvist af hans samtidige og udgivet posthumt af Liouville i 1846. Baseret på det samme arbejde som Galois undersøgte Cauchy permutationsgrupper i detaljer [3] . Begrebet en begrænset gruppe blev først introduceret af Arthur Cayley i 1854 i hans arbejde " On the theory of groups, as afhængig af den symbolske ligning θ n 1 " ) [28] . $=$

Geometri er det andet område, hvor grupper er blevet anvendt systematisk, især symmetrigrupper som en del af den tyske matematiker Felix Kleins " Erlangen Program" . Efter fremkomsten af nye grene af geometri, såsom hyperbolsk og projektiv geometri , brugte Klein gruppeteori til bedre at forene dem. Yderligere udvikling af disse ideer fører til introduktionen af begrebet en Lie-gruppe i matematikken i 1884 [3] .

Det tredje område af matematik, der bidrog til udviklingen af gruppeteori, er talteori . Nogle abelske grupper blev implicit brugt i Gauss ' Arithmetical Investigations (1801). I 1847 gjorde Ernst Kummer de første forsøg på at bevise Fermats sidste sætning ved hjælp af grupper, der beskrev primfaktoriseringer. I 1870 generaliserede Kronecker Kummers arbejde og gav en definition tæt på den moderne definition af en finit abelsk gruppe [3] .

Adskillelsen af gruppeteori begyndte med Camille Jordans Treatise on Changes and Algebraic Equations (1870) [29] . I det 20. århundrede begyndte gruppeteorien at udvikle sig aktivt. Frobenius og Burnsides banebrydende arbejde om repræsentation af endelige grupper , Richard Braurs modulære repræsentationsteori og Schurs notationer blev født . Betydelige fremskridt i studiet af teorien om Lie-grupper og lokalt kompakte grupper blev gjort af Weyl og Cartan . Algebraisk tilføjelse til disse teorier var teorien om algebraiske grupper , først formuleret af Claude Chevalley , senere nævnt i værker af Borel og Tits [3] .

I det akademiske år 1960-61 afholdt University of Chicago et år med gruppeteori, der samlede teoretikere som Daniel Gorenstein, John Thompson og Walter Feith, og dermed lagde grundlaget for samarbejdet mellem et stort antal matematikere, der efterfølgende udledte klassifikationssætningen for alle simple finite grupper i 1980. -s år. Dette projekt overskred i størrelse alle tidligere forsøg på at klassificere grupperne, både med hensyn til længden af beviserne og antallet af videnskabsmænd involveret i dette arbejde. Nuværende forskning har til formål at forenkle klassificeringen af grupper. På nuværende tidspunkt fortsætter gruppeteorien med at udvikle sig aktivt og påvirke andre grene af matematikken [5] [30] [31] .

Variationer og generaliseringer

En groupoid er et sæt med en binær operation defineret på sig [32] .
En kvasigruppe er en gruppeoid bestående af et sæt og en binær operation, således at der for enhver er unikke elementer og sådan, at og [33] . $Q$ $\cdot$ $a,b\in Q$ $x$ $y$ $a\cdot x=b$ $y\cdot a=b$
En semigruppe er et algebraisk system med en associativ binær operation defineret på den . Sættet af naturlige tal med operation af addition danner en semigruppe [34] .
Et sæt med en binær operation defineret på den , som kun opfylder de to første aksiomer, kaldes en monoid . Sættet af ikke-negative heltal med additionsoperation danner en monoid [34] . $G$

Grupper med yderligere struktur

Mange grupper har samtidig en anden (yderligere) matematisk struktur. I kategoriteoriens sprog er der tale om gruppeobjekter i kategorien ; med andre ord er der tale om objekter (det vil sige f.eks. mængder, der har en bestemt matematisk struktur), for hvilke der er givet en klasse af bestemte transformationer (kaldet morfismer ), der følger gruppens aksiomer. Især er hver gruppe (i den tidligere definerede betydning) samtidig en mængde , således at en gruppe er et gruppeobjekt i kategorien af mængder Sæt (morfismerne i denne kategori er afbildninger af mængder) [35] .

