Janko Gruppe J2

Gruppeteori
Basale koncepter	Undergruppe Normal undergruppe Faktor gruppe Arbejde direkte semi-direkte ledig
Algebraiske egenskaber	kommutativ gruppe Cyklisk gruppe bestilt gruppe Forvandle gruppe Opløselig gruppe Schreiers Lemma Lagranges sætning Sylows sætninger Klassificering af simple endelige grupper
begrænsede grupper	Endelig cyklisk gruppe C n Symmetrisk gruppe S n Dihedral gruppe D n Skiftende gruppe A n Klein Quadruple Group Mathieu grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fiskergrupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiske grupper	Løgngrupper Ortogonal gruppe O(n) Særlig ortogonal gruppe SO(n) Enhedsgruppe U(n) Særlig enhedsgruppe SU(n) Symplektisk gruppe Sp(n) Enestående enkel Lorentz gruppe Poincaré gruppe
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier transformation

Janko-gruppen J 2 , Hall-Janco-gruppen ( HJ ), eller Hall-Janco-Wells- gruppen er en sporadisk ordensgruppe

2 7 • 3 3 • 5 2 • 7 = 604800.

Historie og egenskaber

J 2 er en af 26 sporadiske grupper . Et andet navn er Hall-Yanko-Wells- gruppen . I 1969 forudsagde Zvonimir Janko J 2 som en af to simple grupper, der har 2 1+4 :A 5 som involutionscentralisator (den anden er Janko-gruppen J 3 ). Gruppen blev konstrueret af Hall og Wells [1] som en permutationsgruppe på 3.100 point.

Både Schur-multiplikatoren og den ydre automorfigruppe har orden 2.

J 2 er den eneste af de 4 Janko-grupper, der er en underfaktor til monsteret , så gruppen er en del af den familie, som Robert Griss kaldte happy . Fordi gruppen findes i Conways Co1-gruppe , er den også en del af den anden heldige familie .

Visninger

J 2 er en undergruppe af indeks to automorfigrupper af Hall-Yanko grafen , hvilket fører til en permutationsrepræsentation af orden 100. Gruppen er en undergruppe af indeks to af automorfigrupperne i en Hall-Janko næsten ottekant [2] , hvilket fører til en permutationsrepræsentation af orden 315.

Gruppen har en modulær repræsentation dimension seks over et felt med fire elementer. Hvis vi med karakteristik to har w 2 + w + 1 = 0, så genereres J 2 af to matricer

{\mathbf {A} }=\left({\begin{matrix}w^{2}&w^{2}&0&0&0&0\\1&w^{2}&0&0&0&0\\1&1&w^{2}&w^{2 }&0&0\\w&1&1&w^{2}&0&0\\0&w^{2}&w^{2}&w^{2}&0&w\\w^{2}&1&w^{2}&0&w^{2}&0\end{matrix }}\ret)

{\mathbf {B} }=\left({\begin{matrix}w&1&w^{2}&1&w^{2}&w^{2}\\w&1&w&1&1&w\\w&w&w^{2}&w^{2} &1&0\\0&0&0&0&1&1\\w^{2}&1&w^{2}&w^{2}&w&w^{2}\\w^{2}&1&w^{2}&w&w^{2}&w\end{matrix}} \ret).

Disse matricer opfylder ligningerne

{\mathbf {A} }^{2}={\mathbf {B} }^{3}=({\mathbf {A} }{\mathbf {B} })^{7}=({ \mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {B} })^{12}=1.

J 2 er en Hurwitz-gruppe , et endeligt homøomorft billede af trekantgruppen (2,3,7) .

Matrixrepræsentationen givet ovenfor danner en indlejring i Dixon-gruppen G 2 (4) . Der er to cosæt i G 2 (4), og de er ækvivalente i automorfi af feltet F 4 . Deres skæringspunkt (den "rigtige" undergruppe) er en simpel gruppe af orden 6048. G 2 (4) er til gengæld isomorf til en undergruppe af Conway-gruppen Co 1 .

Maksimale undergrupper

Der er 9 cosæt af maksimale undergrupper af gruppen J 2 . Nogle handlinger på Hall-Janko grafen beskrevet her i termer.

U 3 (3) af orden 6048 er en enkeltpunktsstabilisator med kredsløb 36 og 63.

En simpel gruppe, der indeholder 36 simple undergrupper af orden 168 og 63 involutioner, alle cosets virker på 80 punkter. Disse involutioner findes i 12 168 undergrupper. Dens centralisator har strukturen 4.S 4 , som indeholder 6 yderligere involutioner.