Ringe

En ring er et sæt , hvorpå de binære operationer af kommutativ addition og (ikke nødvendigvis kommutativ) multiplikation er defineret, desuden, med hensyn til addition, danner K en gruppe, og multiplikation er forbundet med addition af en distributiv lov. $K$

En ring kaldes kommutativ og associativ, hvis multiplikationsoperationen givet på den er kommutativ og følgelig associativ. Et element i en ring kaldes en enhed, hvis følgende betingelse er opfyldt: , hvor er ethvert element i ringen. $1$ $a\cdot 1=1\cdot a=a$ $a$

Numeriske sæt Z , Q , R er kommutative associative ringe med identitet. Sættet af vektorer med vektormultiplikation er en antikommutativ ring (dvs. ) på grund af egenskaberne ved vektormultiplikation [36] : . $a\cdot b=-b\cdot a$ $a\times b+b\times a=0$

Felter

Et felt er en kommutativ associativ ring med en enhed, og med hensyn til addition danner den en gruppe, og dens ikke-nul elementer er en gruppe ved multiplikation. Feltet kan ikke bestå af et enkelt nul. Sættene af rationelle og reelle tal er felter. I ethvert felt kun hvis og/eller [37] . $F$ $F$ $a\cdot b=0$ $a=0$ $b=0$

Topologiske grupper

Nogle topologiske rum kan på samme tid udstyres med en gruppestruktur. I dette tilfælde kan et sådant rum vise sig at være en topologisk gruppe .

En topologisk gruppe er nemlig en gruppe, der samtidigt er et topologisk rum , og multiplikationen af gruppens elementer og operationen med at tage det inverse element viser sig at være kontinuerlige afbildninger i den anvendte topologi [38] . Topologiske grupper er gruppeobjekter i topologiske rum Top [35] . $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $\mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$

De vigtigste eksempler på topologiske grupper er den additive gruppe af realer , den multiplikative gruppe af ikke-nul- realer , den komplette lineære gruppe , den specielle lineære gruppe , den ortogonale gruppe , den særlige ortogonale gruppe , den enhedsgruppe , den særlige enhedsgruppe [39 ] . $(\mathbb {R} ,+)$ $(\mathbb {R^{*}} ,\cdot )$ $GL(n)$ $SL(n)$ $På)$ $SO(n)$ $U(n)$ $Sol)$

Løgngrupper

En Lie-gruppe (til ære for Sophus Lie ) er en gruppe, der samtidigt er en differentierbar manifold over feltet K (feltet af reelle eller komplekse tal kan fungere som sidstnævnte), og multiplikationen af gruppens elementer og operationen at tage det omvendte element viser sig at være glatte afbildninger (i det komplekse tilfælde er det påkrævet holomorfi af de indførte afbildninger). Desuden er enhver kompleks -dimensionel Lie-gruppe samtidig en rigtig Lie-gruppe af dimension [40] . $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $\mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $n$ $2n$

Alle konkrete grupper givet i det foregående underafsnit som eksempler på topologiske grupper er samtidig Lie-grupper.

Løgngrupper opstår naturligt, når man betragter kontinuerlige symmetrier ; således er Lie-gruppen dannet [41] af isometrier af formen , hvor er det euklidiske punktrum . Den resulterende gruppe, betegnet [42] , er en undergruppe af en anden Lie-gruppe, den affine gruppe af rummet , betegnet [43] . $\mathrm {E} \rightarrow \mathrm {E}$ $\mathrm {E}$ $Is(\mathrm {E} )$ $\mathrm {E}$ $Aff(\mathrm {E} )$

Løgngrupper er de bedste manifolder med hensyn til rigdommen af den struktur, de har, og er som sådan meget vigtige i differentialgeometri og topologi . De spiller også en fremtrædende rolle inden for geometri, calculus, mekanik og fysik [40] .

Se også

Noter

↑ 1 2 Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Grundlæggende om gruppeteori. - 3. udg. - Moskva: Nauka, 1982. - S. 16. - 288 s. - 11 800 eksemplarer.
↑ Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Grundlæggende om gruppeteori. - 3. udg. - Moskva: Nauka, 1982. - S. 9-14. — 288 s. - 11 800 eksemplarer.
↑ 1 2 3 4 5 Israel Kleiner. The Evolution of Group Theory: A Brief Survey // Mathematics Magazine : a journal . - 1986. - Oktober ( bind 59 , nr. 4 ). - S. 195-215 . - doi : 10.2307/2690312 .
↑ Kun i 2005 blev der ifølge MathSciNet offentliggjort mere end 2 tusinde forskningsartikler inden for gruppeteori og generaliseringer .
↑ 1 2 Gorenstein D. Finite simple grupper. Introduktion til deres klassifikation = Finite simple Groups. En introduktion til deres klassificering / red. A.I. Kostrikin. - Verden. - Moskva: Mir, 1985. - S. 9-17. — 352 s. - 5250 eksemplarer.
↑ Sagalovich, 2010 , s. halvtreds.
↑ Den naturlige grad af et element er korrekt bestemt på grund af associativitet
↑ Korrekthed følger af det omvendte elements unikke karakter.
↑ 1 2 Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Grundlæggende om gruppeteori. - 3. udg. - Moskva: Nauka, 1982. - S. 18. - 288 s. - 11 800 eksemplarer.
↑ Hatcher Allen. Algebraisk topologi. - Cambridge: Cambridge University Press, 2002. - S. 30. - ISBN 978-0-486-45868-7 .
↑ M. Welschenbach. Kapitel 5 // Kryptografi i C og C++ i aktion . - M . : "Triumph", 2004. - S. 81 -84. — 464 s. — ISBN 5-89392-083-X .
↑ 1 2 3 Olshansky A. Yu. Geometri til at definere relationer i en gruppe. - Nauka, 1989. - S. 18-19. — 448 s. - ISBN 5-02-013916-5 .
↑ Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Grundlæggende om gruppeteori. - 3. udg. - Moskva: Nauka, 1982. - S. 122-124. — 288 s. - 11 800 eksemplarer.
↑ Kurosh A. G. Teori om grupper / red. Brudno K.F. - 3. udg. - Moskva: Nauka, 1967. - S. 34. - 648 s. — 20.000 eksemplarer.
↑ Kulikov L. Ya. Algebra og talteori. - Højere skole, 1979. - S. 351. - 559 s. - 40.000 eksemplarer.
↑ Vinberg E. B. Fundamentals of group theory. - 2. udg. - Factorial Press, 2001. - S. 162-163. — 544 s. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Schonert, Martin. Analyse af Rubiks terning med GAP . Hentet 19. juli 2013. Arkiveret fra originalen 5. september 2013.
↑ Postnikov M. M. Galois teori. - Moskva: Fizmatgiz, 1963. - S. 126-127. - 220 sek. — 11.500 eksemplarer.
↑ Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Grundlæggende om gruppeteori. - 3. udg. - Moskva: Nauka, 1982. - S. 17. - 288 s. - 11 800 eksemplarer.
↑ Sagalovich, 2010 , s. 56.
↑ Kulikov L. Ya. Algebra og talteori. - Højere skole, 1979. - S. 353. - 559 s. - 40.000 eksemplarer.
↑ Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. Fundamentals of group theory. - 3. udg. - Moskva: Nauka, 1982. - S. 24. - 288 s. - 11 800 eksemplarer.
↑ Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. Fundamentals of group theory. - 3. udg. - Moskva: Nauka, 1982. - S. 45-46. — 288 s. - 11 800 eksemplarer.
↑ Vinberg E. B. Fundamentals of group theory. - 2. - Factorial Press, 2001. - S. 409, 415. - 544 s. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Leng S. Algbra. M .: Mir, 1964. S. 23.
↑ Leng S. Algbra. M .: Mir, 1964. S. 52.
↑ Olshansky A. Yu. Geometri til at definere relationer i en gruppe. - Nauka, 1989. - S. 330-331. — 448 s. - ISBN 5-02-013916-5 .
↑ Cayley (1854) "Om teorien om grupper, som afhængig af den symbolske ligning θ n = 1", Philosophical Magazine , 4. serie, (42): 40-47.
↑ Wussing, Hans. The Genesis of the Abstract Group Concept: Et bidrag til historien om oprindelsen af abstrakt gruppeteori. — Gennemgang af almen psykologi. - New York : Dover Publications , 2007. - S. 154. - ISBN 978-0-486-45868-7 .
↑ Leonard Scott, Ronald Solomon, John Thompson, John Walter, Efim Zelmanov. Walter Feit (1930–2004) Walter Feit (1930–2004) // Notices of the American Mathematical Society : Journal. - 2005. - August ( bind 52 , nr. 7 ). - s. 728-735 .
↑ Wilson, Robert A. De endelige simple grupper . — Kandidattekster i matematik. - New York: Springer-Verlag , 2009. - S. 2 -5. - ISBN 978-1-84800-987-5 . - doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 .
↑ Belousov V. D. Fundamentals af teorien om kvasigrupper og sløjfer. - Nauka, 1967. - S. 5. - 223 s. - 2800 eksemplarer.
↑ Belousov V. D. Fundamentals af teorien om kvasigrupper og sløjfer. - Nauka, 1967. - S. 6. - 223 s. - 2800 eksemplarer.
↑ 1 2 Kulikov L. Ya. Algebra og talteori. - Højere skole, 1979. - S. 346-347. — 559 s. - 40.000 eksemplarer.
↑ 1 2 Bucur I., Deleanu A. Introduktion // Introduktion til teorien om kategorier og funktioner = Introduktion til teorien om kategorier og funktioner / overs. fra engelsk. D. A. Raikova , V. F. Retakh . - M . : Mir, 1972. - S. 9-10. — 259 s.
↑ Vinberg E. B. Fundamentals of group theory. - 2. udg. - Factorial Press, 2001. - S. 14-15. — 544 s. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Vinberg E. B. Fundamentals of group theory. - 2. udg. - Factorial Press, 2001. - S. 16. - 544 s. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Bourbaki N. Generel topologi. Topologiske grupper. Tal og relaterede grupper og mellemrum. M. : Nauka, 1969. S. 12.
↑ Rokhlin V. A., Fuchs D. B. Indledende topologiforløb. Geometriske hoveder. M .: Nauka, 1977. S. 268-271.
↑ 1 2 Vinberg E. B. Fundamentals of group theory. - 2. udg. - Factorial Press, 2001. - S. 501. - 544 s. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Kostrikin A.I., Manin Yu.I. Lineær algebra og geometri. M .: Nauka, 1986. S. 201.
↑ Dieudonné J. Lineær algebra og elementær geometri. M. : Nauka, 1972. S. 129.
↑ Dolgachev I. V., Shirokov A. P. Affine space // Matem. encyklopædi. T. 1. M .: Sov. encyklopædi, 1982. Stb. 362-363.