3.PGL(2,9) af orden 2160 - har underfaktor A 6
2 1+4 :A 5 orden 1920 er centraliseringen af involutionen, der virker på 80 punkter
2 2+4 :(3 × S 3 ) ordre 1152
A 4 × A 5 af ordre 720.

Indeholder 2 2 × A 5 (ca. 240), centralisator 3 involutioner, der hver virker på 100 punkter

A 5 × D 10 omkring 600
PGL(2,7) ordre 336
5 2 :D 12 ordre 300
En 5 ordre 60

Konjugationsklasser

Den maksimale rækkefølge af ethvert element overstiger ikke 15. Som permutationer virker elementerne på 100 hjørner af Hall-Janko-grafen.

Bestille	Elementer	Struktur af cyklusser og cosets
1 = 1	1 = 1	1 klasse
2 = 2	315 = 3 2 • 5 • 7	2 40 , 1 klasse
2 = 2	2520 = 2 3 • 3 2 • 5 • 7	2 50 , 1 klasse
3=3	560 = 2 4 • 5 • 7	3 30 , 1 klasse
3=3	16800 = 2 5 • 3 • 5 2 • 7	3 32 , 1 klasse
4 = 2 2	6300 = 2 2 • 3 2 • 5 2 • 7	2 6 4 20 , 1 klasse
5 = 5	4032 = 2 6 • 3 2 • 7	5 20 , 2 klasser
5 = 5	24192 = 2 7 • 3 3 • 7	5 20 , 2 klasser
6 = 2 • 3	25200 = 2 4 • 3 2 • 5 2 • 7	2 4 3 6 6 12 , 1. klasse
6 = 2 • 3	50400 = 2 5 • 3 2 • 5 2 • 7	2 2 6 16 , 1. klasse
7=7	86400 = 2 7 • 3 3 • 5 2	7 14 , 1. klasse
8 = 2 3	75600 = 2 4 • 3 3 • 5 2 • 7	2 3 4 3 8 10 , 1. klasse
10 = 2 • 5	60480 = 2 6 • 3 3 • 5 • 7	10 10 , 2 klasser
10 = 2 • 5	120960 = 2 7 • 3 3 • 5 • 7	5 4 10 8 , 2 klasser
12 = 2 2 • 3	50400 = 2 5 • 3 2 • 5 2 • 7	3 2 4 2 6 2 12 6 , 1 klasse
15 = 3 • 5	80640 = 2 8 • 3 2 • 5 • 7	5 2 15 6 , 2 klasser

Noter

↑ Hall, Wales, 1968 .
↑ Den nære ottekant på 315 punkter . Hentet 4. september 2017. Arkiveret fra originalen 29. juli 2021. (ubestemt)

Litteratur

Robert L. Griess , Jr. Tolv sporadiske grupper. - Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1998. - (Springer-monogrammer i matematik). — ISBN 3-540-62778-2 .
Hall M., Wales D. The simple group of order 604.800 // Journal of Algebra . - 1968. - T. 9 . — S. 417–450 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(68)90014-8 .
Janko Z. Nogle nye simple grupper af endelig rækkefølge. I // Symposia Mathematica (INDAM, Rom, 1967/68). - Boston, MA: Academic Press , 1969. - V. 1. - S. 25-64.
Wales DB Det unikke ved den simple gruppe af orden 604800 som en undergruppe af SL(6,4) // Journal of Algebra 11. - 1969. - s. 455–460 .
Wales DB Generators af Hall-Janko-gruppen som en undergruppe af G2(4) // Journal of Algebra. - 1969. - T. 13 . — S. 513–516 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(69)90113-6 .

Links

MathWorld: Janko Groups Arkiveret 5. september 2017 på Wayback Machine
Atlas over endelige grupperepræsentationer: J 2
Undergruppegitteret af J 2

Gruppeteori
Basale koncepter	Undergruppe Normal undergruppe Faktor gruppe Arbejde direkte semi-direkte ledig
Algebraiske egenskaber	kommutativ gruppe Cyklisk gruppe bestilt gruppe Forvandle gruppe Opløselig gruppe Schreiers Lemma Lagranges sætning Sylows sætninger Klassificering af simple endelige grupper
begrænsede grupper	Endelig cyklisk gruppe C n Symmetrisk gruppe S n Dihedral gruppe D n Skiftende gruppe A n Klein Quadruple Group Mathieu grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fiskergrupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiske grupper	Løgngrupper Ortogonal gruppe O(n) Særlig ortogonal gruppe SO(n) Enhedsgruppe U(n) Særlig enhedsgruppe SU(n) Symplektisk gruppe Sp(n) Enestående enkel Lorentz gruppe Poincaré gruppe
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier transformation