Litteratur

Videnskabelig litteratur

Sagalovich Yu. L. Introduktion til algebraiske koder - 2. udg. - M. : IPPI RAN , 2010. - 320 s. — ISBN 978-5-901158-14-2
Belonogov V. A. Opgavebog om gruppeteori. Moskva: Nauka, 2000.
Kargapolov MI, Merzlyakov Yu. I. Fundamentals of group theory. Moskva: Nauka, 1982.
Kostrikin A.I. Introduktion til algebra. Moskva: Nauka, 1977.
Kurosh A.G. Teori om grupper. (3. udgave). Moskva: Nauka, 1967.
Hall M. Teori om grupper. M.: Forlag for udenlandsk litteratur, 1962.
Gorenstein D. Finite grupper. NY: Harper and Row, 1968.
Huppert B. Endliche Gruppen. IB: Springer, 1967.

Populær litteratur

Aleksandrov PS Introduktion til gruppeteori . - T. 7. - ( "Bibliotek Kvant" ).
Sadovsky L., Arshinov M. Grupper // Kvant . - 1976. - Nr. 10 .
Gruppe // Encyklopædisk ordbog for en ung matematiker / Komp. A. P. Savin. - M . : Pædagogik , 1985. - S. 88 -94. — 352 s.

Gruppeteori
Basale koncepter	Undergruppe Normal undergruppe Faktor gruppe Arbejde direkte semi-direkte ledig
Algebraiske egenskaber	kommutativ gruppe Cyklisk gruppe bestilt gruppe Forvandle gruppe Opløselig gruppe Schreiers Lemma Lagranges sætning Sylows sætninger Klassificering af simple endelige grupper
begrænsede grupper	Endelig cyklisk gruppe C n Symmetrisk gruppe S n Dihedral gruppe D n Skiftende gruppe A n Klein Quadruple Group Mathieu grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fiskergrupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiske grupper	Løgngrupper Ortogonal gruppe O(n) Særlig ortogonal gruppe SO(n) Enhedsgruppe U(n) Særlig enhedsgruppe SU(n) Symplektisk gruppe Sp(n) Enestående enkel Lorentz gruppe Poincaré gruppe
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier transformation

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk norsk Britannica (online) Brockhaus Universalis Universalis
I bibliografiske kataloger	GND : 4022379-6